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履带式车辆机器人的运动跟踪模型快速多体动力学仿真
摘要-本文介绍了履带式车辆机器人多体动力学快速计算的建模技术。轨道建模为一系列小刚性板，被约束在由整个轨道轮廓确定的固定路径上运动。轨道模型没有变形，但考虑了来自地面的外力，并根据轨道板与地面之间的接触力进行计算。对刚性板运动的约束可以显著减少整个系统的自由度和仿真时间。利用全动力学模型和实测数据对模型进行了验证。
关键字-履带车辆；仿真；多体动力学
1.引言
履带式车辆由于其越野性能，被广泛应用于农业、建筑、林业等各个领域。和轮式车辆相比，它们的主要优势在于同地面的接触面积更大，从而减小了接触压力，并提供了更高的牵引力[1]。近年来，履带式车辆机器人已经被开发用于多种用途，例如城市和灾区的搜索和救援。
在自主机器人制导领域，使用动态仿真器比直接使用真实机器人来开发和测试控制算法的效率要高得多。对于轮式机器人，简单的运动学或动力学模型通常使用诸如Gazebo和V-Rep来进行仿真。这些仿真工具由于它们在传感器模拟，图形动画以及易于与控制软件集成如ROS[2]集成的能力被广泛应用。上述简化模型通常非常简单，因此能做到低计算负担和快速仿真。然而，近似仿真模型的准确性有时对于复杂的系统是不够的，例如跟踪机器人[3]。为了正确地对履带式车辆机器人进行仿真，需要建立更加精确但快速的仿真模型。
针对履带车辆的仿真模型，提出了几种模拟履带车辆平面运动的解析模型[4]-[5]。根据这些方法，轨迹没有直接建模，但是一些接触点之间的轨道与地面的选择和处理使用轮胎建模技术[6]。这些建模技术仅为平面运动提供了合理的结果。因此当车辆装有机械臂或考虑在粗糙地形上运动时，这些模型对于控制器的开发是不够的。这是因为在这种情况下，三维运动变得相关。为了正确地进行三维动力学建模，轨迹建模是必要的，因为轨迹与地面的接触对整个系统的动力学有很大的影响。目前已经发展数个轨道建模方法，例如[7]和[8]中，提出了一种基于“超单元模型”的策略，即把轨道链看作一个单一的柔性带，其余的部件作为刚体建模。这些模型可以计算出车辆在有颠簸的软硬地形上的三维运动。然而，这些模型的主要局限性在于无法模拟转向操纵。另一种能够描述履带车辆三维运动的方法是利用多体动力学模型。几个多体动力学模型已经被提出了[9]-[11]，其中轨道被建模为通过关节或力元素连接的一系列刚性板。
考虑轨道板与地面的相互作用，计算了轨道板对地面的反作用力。如果考虑大量的轨道板，这些模型提供了准确的三维动力学。但由于模型体积大，导致计算量大，仿真时间长。显然，使用仿真模型的控制器开发需要快速和轻模拟，从而允许快速调整参数和高效的性能评估。
为了准确、快速地模拟履带车辆的运动，提出一种基于运动学的轨迹建模方法。该方法将轨迹视为一系列刚性小板，同时通过约束板沿轨道轮廓确定的固定路径的运动，大大减小了模型的尺寸。本论文的结构如下:第二节给出了全动力学模型和基于运动学的轨迹模型。然后，第三节介绍了用于验证的实际履带机器人，第四节将所提出模型的仿真结果与全动力学模型仿真结果进行对比实验数据。最后，对结论和今后的工作进行了讨论。
2.多体动力学轨迹建模
利用MSC软件公司开发的ADAMS仿真软件对履带车辆机器人进行建模。在ADAMS中，多体系统的方程被表示为微分代数方程(DAE)[12]。
A.运动方程和接触力的计算
一般无约束系统的运动方程可以根据达朗贝尔原理形式化为[13]:
(1)
其中，x和t表示位置和时间。M是系统的惯性矩阵。k是广义科里奥利力，q是广义外力。在多种人体建模技术中，人体通过以下约束方程数学表示的关节相互连接:
(2)
考虑式(2)所表示的约束，得到第一类拉格朗日方程为
（3）
其中拉格朗日因子lambda;可以理解为广义约束力。最后，为了同时求解式(2)和式(3)，定义如下DAE:
(4)
通常广义应用力q也包括接触力。两个元件之间的接触力Fn
表达式如下:
（5）
其中K是接触刚度，de是接触穿透深度，cmax和cstep是侵彻速度的阻尼系数。dmax是应用cmax时的穿透深度。另一方面，两个物体之间的接触摩擦力Ff通过以下公式计算：
(6)
其中X是两个物体之间的摩擦系数。摩擦系数计算如下：
(7)
其中，步骤函数如下：
(8)
v是接触点的滑动速度,是静态和动态摩擦系数，是摩擦系数为时的滑动速度。
B.全动态轨迹建模
图1显示了一个完整的动态跟踪模型。轨道被分成若干小的刚性板，这些板之间用关节或力元件相互连接。使用(5)到(8)中的公式用下面列出的零件之间定义接触模型：
bull;轨道-空转
bull;轨道-滚轮
bull;轨道-链轮
bull;田径场地
空转机构是保持轨道张力的部分。滚轮将车辆质量支撑在地面上。链轮驱动轨道并连接到动力总成。
C.运动学轨迹建模
在本文提出的模型中，与全动态轨道模型不同，轨道被分成许多小的刚性板。然后，引入约束以减小模型尺寸，如图2所示。该约束沿整个轨道的轮廓定义，从而缠绕链轮、空转轮和滚轮。每个轨道板的一侧通过接头与下一个轨道板连接，而另一侧约束于整个轨道的轮廓。这样，整个赛道上只剩下一个自由度。显然，板可以沿轮廓驱动，但不能变形。因此，通过使用公式(5)至(8)计算的接触力来获得车辆的运动。结果，相对于描述全动态模型的DAE矩阵，运动轨迹模型在公式(4)中由更大的DAE矩阵表示。然而，由于轨道板的大部分动态运动被丢弃，并且由于接触次数减少，预计计算时间较短。最后，可以独立定义沿轮廓的右轨迹和左轨迹的速度。
3.系统设置
A. 履带式车辆机器人
图3显示了这项工作中使用的履带车辆机器人。该机器人由Dronyx S.r.l制造。它由一个底盘、两个橡胶履带、两个链轮、两个空转轮和四个滚轮组成。每个链轮的驱动力矩由两个电动机独立产生。电机转速由编码器测量，专用驱动器负责产生PWM。GNSS天线和IMU传感器也安装在车辆的顶部，以测量车辆的轨迹。表1显示了将在仿真模型内使用的车辆的测量动态参数。
B.仿真模型。
图4显示了全动态(A)和建议的仿真模型(B)的渲染。假设车身由于外力引起的变形在轨迹计算中可以忽略不计，则将其建模为一个刚体单元。运动轨迹模型的输入是左右轨迹沿轨迹轮廓的线速度，而动力学轨迹模型的输入是驱动链轮的转速。
C.测试场景。
这些模型在转弯运动场景中进行了测试，几种轨道速度组合如表2所示。在自由行驶运动中，车辆由操作员遥控，运动包括左转、前进和后退。图5显示了机器人向前移动，然后向后移动，然后再向前移动的自由旅行场景中轨迹的输入速度。之后，车辆左转，然后向前移动。
- 结果
利用第三节介绍的实验平台和采集的数据，将动态轨迹仿真模型和运动轨迹仿真模型的仿真结果与实际实验数据进行了对比。为了完整起见，模拟中使用的摩擦系数，砾石为0.6，沥青为0.8。
首先，将仿真运动与测量结果进行比较，评估仿真精度。然后，对运动学模型和动力学模型的仿真速度进行了比较。
A.项目比较。
1)转向动作(场景1至6)。
图6显示了场景1的模拟轨迹和实测轨迹之间的比较。运动轨迹模型可以像动力学模型一样精确地计算轨迹。由于表面不是完全平坦的，测量结果的调谐半径有一定的波动。因此，瞬时转弯半径是通过使用时间序列数据中的三个点进行比较来计算的。
另一方面，图7显示了在连续转弯运动场景中获得的结果之间的比较。再一次，运动轨迹模型与实验结果相比较，显示出较好的精度。在这些场景中，运动学轨迹模型的平均误差为2.15%，动力学模型的平均误差为2.78%，从而证实了运动学轨迹模型能够与动力学模型一样精确地模拟转弯运动。
2)自由移动(场景7)。
图8显示了自由移动实验的模拟数据轨迹和真实数据轨迹之间的比较。可以注意到，这两个仿真模型的精度都很好，证实了该模型在任意场景下也是相当准确的。
B.模拟速度比较。
在评估了两种仿真模型的准确性后，对仿真速度进行了评估。通过在同一台笔记本电脑上运行这两个型号，可以在所有场景中测量CPU时间。表3显示了计算速度因子，计算方法为ADAMS测量的CPU时间除以模拟时间。每个场景运行40秒的模拟时间。对于场景1，动态模型的计算速度因子是41.63，这意味着问题需要1665秒才能解决。另一方面，运动轨迹模型的因子为11.45，CPU时间为458秒。通过对所有场景进行平均，运动轨迹模型的模拟速度比动态模型快5.8倍，从而证明了所提出的建模技术的更高效率。
C.讨论。
动力学模型和运动轨迹模型在调谐半径方面的差异表明，两种模型相对于车辆重心的转弯中心是不同的。一般来说，与地面的接触力和力的分布在决定车辆运动的过程中起主要作用。在本节中，我们将比较每个模型的轨迹下的力分布，以了解运动轨迹模型与动力学模型的不同之处。
如第二节所述，使用公式(4)到(8)计算从地面施加的力。
图9显示运动学和动力学模型的轨迹下的力分布不同。与文献[1]中的理论公式一样，运动轨道模型的力集中在轨道的前部，而动力学模型的力则沿轨道分布，主要集中在滚子的下方。因此，使用动力学模型计算的力分布比使用运动学模型计算的力分布更真实。尽管存在这种差异，图8显示了两个仿真模型和实际数据之间的非常好的匹配。通过在运动学轨迹模型中考虑轨迹柔度，可以得到更精确、更逼真的仿真结果。这可以通过调整接触刚度来实现，从而获得更真实的力分布。
5.总结和下一步工作
提出了履带车辆机器人的运动学轨迹建模方法，并将其应用于履带车辆机器人。然后，将该方法与目前最先进的动态建模方法进行了比较，并与实验数据进行了比较，验证了该方法的有效性。综上所述，与传统的全动态建模相比，运动轨迹建模提供了合理的精度，并且减少了CPU时间。然而，由于在我们的方法中，整个轨道形状被认为是完全刚性的，所以轨道下的力分布与动力学模型计算的力分布不一致。因此，可能需要通过调整接触刚度来显式建模轨道灵活性。
所提出的建模技术仅在平面和刚性表面上进行了验证。该方法的优点表现为可以考虑轨道的形状，例如格陵兰的图案、高度和宽度。事实上，当车辆在崎岖的地形或松软的地面上行驶时，路轨的几何形状可能会对车辆的运动产生重大影响。对此，这类场景的验证将在今后的研究中进行。
REFERENCES
[1] H.Y.Wong, Theory of ground vehicle 2005.
[2] E. Drumwright, J. Hsu, N. Koenig, and D. Shell, “Extending OpenDynamics Engine for Robotics Simulation,” in Lecture Notes ArtificialIntell., vol. 6472 LNAI, 2010, pp. 38–50J. Clerk Maxwell, A Treatise on Electricity and Magnetism, 3rd ed., vol. 2. Oxford: Clarendon, 1892, pp.68-73.
[3] M. Pecka, K. Zimmermann and T. Svobada ,“ Fast Simulation of Vehicles with Non-deformable Tracks,” Proceeding of International Conference on Intelligent Robots and Systems, 2017.
[4] M. Kitano, M. Kuma, “An Aalysis of horizontal plane motion of tracked vehicles,” Journal of Terramechanics, vol. 14,No. 4, 1977, pp. 211-225.
[5] J.L.Martinez, A. Mandow, J. Morales, S.Pedraza and A.Gracia-Cerezo, 'Approximating Kinematics for Tracked Mobile Robots', The International Journal of Robotics Research, Vol. 24 No.10, pp. 867-878, October 2005.
[6] Egbert Bakker, Lars Nyborg, Hans B. Pacejka, “Tyre Modelling for Use in Vehicle Dynamics Studies”, SAE paper No.870421, 1987
[7] McCullough, M.K. and E.J. Haug, Dynamics of High Mobility Track Vehicles. ASME Paper No. 85-DET-95, 1985.
[8] Zheng-Dong Ma and N.C.Perkins, “A Super-Element of Track-Wheel- Terrain Interaction for Dynamic Simulation of Tracked Vehicles,” Multibody
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