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基于P hp / MySql环境的广义逆的计算
Milan B. Tasi#39;c *，Predrag S. Stanimirovi#39;c，Selver H. Pepi#39;c
尼什大学科学与数学学院，
Visegradska 33，18000尼斯，塞尔维亚
电子邮件：milan12t@ptt.rs，pecko@pmf.ni.ac.rs，p selver@yahoo.com
摘要：本文的主要目的是开发一个基于客户端/服务器的使用分区方法进行反演以及存储生成结果的计算加权模型Moore-Penrose。Web应用程序是在PHP/MySQL环境中开发的。源代码是开放的，并通过使用Web浏览器免费进行测试。用于搜索先前存储的伪逆的CPU时间与用于新计算的CPU时间进行比较
逆。
AMS Subj。 分类：15A09,68P15,68N15。
关键词：PHP脚本，MySQL数据库，加权Moore-Penrose逆矩阵存储格式
介绍
自20世纪90年代中期以来，在开源软件（OSS）中，学术界和从业者兴趣激增。OSS社区有许多成功的项目，主要有Mozilla的网络浏览器，Linux操作系统，Apache Web服务器，以及寥寥无几的PHP [12]和P ERL编程语言，以及MySQL数据库。由于其经济利益，OSS引起了用户和开发者的注意[10]。
PHP是一款开源软件，可免费下载和使用。PHP的主要特征在[12]中描述。
由于其一贯的快速性能，高可靠性和易用性，MySQL已成为全球最受欢迎的开源数据库系统。 基于免费的事实，MySQL提供了广泛的可能性[5,27]。
SQL是关系数据库中用于查询和分析数据的标准语言[4]。 不幸的是，SQL没有向量和矩阵计算。 矩阵SQL操作的有趣代码可以在[16]中找到。 在[1]中提出了用于数据挖掘的SQL结构和SQL基元。 但是，这些构造不能提供用于矩阵操纵的足够灵活的工具。 [3]中公开了一种图形化SQL查询生成器和嵌入矩阵对象的查询操作。
在[15]中研究了基于编程用户定义函数（UDF）的一些矢量和矩阵运算的实现。 UDF表示一个C编程接口，它允许定义可在SQL中使用的标量和聚合函数。 UDF有几个优点和局限性。
UDF允许快速评估算术表达式，内存操作，使用多维数组并利用所有C语言控制语句。
本文的结构如下，
本文的目的在第二部分中进行了描述。在第三部分中，我们描述应用程序的细节。 在第四部分中，我们开发数据存储和计算系统，它基于P HP / MySQL环境，使用不同类型的矩阵进行操作。 函数和程序被硬连线到一个共同的矩阵表。 通过数值实验考虑了不同矩阵表示与存储系统对所实现软件的性能的影响。 所有测试矩阵和结果可以存储在服务器端的文件和数据库中。 最后一节介绍几个说明性例子和比较研究。
2预备和动机
本部分涉及一些数学公式和动机。 设C是复数的集合，Cmtimes;n是mtimes;n复矩阵的集合，Cm rtimes;n = {Xisin;Cmtimes;n：rank（X）= r}。 对于任意矩阵Aisin;Cmtimes;n和阶m和n的正定矩阵M和N，考虑X中的下列方程，其中*表示共轭和转置：
|
(1) |
AXA = A |
(2) |
XAX =X |
|
(3M) |
(MAX)lowast; = MAX |
(4N) |
(NXA)lowast; =NXA. |
满足（1），（2），（3M）和（4N）的矩阵X称为A的加权Moore-Penrose逆，并且它由X = Adagger;MN表示。 在特定情况下，M = Im和N = In，矩阵X = A MN归属于A的Moore-Penrose逆，并且它由X = Adagger;表示。
格雷维尔的广义逆数值计算的分割方法在[6]中介绍。以下计算经验在[11]中提供：“当应用于具有独立列的正方形，完全填充，非对称情况时，Greville的算法发现该方法可以比传统使用SVD的方法快8倍;长方形显示病例产生类似的速度增加水平“。由于其计算优势，该方法已广泛应用于许多数学领域，如统计推断，滤波理论，线性估计理论，优化和最近的分析动力学[25]（另见[9]）。 [11]中介绍了分区方法在直接计算伪逆梯度中的应用。它在数据库和神经网络计算中也有广泛的应用[13]。在文献[7]中，动态规划的Moore-Penrose广义逆矩阵的顺序确定用于肌电信号的诊断分类。
Greville的分区算法在许多论文中得到了扩展。 Wang [26]将Greville的方法推广到加权的Moore-Penrose逆。 在[19]中建立了基于格雷维尔分配算法计算单变量多项式和/或有理矩阵的Moore-Penrose逆的算法。 文献[18]介绍了将[19]的结果扩展到一组双变量有理和多项式矩阵。 在文[22]中，我们将Wang的分割方法从[26]扩展到了一组变量有理和多项式矩阵。 在文献[17]中建立了[22]中介绍的算法的有效实现。 [21]中介绍的用于计算广义逆的算法的实现基于矩阵乘积的LU分解。
为了完整性，我们重申[26]中介绍的算法，适用于有理矩阵和常量矩阵。 该算法非常适用于计算加权Moore-Penrose逆以及Moore-Penrose逆和正则逆。
算法2.1（G.R.Wang，Y.L.Chen。）计算加权M-P逆Alarr;M，N。
要求：设Aisin;Rmtimes;n，M和N为p.d. m和n阶矩阵。
1: A1 = a1.
2: if a1 = 0, then
3: X1 = (alowast; 1Ma1)-1alowast; 1M;
4: else
5: X1 = 0.
6: end if
7: for k = 2 to n do
8: dk =Xk-1ak, ck = ak - Ak-1dk,
9: if ck 6= 0, then
10: blowast;
k = (clowast; kMck)-1clowast; kM, goto Step 15,
11: else
12: delta;k = nkk dlowast; kNk-1dk - (dlowast; klk lklowast;dk) - lklowast;(I - Xk-1Ak-1)Nk--11lk,
13: blowast;
k = delta;k-1(dlowast; kNk-1 - lklowast;)Xk-1,
14: end if
15: Xk = Xk-1 - (dk (I - Xblowast; kk-1Ak-1)Nk--11lk)blowast; k .
16: end for
17: return Adagger;
MN = Xn.
比较大型数据库中的搜索与递归算法中的重新计算是我们将在本文中重点讨论的问题之一。 由于其递归结构，我们的文章中选择了分区方法。 大量工作致力于数据库和矩阵计算的紧密耦合，特别是在反演问题中。 我们的想法是记住数据库表格中的所有输入和结果矩阵，并且我们需要其中的一些矩阵，只需在适当的表格中找到结果即可。 显然，在服务器端存储输入矩阵和请求操作的情况下，在服务器上查找结果而不是执行重新计算会更有效。 这种方法跳过了计算逻辑并减少了CPU时间。 我们讨论了算法2.1在数字DBMS上的实现，并给出了展示性能优势的实验结果。
许多科学家忽视这样一个事实，即大多数要分析的数据已经被利用并可以存储在数据库系统中，以及数据库系统提供了访问，过滤和索引数据的强大机制。 我们开发了一个记忆所有输入矩阵和执行矩阵计算结果的应用程序。 首要的挑战是首先确定适当的矩阵表示，其次使用数字DBMS扩展设施来实现它们，例如， 存储，索引，搜索等。为了实现我们的目标，我们在三层架构中实现并测试了用于在矩阵表示（应用程序逻辑）的数据库和系统中存储矩阵的不同方法。
我们开发一种算法来存储每个输入矩阵和数据库系统的计算结果。 该算法用于开发用于计算Moore-Penrose逆，加权Moore-Penrose逆以及基本矩阵运算的客户端/服务器Web应用程序。 基于对可用算法的分析以及我们在此领域的先前工作（参见[17,18,19,20,22,21,23,24]），我们已经确定了对许多类似算法有用的操作。
下图说明了我们的想法。 我们将输入矩阵（输入到Web表单中）与所需的矩阵运算与数据库表中的矩阵和运算进行比较。 如果这些矩阵和所需的操作存在于数据库表中，则计算逻辑由步骤（1,2,3,4,5）确定。 否则，计算逻辑遵循路径（1,2,3,6,7,5），如图1所示。
研究了在P HP / MySQL环境下通过编程支持基本向量和矩阵运算符的DBMS的扩展。 在性能，易用性，灵活性和可伸缩性方面，我们通过实验比较了不同矩阵表示和存储系统在使用客户端 - 服务器体系结构和SQL计算加权Moore-Penrose逆时的影响。 P HP脚本语言在Web数据库应用程序的三层体系结构模型中用作我们的中间层脚本语言。
研究问题，我们应该在这篇文章中回答如下：
- HP P / MySQL环境能否帮助编写旨在计算广义逆的通用矩阵运算？
- 我们能利用P HP语言在数据库中实现矢量和矩阵操作吗？
- 使用客户端 - 服务器体系结构和SQL实现的不同矩阵表示如何提高计算广义逆算法的性能，易用性，灵活性和可伸缩性？
在本文中，我们继续[20]中使用的思想，其中矩阵数据库存储用于伪逆计算。除了计算加权Moore-Penrose逆的例程外，我们还开发了一套用于实现矩阵库的例程。这样，我们也继续从[8]中导出动态并行矩阵库的结果。我们的基本矩阵运算包括两个矩阵的加法，减法，乘法，行列式的计算，以及伪逆和加权伪逆计算。所有这些操作都是
考虑了稠密矩阵和稀疏矩阵，可能在对角线，三角形和对称稀疏矩阵上扩展。我们也克服了论文[14]的结果，其中一组FORTRAN
提出了用于测试旨在计算广义逆的计算机程序的子程序。编程语言P HP的使用克服了FORTRAN和C子程序的限制
- 和[8]有以下几种可能性：
1. PHP中结合HTML和XML使用面向Web的编程范例;
2.面向对象编程（OOP）的用法;
3.可以使用MySQL数据库系统中的数据存储系统;
4. Apache Web服务器的用法。
因此，主要想法是在免费的开源P HP / MySQL开发环境中提供适当的客户端 - 服务器应用程序，利用最少的资源：Internet浏览器和操作系统
因此，主要想法是在免费的开源P HP / MySQL开发环境中提供适当的客户端 - 服务器应用程序，利用最少的资源：Internet浏览器和操作系统。
3应用细节
数据库开发人员SQL和SQL Server不支持矩阵上的直接操作。 但是，由于表和矩阵共享相同的结构，SQL允许使用矩阵进行简单的操作。 本文展示了一些用于执行矩阵运算的SQL技术。 正如我们所提到的，我们的想法是实现一个受数据库使用支持的客户端/服务器应用程序，以便找到已经放置在数据库中的解决方案。 我们的应用程序可以通过一个，两个和/或三个参数进行操作。 该应用程序是P HP / MySql元素的组合，并实现特殊的数据库操作，它支持各种算法的SQL软件实现。
图2.显示了应用程序的工作原理
每个输入矩阵首先被转换成一个字符串，元素之间用逗号分隔。然后，将生成的字符串（根据所需的操作）与存储在数据库中的数据进行比较。 如果搜索标准成功结束，则不需要重新计算，结果将立即以适当的Web表单显示。
应用程序提供的可能性如下：
- 一元运算：一元矩阵运算，其中只有一个矩阵和一个可选系数用于产生独特的结果。 （A-1，rA，Adagger;，...）;
- 二元运算：二元矩阵运算，涉及两个矩阵（A B，Aptimes;Bq，...）;
- 三元操作：涉及三个矩阵的操作，例如计算加权的Moore-Penrose逆Adagger;MN。
用户可以通过两种方式定义输入矩阵：
- 通过按元素输入矩阵元素的值;
- 在矩阵行与文件行匹配并且矩阵元素与空白字符分隔的假设下，通过上传包含矩阵条目的txt文件。
对于这种方法已经开发出适合图3所示的Web界面。
应用程序如何工作？ 一般算法是根据下面三个步骤全局定义的。
第一步。 用户通过网页浏览器选择将要执行的矩阵操作。
第二步。 选择将要进行的矩阵类型并定义条目。 有三种类型的矩阵可供处理：密集矩阵，稀疏矩阵或测试矩阵。 更多的是，可以用下面三种方法之一定义输入矩阵的条目，如图4所示。
- 使用浏览按钮从现有的文本文件加载矩阵。 矩阵作为txt文件存储在内存中，假定矩阵的元素用逗号分隔，并且矩阵行由新行分隔。
- 输入元素的行数，列数和后续值。
- 在文本区域框中输入一个完整的矩阵，假设它的条目由空白字符分隔。
第三步：生成并预览解决方案。
所有曾经处理过的矩阵，选择的操作和生成的处理结果都以适当的形式存储在服务器上的txt文件中。 以这种方式，可以避免重新计算并下载先前执行的操作的解决方案。 用户也可以使用现成的测试样本。
4存储系统
本文中实施的矩阵及其存储表示可以分为以下两组。
随机生成和测试矩阵存储在两个不同存储系统的数据库
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