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光正交码：设计，分析和应用
FAN R.K. CHUNG, JAWAD A.SALEHI, MEMBER, IEEE, AND VICTOR K.WEI, MEMBER, IEEE
摘要：
光正交码是有良好的自相关性和互相关性的(0,1)序列族，也就是说，每个序列的自相关性函数呈“图钉形”，任意两个序列之间的互相关性呈低重复性。对光正交码的研究源于一个光码分多址光纤通道的应用。光正交码的应用使得大量异步用户得以高效可靠的传递信息。呈图钉形的自相关性使得对所需信号的检测更敏锐，呈低重复性的互相关性减少了无关信号的干扰。除了应用于宽带多址系统，光正交码还可应用于移动通信，扩频通信，雷达和声纳信号设计。本文里讨论了使用射影几何、贪心算法、迭代构造、代数理论、区组设计和结合各种学科知识进行光正交码的设计和分析的方法。
- 引言
光正交码是有良好的自相关性和互相关性的(0,1)序列族，也就是说，每个序列的自相关性函数呈“图钉形”，任意两个序列之间的互相关性呈低重复性。对光正交码的研究源于一个光码分多址光纤通道的应用。光正交码的使用使得大量异步用户得以高效可靠的传递信息。网络同步需求的降低使得系统的灵活性提升。呈图钉形的自相关性使得对所需信号的检测更敏锐，呈低重复性的互相关性减少了无关信号的干扰。除了应用于宽带多址系统，光正交码还可应用于移动通信，扩频通信，雷达和声纳信号设计。还有更多潜在应用正在探索中。
光正交码和等重纠错码、差集密切相关。这里使用了几种现有技术进行光正交码的构建与分析。对象之间的差异使得我们发现了新的结论。光正交码还和文献里有良好正相关性的二元序列密切相关。这里的码值均由（0，1）序列组成，且是针对于无负向波的“单极”环境，但多数相关序列同时具有正向波和负向波。这个重要的区别会导致差异较大的结果。
本文接下来的内容分为四个部分。第二节里给出光正交码的定义和基本属性；第三节里列举了几个光正交码的应用；第四节里我们基于最大可能码长的光正交码得到了理论上的上下界并且给出了几种构建方法；第五节是全文总结部分。附录里有使用光正交码进行最优多址系统分析的方法。
- 光正交码的基本属性
本节里，我们给出光正交码的定义和一些基本属性。一个（n, w, , ）光正交码是一个满足下列属性的码长为n、权重为w的（0，1）序列族：
（1）、自相关性：
对于任意x c和任意整数，有
（2）、互相关性：
对于任意 和任意整数tau;，有
这里我们主要讨论周期相关性，即下标可以以模n减少。简言之，OOC里每一个序列的自相关性呈图钉形，且任意两个序列间的互相关性呈低重复性。由于每一个序列x具有权重w，当tau;=0，自相关性为0。和是自相关性和互相关性的约束值。一个光正交码的（0，1）序列称为其码字。一个光正交码的大小，记为|C|，是其中码字的个数。在本篇论文里，我们假定以避免平凡性问题。
一个光正交码的循环移位无法反映其相关属性。设为一个（n, w,,）光正交码，而为的任意码字子集移动任意数值位后所得的码（不同的码字可以被移动不同数值的位），那么仍为一个（n, w,,）光正交码。我们无法通过循环移位区分开一个码和其衍生码。
我们需要有一个大的光正交码。对于一串给定的值n, w, ,，一个（n, w,,）光正交码的最大可能的值被记为（n, w,,）。一个有最大值的光正交码被称为最优光正交码。（n, w,,）的值和光正交码的特定构造有一定决定关系。在第四节里，我们会给出（n, w,,）的上下界并且给出了几种构建最优或近似最优光正交码类的方法。
我们也可以从集合论的角度分析光正交码。一个（n, w,,）光正交码可以被看作一系列模n整数序列的w集合，其中每个w集与一个码字关联，且每个w集中的整数代表其码字的非零所在的位数。那么相关性可以用以下形式重新表示：
（1）、自相关性：
对于任意x 且任意，有
（2）、互相关性：
对于任意和任意a，b，有
注意a X = { A x : x X}且所有的整数都是以模n得来的。集合论的角度为w远小于n时的光正交码提供了一个更简单的注解。
接下来提到的码，没有特定说明时都是指最优光正交码（除非额外说明），并且我们采用当时一个码的速记表示。
例： C = {1101000}是（7，3，1）的一个码字。用集合表示，C = {{0, 1, 3}}(mod 7)。
例： C = {1011000100000}是（13，4，1）的一个码字。用集合表示，C = {{0, 2, 3, 7}}(mod 3)。
例： C = {110100000000，1011000100000 }（13，3，1）的两个码字。用集合表示，C = {{0, 1, 4}，{0, 2, 7}}(mod 13)。
接下来有关光正交码的结论会在之后的章节里用到。
结论1: 对于相关性还有另一种解释。自相关性（1）等同于：
对于大多数来说，XC，任意整数可以用差值x-xrsquo;表示，其中x，xrsquo;X.
类似的，互相关性（2）等同于：
对于大多数来说，每对w-集，任意整数可以用差值x-y表示，其中x X，y Y.
结论2: 最大码值（n, w,）的上界可以从一个特别的参数得出。设C为一个（n，w，1）码，令 = { x – xrsquo;: x, xrsquo; X, xxrsquo;} (mod n), 其中X C。由于（n，w，1）码没有重差分，对于任意X C有，对于任意有，这就可以得出上界：
当n为偶数，对于任意X C有，否则，。因此，当n为偶数，我们可以得到一个更精确的上界：
在第四节里给出了更多的上界。
结论3:最优光正交码和组合论里研究的差集相关但不相同（见文献[10], [17]）。一个（n，w，1）-差集是一个模n的整数w-集，其中每个非零整数的模n值可以用lambda;种方式表示。它由一个单独的w-集组成。而一个（n，w，1）-OOC是一组带有集见额外约束的w-集。但这二者是紧密关联的，一个（n，w，1）-差集为一个（n，w，1）-OOC提供一个单独的码字。但反之则通常不成立。
结论4: 光正交码和其他正交码或是文献里的强相关序列（如Barker序列）相关但不相同。目前的光传输技术中缺少“负分量”，由此就决定了一组不同的相关属性。大多数相关的二进制序列在研究文献中实际是( 1, -1)序列，即使它们使用了(0,1)表示，这点可以通过计算序列之间的相关性得到证明。它们的意义在可用于正数或负数的系统中，由此相关性约束就可以为0。而我们的研究旨在用于没有负向组件的“单极”环境中真正的(0,1)序列，例如，一个方向检测光学系统。在这种环境下，最小可行相关性约束为1。此外，具有良好相关性的(-1,1)序列通常序列中lsquo;-1rsquo;和lsquo;1rsquo;的个数是相同的，而一个好的光正交码中每个码字中0的个数比1多的多。每个类中的序列都可以用于相反的应用，但是结果不尽相同。在光正交码的定义中，我们希望具有最小相关性（正交）的单极系统（光学）。
- 应用
对光正交码的研究源于一个光码分多址光纤通道的应用。如图1所示，许多用户在通过一个通用宽频光通道传递信息。研究光正交码目的是用可使用的
图1
技术设计一个高效系统，使用户得以共享通用通道。传统的多址方式，如频分，时分，碰撞检测，或按需划分，需要高速（通常为光速）网络同步和光畴、电畴间的频繁转换，这些限制了这样一个最优多址系统的效率。然而，通过使用一个基于最优光正交码的光分多地址系统，我们可以极大的降低系统的复杂性，用可用技术扩充它，并可能实现更高的传输效率。
令（n, w, 1）为一个有M个码字(即w集合)的最优光正交码C。系统可以同时适配M个用户同时发送。每个传输器对应C里的一个w集。（这里，我们使用OOCrsquo;s的集合表示。）在每个传输器里，每一个信息位用以下方式被编码为一个有n个光学切片的帧。（一个切片是一个光学时间槽位，能代表以下两种值：ON, OFF.）设一个特定传输器对应的w集为，假定信息位为1。在对应的包含n个光学切片的帧里，光子脉冲（即ON信号）被准确送入第个切片。在其它n-w个切片里，没有光子脉冲（即OFF信号）被送入。也就是说，码字集被用为传输器的信号序列。而当信息位为0时，没有光子脉冲被送入相应帧，也就是没有OFF信号被发送。
所有的M个用户可以在任意时刻传递信息，不需要网络同步。在接收端，相应类型的解码器被用来区分传递的信号。解码器由M个抽头延迟线组成，每个对应一个码字。每条线上的延迟恰好对应其信号序列，也就是说，连续信号的延迟对应等于。这些分接延迟线可以用现有的光学技术轻松实现。
每个分接延迟线有效地计算接收到的波形与其签名序列的相关性。由于光正交码的性质，不同签名序列之间的相关性较低。因此，只有当预期的传输器的信息位为1时，延迟线输出才是高效的，传输器通过阈值来提取相应的输出。
这个最优码分多址系统很容易实现。延迟线相关器易于获得，也几乎不需要光-电域间的转换，更不需要网络同步。虽然带宽扩展会受到转换器的影响，系统的简洁和灵活性使我们能用比其他方式更快地速率获得光学脉冲。系统整体的吞吐效率都得到很大提升。
虽然系统的研究源于光学应用，但这个系统还能被用于其他宽带码分多址环境。更多的对于系统的详细描述，见文献[2]，对于其他相关概念，见文献[11],[12]。
在本文里，我们主要研究周期相关性，尽管不具周期相关性的码也值得研究。周期相关性有更强的特性，但是光正交码是天然适应非周期相关性。这里我们需要讨论周期性相关性以获得更大的码长。
关于光正交码还有几个其他潜在应用。在扩频通讯里，调频模式实现需要低相关。光正交码可以用于生成良好的跳跃模式，不过这里还要考虑另一个重要因素。调频模式在矩形格中会被视作点，通常，每一格里恰好有一个点，代表着每个时区里只有一个频率分量。要通过光正交码获得调频模式，我们要把一个码字用行优先或列优先的方式写入一个矩阵。一列的点数可以是0，1或大于1表示每个时间区里数值可变的频率分量。此时调频图案的自相关性和互相关性竟仍存在。移除“每列一点”的约束会增加可用模式的数目，这增加了扩频系统的多样性并且这是是必须的。不过其实现仍需进一步研究。
同样的方法还能被用于需要良好自相关性和互相关性模式的情形，如雷达和声纳信号设计，Costas序列等。在每一种情形里，一个单极应用环境（由于使用了能量类型检测方式而缺少负分量）需要有强相关性的二元序列。使用光正交码时，要把码字一行行或一列列的写入一个矩阵。生成的矩阵在任何横向偏移和纵向偏移方面都有良好的相关性。（在研究时发现，另一个基于光正交码的重要应用已经被Vecchi和Salehi实现，见[23]。）
- 光正交码的设计与分析
在这一节，我们将推导出最大长度OOC的上边界和下边界，并展示几种构造方法。首先，给出最大长度OOC的一般上边界。之后，我们将展示了通过迭代法从已有码中构建正交码。在第IV-C节，将采用贪心算法构建正交码。第IV-B和IV-C节的结果为码长度的一般下边界。第IV-D节通过有限射影几何图形建立了一大组正交码，其中很多为最优正交码。第IV-E节通过组合法建立了更多最优代码。在第IV-F节
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