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PolyFit：点云的多边形曲面重建
摘要：
我们提出了一种用于从点云重建轻量级多边形曲面的新框架。不同于传统的方法，这些方法专注于提取良好的几何基元或获取适当的基元布局，这项工作的重点在于交叉基元（仅限于平面）并寻求它们的适当组合以获得没有边界的多面多边形表面模型。
我们认为点云重建可以作为一个二元标签问题。我们的方法基于假设和选择策略。我们首先通过将所提取的平面基元相交来生成相当大的一组候选面。然后通过优化选择候选面的最佳子集。我们的优化基于二元线性规划方程，在强制约束下强制最终的多边形曲面模型是多方面的，并且是水密的。对各种来源的点云进行的实验表明，我们的方法可以生成任意分段平面物体的轻量级多边形曲面模型。此外，我们的方法能够恢复尖锐的特征，并且对噪声，异常值和丢失的数据非常有效。
1 介绍
从采样点重建3D模型一直是计算机视觉和计算机图形学中的主要问题。尽管在过去的几十年中已经进行了广泛的研究[8,13,22,11,3,17,27,25,12,2,15,20,26,16]，从现实世界中获得对真实世界对象的真实重建不可避免的嘈杂和可能不完整的点云依然是一个悬而未决的问题。
在这项工作中，我们专注于重建分段平面物体（即人造物体，如建筑物）。我们的输入是从可以通过各种方式（例如，无人机，手持式扫描仪和深度相机）捕获的真实世界对象中采样的点云。我们的目标是实现物体的轻量级多边形曲面模型。
如果符合以下要求，我们认为一种方法对这个问题是有效的。首先，重建的模型应该是一个面向二维流形和水密的，确保物理有效的模型。这对于许多应用而言是必不可少的，例如模拟和制造。其次，它应该能够恢复对象的尖锐特征。第三，由于缺陷（即噪声，异常值和缺失数据），该方法不应严格遵循表面细节。相反，一个轻量级表示形式对于可能涉及许多对象和大场景的许多应用程序（例如增强现实/虚拟现实）来说是更优选和有益的。此外，提供一种方法来控制重建管线内重建模型的细节水平也很有帮助。我们提出了一种新的重构框架，在单个优化过程中满足上述所有要求。
我们不是拟合稠密的光滑多边形曲面[8,13,22,11]，而是为分段平面物体寻找更紧凑的表示形式（即简单的多边形曲面）。我们的方法基于假设和选择策略。具体来说，我们从大量候选面中选择了一组最优的面，以组装一个紧凑的多边形曲面模型。通过优化选择最佳面组集合，该优化方案鼓励最终模型的良好点支持和紧凑性。多方面和水密性要求被强制执行为硬约束。图1显示了我们重建的一个例子。我们的工作做出如下贡献：
- 我们基于假设和选择策略，将点云的多边形表面重建作为二元标签问题。
- 专门用于重建分段平面物体的曲面重建框架。
- 用于面选择的二元线性规划方程，可保证重量轻，流形和水密重建，同时恢复对象的尖锐特征。
图 1 管道。（a）输入点云。（b）平面片段。（c）支撑初始平面片段的平面。（d）支撑细化平面片段的平面。（e）候选面。（f）重建模型。所有平面片段和面都是随机着色的。
2 相关工作
在文献中，大量关于点云多边形表面重建的研究旨在获得稠密的多边形表面[8,13,22,11]。在过去的几十年中，提取几何基元并识别它们的组合以推断较高级别的结构已经成为用于重建分段平面物体的最流行的技术。在本节中，我们主要回顾关注基元提取，基元正则化和基于基元和假设的重建的方法。
基元提取。属于这一类的研究旨在从由噪声和异常值破坏的点云中提取基本几何基元（例如，平面，圆柱体）的高质量实例。该特定任务的常见做法是随机样本一致性（RANSAC）算法[6]及其变体[28,24,14]。当输入数据被噪音和异常值污染时，这些方法是可靠的。因此，在我们的工作中，我们使用RANSAC算法[24]的有效实现来提取初始平面基元。
基元正则化。通过利用关于对象结构的先验知识，研究人员进一步调整提取的基元。Li等人[17]发现基本基元之间的全局相互关系，并使用这些信息作为约束条件，结合局部拟合和约束优化来优化初始基元。 Monszpart 等人[19]进一步利用这个想法来提取平面的常规安排。这些方法专注于推断和规范结构之间的潜在关系。然而，从正则化的基元中获得流形和水密的表面模型仍然没有解决。在我们的工作中，我们基于假设和选择策略为这个具有挑战性的问题提供了一个有前景的框架。
基于基元的重建。与专注于获得稠密多边形表面的方法相反，在过去的几年中，开发人造物体的高级基元开始流行[25,12,15,20,26,16]。 Arikan等人[1]提出了一种基于优化的交互式工具，可以从稀疏点云中重建建筑模型。 Lin等人[18]通过分解和拟合一组分块建筑块到点云来重建粗糙建筑模型。通过对平面基元进行结构化和重新采样，Lafarge和Alliez [12]合并了点云，然后通过解决图切割问题获得曲面模型。使用最小切割公式，Verdie等人[26]从平面部分的初始安排重建水密的建筑物。这些方法专门用于重建城市建筑。因此，它们可能不适合处理普通的分段平面物体。基于空间分割和体积表示[3][2]，通过确定单元是否被占用来获得分段平面重建。这两种技术要求采集过程中的可见性信息作为输入，而我们的方法不需要这些信息。
基于假设的重建。通过对对象进行更强的假设，研究人员进一步规范了重建问题，并将复合形状（即多个基本图元的组合）拟合到点云[9,16]。Li等人[16]提出，一组轴对齐的盒子组装起来以接近建筑物的几何形状。他们的策略是生成一个不均匀的网格，然后选择一个具有良好数据支持并且平滑的细胞子集。在我们的工作中，我们推广这个想法来重建一般的分段平面物体，并且我们的重建基于硬约束条件下的优化，可保证多面和水密的多边形曲面模型。
3 概述
我们的方法以一个分段平面物体的点云（可能有噪声，不完整和异常值）为输入，并输出一个轻量级的多边形曲面模型。我们的方法由两个主要部分组成（见图1）：
候选面生成。我们首先使用RANSAC [24]从点云中提取一组平面片段。考虑到由于噪声，异常值和缺失数据，检测到的平面片段可能包含不需要的元素，我们通过迭代地合并平面对并拟合新的平面来细化这些平面片段。然后，我们通过点云的扩大边界框来剪切这些平面，并计算剪切平面的两两交叉点，以推断物体的面。
面选择。我们选择候选面的最佳子集来组装一个多面和水密多边形表面模型。为此，我们将面选择制定为二元线性规划问题。我们的目标函数结合了三个分别有利于数据拟合，点覆盖和模型复杂性的术语。我们还制定严格的约束条件，确保最终的模型是多面的，水密的。
4 候选面生成
该步骤的输入是分段平面物体的点云，目标是生成相当大量的候选面。
平面提取。我们使用Schnabel等人[24]提出的基于RANSAC的基元检测方法，从点云检测一组初始平面线段。这里 是一组点，其到一个平面的距离小于阈值，每个点可以分配到不超过一个平面，这个平面被表示为的支撑平面。
平面细化。由于存在噪声和异常值（特别是对于Multiview Stereo计算的点云），RANSAC可能会产生一些不需要的平面片段。我们观察到不需要的平面片段通常具有任意的方向和少的点支持。虽然后来基于优化的面部选择过程被设计为能够处理这种异常值，但仍然可能会导致问题。首先，这些任意取向的平面可能导致最终模型中的很长但很薄的面和较小的颠簸。在一些极端情况下，由于浮点精度的限制，它也可能引入退化面。这种退化通常会使多面的和水密性的严格限制（见第5.2节）不可能得到满足。其次，不期望的候选面导致更大的优化问题，这个问题的解决更加昂贵。
为了解决这个问题，我们使用[15]中提出的改进的平面细化算法迭代地细化初始平面片段。具体来说，我们首先计算每对平面片段的支撑平面的角度。然后，从具有最小角度的对 开始，我们测试是否满足以下两个条件。首先，两平面之间的角度低于阈值，即 。其次，超过一个指定数量（定义为）的点位于两个片段的支撑平面上。如果上述两个条件都满足，我们合并两个平面片段，并使用PCA [10]拟合一个新的支撑平面。我们重复这个过程直到没有更多片段对可以合并。在我们的实验中，我们选择 和 ，其中表示的支持点的数量。图1（c）和（d）分别显示了精化前后的提取平面。应该指出另一种方法，例如[17]，也可以用来提取平面片段。
成对相交。为了假设物体的面，我们用点云的边界框来裁剪所有平面部分的支撑平面。然后，可以通过使裁剪的平面相交来获得候选面（即，对象的面的超集）。为简单起见，我们计算裁剪平面的成对交点（见图1（e））。应该指出，两两交叉引入多余的候选面。由于大多数冗余面并不代表对象的实际结构，因此它们不受（或由于噪声和异常值）点样本的支持。随后的基于优化的面部选择被设计成有利于在满足某些约束的同时选择最合适的面。
成对交点保持面和边的入射信息。候选面的每个边或者连接四个相邻候选面或者表示边界。例如，在图2（a）中，边 连接四个面，而其他边是边。我们依靠这些事故信息来制定我们对面部选择的多方面和水密性约束（见第5.2节）。
图 2平面相互交叉导致四个部分（a）。（b）至（g）显示所有可能的组合以确保2-歧管表面。（b）和（c）中的边缘连接两个共面部分，而（d）至（g）中的边缘在最终模型中引入锐边。
5 面部选择
给定在前一个步骤中生成的个候选面，我们选择这些候选面的一个子集，可以最好地描述该人的几何形状物体，并确保选定的面形成一个多面体和水密多边形表面。这是通过优化实现的。我们定义了构成我们目标函数的多个能量术语。
5.1 能量术语
如果一个候选面被选择（即）或未被选择（即），则让变量编码，我们的目标函数由三个能量术语组成：数据拟合，模型复杂化和点覆盖。
数据拟合。这个术语是为了评估面对点云的拟合质量，同时考虑一个适当的置信度[21]。它被定义为测量不参与最终重建的点的置信度加权百分比
其中是中点的总数。表示了置信度，并且是在考虑到当地邻居的每个点上定义的。
其中测量点和面之间的欧几里得距离。我们只考虑与接近 的点，即满足的点。该置信度术语测量在点处点云的局部质量。它通过检查在中定义的局部协方差矩阵来计算，如[23]中所示。在这个工作中，我们用三个静态尺度（即不同的邻域尺寸）计算其本地邻居的协方差矩阵。然后，被定义为
其中是规模为的协方差矩阵的三个特征值。编码点附近点样本的两个几何性质。第一个属性评估在点处拟合局部切平面的质量，其值为0表示最差点分布，值为1表示完全拟合的平面。第二个属性评估局部采样均匀性。每个特征值比率取值范围为[0，1]，边界值为0和1对应于完美的线分布和均匀的盘分布。
直观地说，数据拟合术语有利于选择接近输入点的面并且由稠密采样的均匀区域支持。该术语的值在[0，1]范围内，其值为1表示无噪声且无异常值的输入数据。
模型复杂性。鉴于由于遮挡导致的不完全点云，等式1中定义的数据拟合术语倾向于顽固地遵守不完整的数据，导致最终模型中存在空白。此外，噪声和异常值也倾向于在重建模型中引入间隙和突起。为了避免这些缺陷，我们引入模型复杂性术语来鼓励简单结构（即大平面区域）。考虑到间隙和突起导致额外的尖锐边缘，我们将模型复杂性术语定义为模型中尖锐边缘的比率
其中表示候选面集合中成对交点的总数。是指示器功能，其值由通过边连接的两个选定面的配置确定。交叉边缘可以是平面的或尖锐的。例如，图2（b）和（c）中的相交边是平面边，产生较大的平面多边形，但（d）至（g）中的边是锋利的边，它将引入尖锐的特征（如果它们在最终模型）。因此，如果与相关联的面在最终模型中引入了尖锐边缘，那么的值为1。否则，的值为0，这意味着两个面共面。
图 3点覆盖的两个例子。 形网格呈黄色，候选面呈紫色。 每个数字下方的值表示每个面的覆盖率。
点覆盖。为了处理由遮挡引起的缺失数据，最终模型的不支持区域（即未被点覆盖的区域）应尽可能小。为了测量面 的覆盖范围，我们首先将所有的距离小于 的点投影到，然后通过从投影点构建一个2D形[5]来提取网格（见图3）。我们只使用其中的投影在的点。我们称为形状网格，直观地说，一组点的形状网格确保任何三个点的环形半径为 由一个三角形面组成，给定一个合适的值，形网格面的面积可以为我们提供一个可靠的度量候选面覆盖的输入点，因此，我们的点覆盖能量定义为模型中未覆盖区域的比例
其中，和表示最终模型的表面面积，候选面及其形网格。在我们的实现中，我们选择半径为，其中表示所有点到它们的k个最近邻居的平均间隔，被设置为6。
使用确切的模型区域，即，作为分母确保点覆盖项的值在[0,1]的范围内。但是，这会导致难以优化的非线性目标函数。考虑到最终模型的实际表面面积与点云边界框的面积相当，我们用点云边界框的面积替换确切的模型面积，即。
5.2 优化
利用上述能量项，可以通过最小化这些项的加权和来获得最优的面集合，其中在某些强制约束下将最终模型强制为无边界的多面体。
请记住，候选面是通过成对的平面相交获得的。 因此边连接到一个（用于边界面）或四个面（用于内部面），示例见图2（a）。 非常明显的是，流形和水密的多边形曲面的充要条件是模型的每个边只连接两个相邻的曲面。 因此，面选择的最终公式可写为
其中计算由边连接的面的数量。该值强制为0或2，表示没有选择或者选择两个面（有关可能的选择，请参见图2（b）-（g））。这些严格的约束保证了最终的模型是多方面的，并且是封闭的。
等式6中定义的问题是一个二元线性程序。我们使用Gurobi求解器[7]来解决它。在优化之后，所选面（即，具有对应变量的面）的并集包括近似该对象的多边形表面模型。lt;
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