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边界元工程分析
多点损伤下疲劳裂纹扩展的边界元模拟
R.J.Price，J.Trevelyan
计算机科学与工程学院，杜伦大学
文章信息：
文章历史：
2013年8月1日 收到论文
2014年3月4日 收到修改后的论文
2014年3月5日 论文审阅通过
2014年4月12日 论文可在线阅览
关键词：
双重边界元法
断裂
疲劳
多点损伤
摘要：
基于线弹性断裂力学，该篇论文提出了一种在疲劳载荷下的高效自动的二维多裂纹扩展建模方案。双重边界元法用于对裂域进行分析，而J积分技术用于计算应力强度因子。为实现传播角和增量长度，利用最大主应力准则和增量预估校正算法对增量裂纹扩展方向进行评估。标准的提出是用来控制在裂域中裂纹增长较慢的网格，以此提高计算效率和使用虚拟裂纹尖端的精度，以避免需要做繁重的网格划分。结果表现为几个具有多点损伤的几何形状，并研究了增量裂纹长度的敏感性。由于简化了网格划分，对此应用，相对于有限元法而言该方案显示出相当大的优势，并且相对于其它的边界元素公式，在其建模域裂纹长度的增长速率具有更大范围。
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- 介绍
疲劳是循环载荷下材料的一种常见失效形式。在这里，通过结构传播的裂纹达到临界长度，随之而来的是突然且经常发生的灾难性断裂失效。裂纹的扩展难以检测和监测，因此需要一些方法对这种裂纹行为进行模拟。
现代的结构和部件可能包含成千上万的亚临界裂纹，因此，在设计寿命内能使结构保持安全的裂纹扩展之程度是一个重要的设计根据。对结构疲劳进行评估的损伤容限法要求工程师监测裂纹并且能够计算剩余寿命。为了进行精确的计算，必须进行详细的裂纹扩展计算。通常是通过将数值弹性计算（例如使用有限元法（FEM））与裂纹扩展规律结合使用来完成的。
要进一步的思考是多点损伤，一个构件包含了许多不同尺寸的裂痕，这些裂痕以不同速度的传播且裂痕之间相互作用变得显著。这一现象在1988年成为了焦点，当时，阿罗哈航空公司的243航班在飞行过程中机身发生结构失效，随后航班经历了爆炸式减压。美国国家运输安全委员会[1]在其事故报告中确定，造成损坏的原因是机身搭接接头因多点疲劳开裂而失效。对多点损伤的考虑自此成为飞机设计和维修中的一个重要考虑因素；然而，多点疲劳裂纹扩展的数值模拟还仍具有挑战性。
现代工程结构中日益复杂的几何形状及裂纹的相互作用要求发展并使用数值方法来模拟裂纹的扩展和计算应力场的合力效应。线性弹性断裂力学（LEFM）长期以来一直用于裂纹体的损伤容限评估。这里假设裂纹尖端塑性区比裂纹长度小。在线性弹性断裂力学中出现的一个复杂情况，并且是进行数值模拟的一个重要特点是，裂纹尖端存在应力奇异点，因此局部应力分量的值在评估裂纹的稳定性及其传播特性方面的作用变得很有限。相反，应力强度因子和，是用于方便度量裂纹稳定性提供的，而且还描述了应力分量，即裂纹尖端附近应力张量。例如，对于一个纯型裂纹，裂纹尖端周围的应力场在通常的以裂纹尖端为中心的极坐标系中给出，
（1）
图1 相对于裂纹尖端的圆形J积分轮廓路径和坐标参考系统。
其中是型应力强度因子，是的无量纲函数，角度坐标是从裂纹轴测量的（见图1）。当时，阶数为的奇点展开并且应力。因此，应力强度因子是表示奇异裂纹尖端应力场严重性的比例因子。
在使用任何基于线弹性断裂力学的方法的数值模拟中，可在增量分析中对裂纹进行建模，从而使裂纹预先计算的长度得以增加，并且对结构中的应力场进行分析并找到新的应力强度因子。每个增量的裂纹扩展角可被确定为应力强度因子的函数。
有限元法数十年来一直处于数值模拟的前沿，并已成功应用于考虑裂纹扩展的断裂力学[2]。然而，当应用于迭代裂纹扩展方案时，有限元需要围绕裂纹尖端进行非常精细的网格划分来解决高应力梯度，并且分析中的每一个增量都需要对区域网格进行重新划分。Moeuml;s等人[3]解决了这些问题，他们开发了扩展有限元法（XFEM），该方法通过增加局部富集独立于有限元网格对裂纹进行建模。
比例边界有限元法[4]是（i）一种有助于减少建模的维数的替换法，也是（ii）一种可以直接找到（1）式展开项中的主次项和屈服应力强度因子的半解析法。然而，除对最简单的几何图形之外，这种方法对于其他几何图形用起来可能非常繁琐。
边界元法（BEM）已成为常见的裂纹建模方法，特别是对于裂纹扩展来说。这将消除网格的需要，因为只有边界（包括裂纹表面）被网格化了，使随后的增量是通过简单地添加元素对现有网格考虑增量。该方法也为不连续场提供精确的边界解而闻名。然而，使用边界元法的经典形式，在单一区域内方程组不可解，因为在相反的裂纹表面重合点上的配置会导致系统中独立方程的数量变得不够。通过在裂纹的同位面上定义独立方程，双重边界元方法（DBEM）（见洪和陈[5]，波尔特拉等[6]，陈和洪[7]）解决了这个问题，一个作为位移的函数，另一个作为牵引力的函数，给出了一个可以求解的非奇异方程组。该方法已应用于单、多裂纹问题[6,8-11]。
本文提出了一种将双重边界元方法应用于多点损伤裂纹扩展问题增量分析的算法。在对裂纹尖端应力强度因子的评估中，使用了J积分，并且为了计算裂纹路径，Portela等人提出了预测校正器技术[6]，这个技术已被纳入多裂纹算法。为简单起见，采用基于帕里斯定律的疲劳分析，尽管其他裂纹扩展定律很容易被取代。对增量长度的进一步修是基于Salgado和Aliabadi [9]来实现的，并且开发了新的扩展标准来控制存在一定扩展率范围的裂纹的扩展。提出了多点损伤疲劳问题的实例，包括单裂纹实例的验证和一系列与现代工程结构相关的多点损伤的应用。
该篇论文组织方式如下。第2部分，我们提出了双重边界元方法和其在疲劳裂纹扩展中的应用。第3部分，我们把讨论拓展到多点损伤，提出了一种包括虚拟裂纹扩展的可能性的新算法，并且在第4部分正式介绍该法。第5部分，我们提出了用以验证的例子，并讨论了算法的性能。我们在第6部分结语中完结该篇论文。
- 疲劳裂纹扩展的双重边界元法
我们从定义二维区域开始，具有利普席茨边界。由域描述的弹性体的静态平衡状态可以用以下方式表示：
（2）
其中是柯西应力张量，代表单位体积的力。应力张量通过本构关系与应变张量的分量有关：
（3）
且根据定义，应变是位移导数：
。 （4）
以上是拉梅常数，由下式给出：
， （5）
是剪切模量，由下式给出：
， （6）
是克罗内克函数，是杨氏模量，表示泊松比而表示位移。此外，应变还必须满足相容方程：
。 （7）
我们考虑到一个边界值问题，其中上述微分方程分别根据狄利克雷和诺伊曼边界条件求解
（8）
（9）
其中是一个牵引分量而上划线表示规定值。狄利克雷和诺伊曼边界，即和，形成整个边界，所以。就上所有点处的牵引力和位移而言，应用贝蒂的功的互等定理来形成点上的位移的边界积分方程（BIE）。简单起见，，，
， （10）
其中和分别代表开尔文基本解的牵引力和位移。使用通常的径向坐标，当时，基本解将变成奇异解；中出现强奇点，中出现弱奇点。随着，（10）式取到极限，有：
（11）
其中表示柯西主值意义下的积分，而自由系数是限制过程的结果；它在处为光滑边界取值。
重复应用（11），依次在所有节点取，使我们能够形成一个线性系统，在处理足够数量的边界条件时，可以求解在节点产生的位移和牵引力。然而，在对裂纹域的单一区域分析中，由于在上、下裂纹表面上的重合节点上应用（11）式，使得两个裂纹表面的重合产生了问题，从而产生了重复的方程。
已经提出了几种不同的边界元法来解决这个问题，例如，使用一个不需要裂纹表面包括在边界元网格的基本解法[12]和区域分解方法[13]。这些都缺乏通用性，难以自动实现增量裂纹扩展。在双重边界元法(DBEM)[5,11,7]的发展中，这些问题得到了最有效的解决，其中(11)式被用于配置在一个裂纹表面上，并在对方表面上使用一个超奇异的牵引积分方程。后一个方程是通过(11)式的微分和应用胡克定律所给出牵引力分量，如：
（12）
其中和包含和的导数，分别表现出的超奇异性和的强奇异性，表示阿达玛主值积分。对于分段平坦裂纹，有可能对含[11]的元素积分时所需的奇异积分进行解析计算。然后通过在足够数量的搭配点下重复运用（11）式和（12）式而形成双重边界元法线性系统，如下所示：
（13）
（14）
其中，而边界，被定义为：
（15）
（16）
其中R包含区域边界的所有不描述裂纹表面的部分，和是个裂纹中的第三个裂纹的两个相反的表面。
双重边界元法的另一个优点是，在增量分析中，为裂纹扩展添加的新元素在系统矩阵中形成新的列和行。因此，原始系统矩阵的大部分可以重新使用，并且可以使用LU分解或高斯消除等技术来减少矩阵的这部分，以优化每个裂纹增长后的重新分析。
对于本文的工作，J积分法[14]被用来评估应力强度因子。在没有体积力的情况下，由下式给出
（17）
其中是裂纹尖端的任意逆时针轮廓，是应变能密度，方向与裂纹扩展的方向有关，如图1所示。与模态应力强度因子之间存在一定的关系，由下式给出
（18）
其中是在平面应力中等于且在平面应变中等于的弹性模量。在混合模式二维问题中，为了分别计算和，有必要将积分中的模式组合解耦。（17）式中的J积分可以作为使用阿里阿巴迪法[15]两个积分的总和，该方法包括在上关于对称的积分点分布，例如点和，如图1所示。这使得位移和应力被分为对称和不对称的两部分，然后积分被解耦，用模态分量和来表示，有
（19）
积分的模态分量可以与模态应力强度因子相关，有
（20）
在目前的分析中，始终使用不连续边界单元，满足式（12）中的超奇异积分项所嵌入的霍尔德连续性要求，并且（如数值试验所示），J积分路径被视为由 裂纹尖端的第四个节点。这两个特征在图1中都很明显。
提出了几种在混合模式问题中确定裂纹扩展方向的方法，通常基于最大主应力方向（MPS）和最大应变能密度[16]。后者在三维应用中得到了更多的应用[17]；在目前的工作中，最大主应力方向准则是由埃尔多安和西[18]提出的。在裂纹尖端附近，最大主应力被视为切向应力，奇异部分由下式给出
（21）
在裂纹扩展的角度时，使得最大化，给出一个表达式：
（22）
可以求解裂纹扩展角，
（23）
其中只有7个表达式的否定结果是实际应用的。
最大主应力方向判据是一个连续的判据；在裂纹尖端局部使用（23）式来评定裂纹扩展角。在一个离散化的数值方案，如在目前的工作中提出的，这个标准
图2 用最大主应力方向准则计算裂纹路径修正角与裂纹扩展角的几何关系[6]。
没有考虑应力场的变化和裂纹；增量延伸方向始终在同一方向定义的裂纹扩展长度。因此，使
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