线性松饼锡轨道技术*外文翻译资料

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英文翻译

3实现全部潜力

Questaal的主要代码lmf是一个没有形状近似的DFT的增强波实现。它还通过在DFT部分加入(准粒子化的)GW自能，处理准粒子自洽GW近似的单体部分。与之密切相关的代码有lmfgwd(为GW提供输入的驱动程序)、lmfdmft(为DMFT求解程序提供输入的驱动程序)和lmfgws(使用lmf的单体部分和GW或DMFT的动态自能生成数量的后处理工具)。这段代码对经典函数使用了不同的定义(参见附录B)，我们将在下面的内容中讨论这些定义。

在DFT部分，Questaal的独特之处在于:

bull;它使用了三分量扩增，遵循了Ref的大部分原始方法。[31].在第3.6节中回顾了增强。Ref。[52]提供了一个稍微不同的表示，并显示了它是如何与PAW方法[4]相联系的;

bull;它有一个更一般的基集。普通的汉克尔函数可以求解薛定谔方程，但是真实的位势可以平滑地变化到填隙中(图3)。10)。最小基集的包络函数必须适应这种势。传统的Questaal基使用光滑的Hankel函数[53]，它可以被认为是高斯函数和传统Hankel函数的卷积;它们将在第3.1节中阐述。这种传统的基础适用于大多数系统;但是，当系统非常开放时，它是稍微不完整的(第3.13节)。克服不完备性的一种方法是将光滑汉克尔函数与平面波相结合;这是“平面波松饼罐头”(PMT)的基础[54](参见参考。[52])。虽然PMT看起来很有吸引力，但它有两个严重的缺点:第一，即使平面波的数量相对较少，它也会变得过于完整;第二，它不紧凑(最小、短范围和尽可能完整的相关能量窗口);和

bull;Questaal最近的发展是“拼图轨道”(Jigsaw Puzzle Orbital, JPO)基础，它使用来自增强的信息来为包络函数构造一个最佳形状。据我们所知，JPO是紧密性最接近的实际实现。这在多体治疗中尤为重要，因为在多体治疗中，一个理论的有效性关键取决于是

Fig. 10.s、p、d轨道的光滑汉克尔函数的径向部分(实线)和相应的普通汉克尔函数的径向部分(虚线)。_{L L} 平滑半径为r= 1，能量为E = - 1。_s r≫, H→H,而对于≪r Hprop;ℓ和Hprop;rminus;ℓminus;1。_{sL LsL L} Hsatisfy亥姆霍兹波动方程(薛定谔方程常数潜力),而Hsatisfy薛定谔方程对应于一个潜在的V =minus;4pi;G / H,如插图所示。_{L L} ^eff _LL

否紧密。这一新的基础将在其他地方更充分地介绍。在第三节。我们展示了如何在一个完全可能的框架中实现对紧绑定表示的转换。在目前的版本中，基集仅仅是原始基集的幺正变换。

3.1。光滑的汉克尔函数

在他的博士论文中，Michael Methfessel介绍了一类函数H(E, r, r)。_kLs作为极限情况，它们同时包含普通汉克尔函数和高斯函数。(122)及(124)项。在Ref中有详细的解释。[53];在这里，我们提供了足够的信息发展的Questaal基础设置。

他们都是连接到光滑的汉克尔函数ℓ= 0。它的傅里叶变换是

这是一个产品的普通汉克尔函数的傅里叶变换ℓ= 0的高斯函数宽度2 / r。_s

我们使用傅里叶变换的标准定义

(110)

在实空间中，h(E, r;_0sr)是一个普通汉克尔函数和一个高斯函数的卷积。它有解析表达式

(111)

(112)

(113)

(114)

对于小r, h₀表示高斯和顺利发展成一个普通汉克尔当r≫h是h的能量导数。

Questaal的包络函数是广义汉克尔函数H(E, r;_Lsr)。它们的傅里叶变换有一个封闭的形式

(115)

Y(r)是一个球面调和多项式(附录a)。_L根据傅里叶变换的一般规则，这个函数具有实空间表示

(116)

Y (r), r = (x, Y, z)是一个多项式在(x, Y, z),所以有意义谈论Y (minus;nabla;)。_LL扩展族H(r)是通过拉普拉斯算子的幂来定义的:_kL

(117)

H(E, r;_Lsr)ℓgt; 0可以从球坐标中傅里叶变换的性质。任何其傅里叶变换因子为的函数

(118)

具有实空间形式吗

(119)

f和fcirc;相关[53]

和jℓ球贝塞尔函数。因此，我们可以用斯莱特-科斯特形式来表示它_L

(120)

(121)

用于基集中的包络函数，例如。H (E r;_Lsr),傅里叶变换的径向部分并不取决于ℓ;因此相应的真实空间取决于ℓ只有通过jℓ一部分。这是一个非常有用的事实。可以推导出递归关系获得chi;ℓℓgt; 1;这为计算它们提供了一个有效的方案。递归式在Ref中得到。[53](见Eq.6.21):

通过与Eq的类比。(117)我们可以用拉普拉斯算子来扩展Gfamily:_L

(125)

(126)

(127)

(128)

Eq.(127)表明Ghas的结构(r中k阶的多项式)times;G。_kL ²_L特别是[53]

在哪里

(129)

和

(130)

路(ℓ 1/2)(u)普遍拉盖尔多项式[53],下面的正交关系

因此，Gare在以下意义上是正交的:_kL

chi;andchi;are需要启动递归。_{0 minus;1} chi;is写在Eq.(111)和chi;can通过结合方程式。_minus;1 (112),(136)

通过取极限情况，我们可以看到与熟悉的函数之间的联系，以及参数E和r的意义。_s

和成正比ℓ= 0球汉克尔函数

也可以写成

(131)

(132)

在Haround远程站点的单中心扩展中，我们将需要这种关系(第3.6节)，因为简单的扩展定理Eq._L (1)不适用于他们。

比较最后一种形式的Eq。Eq (128).(117)及高等教育质素的定义。_kL ，我们得到了有用的关系式

(122)

我们可以把这一族定义为

(123)

(124)

显然，H(q)与传统的第一类球面汉克尔函数和高斯函数的傅里叶变换的乘积成正比。_circ;L根据卷积定理，H(r)是汉克尔函数和高斯函数的卷积。_Lr≫, H (r)的行为作为一个汉克尔radic;函数和渐近趋于H r (r)→exp (minus;minus;Er) Y (rcirc;)。_sLL^{minus;ℓminus;1} _L因为r厌氧镜具有高斯分布的结构;_s 因此分析和定期在原点,不同rℓY (rcirc;)。_L因此,rminus;ℓminus;1汉克尔函数的奇点是平滑,与rdetermining半径从Gaussian-like过渡到Hankel-like行为。_s 因此，平滑半径决定了H的平滑度，同时也决定了的宽度_{s L}

这表明他的亥姆霍兹的解算子minus;nabla; E在回答源项模糊掉了一个高斯分布的形式。_kL ² 传统的汉克尔函数是原点多极点处的电势(见公式)。6.14在裁判。[53]):涂了奇点Hregular在原点,不同为小而不是r rℓminus;ℓminus;1。_L 这也是薛定谔方程的解对于一个近似高斯依赖于r(参考文献)的势。_ref.[53],Eq.6.30)。

3.2.光滑汉克尔函数的梯度

梯度需要在几种情况下，例如。_L 对于力和动量算符的矩阵元素，它进入介电函数和速度算符。同样，在某些情况下也需要能量导数。对于一些矩阵元素的积分(附录D)。

Eq的形式。(115)表明梯度算子和位置算子作用于同一族的Hreturn函数。_circ; 这

(133)

这表明他的亥姆霍兹的解算子minus;nabla; E在回答源项模糊掉了一个高斯分布的形式。_kL ² 传统的汉克尔函数是原点多极点处的电势(见公式)。6.14在裁判。[53]):涂了奇点Hregular在原点,不同为小而不是r rℓminus;ℓminus;1。_L 这也是薛定谔方程的解对于一个近似高斯依赖于r(参考文献)的势。_kL [53],情商。6.30)。

3.2。光滑汉克尔函数的梯度

野兔的梯度需要在几种情况下，例如。_L 对于力和动量算符的矩阵元素，它进入介电函数和速度算符。同样，在某些情况下也需要能量导数。对于一些矩阵元素的积分(附录D)。

Eq的形式。(115)表明梯度算子和位置算子作用于同一族的Hreturn函数。_circ; 这

表2

指数m′我对应系数C i = 1 . . 2;ℓ,mℓ;p在情商。(138)。指数K(plusmn;;p)

对应mis K = (Kplusmn;1) (Kplusmn;1) 1 m。^′_i ^{2 ′}_i

我	p = x	p = y	p = z
1	mℓminus;1	mℓminus;minus;1	mℓ
2	mℓ 1	minus;mℓ 1	- - - - - -

事实证明是这样的，它使得这些算子的矩阵元素与两个这样的函数成为可能。首先考虑能量导数。H (E r;_circ;Lsq)很容易被微分

(134)

在现实空间中,导数是最容易的能量来自hℓ(Eq的积分表示。A5在裁判。[53])

(135)

这是很容易看到的

(136)

注意实调和多项式的三个分量Y(r)， Eq。_1m(要求寄出)ℓ= 1,(y, z、x),梯度和radic;positionoperators可以获得从minus;4pi;/ 3 Y1p(minus;nabla;)和4pi;/ 3 y (r)分别与适当的排列的_radic;1p

(137)

运营商产品Y (minus;nabla;) Y(minus;nabla;)可以扩展以同样的方式作为多项式的乘积(r) Y (r)(附录A)。_{LK LK}

更一般地，对于一个函数的形式Eq。，这是可能的

表3

将光滑汉克尔函数的梯度和位置算子映射到同一族函数。

lt;

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