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区间计算方法对麦弗逊悬架系统
动态仿真的有效性
Hassen Trabelsi, Pierre-Alain Yvars, Jamel Louati
摘要：本文提出了一种基于时间间隔的方法的新设计方法，该方法适用于动态系统初步设计的最初阶段的仿真步骤的集成。基本想法在于使用区间计算方法来按间隔进行模拟，以便最小化模拟的数量。这些间隔表示系统设计参数的可能值的域。因此，系统的参数化模型由间隔求解。这避免了为每个设计参数启动n个模拟n值。这种方法已通过对可扩展数值示例的若干测试来评估。它已被应用于解决麦弗逊悬架系统的参数化微分方程并研究其动态行为。麦弗逊悬架的动态模型是非线性的，但可以线性化。它按间隔转换为参数化状态方程。该状态方程的解以矩阵指数的形式给出。已经测试了指数的三种数字实现以获得收敛结果。提出并讨论了模拟结果。
关键词：基于区间的模拟；麦弗逊悬架系统；常微分方程；动态模拟
1.引言
基于“设计-仿真-若失败返回到最初阶段”的传统设计方法看起来已经过时。在过去几年中，进行了许多研究以优化设计，更准确地说，是在预选尺寸步骤 1-9。该步骤通常比较昂贵，并且需要较高的计算次数 7-9，以便获得设计参数的最佳 10-11 值。目的是提出一种新的设计程序 12-13，并进行严格的评估，允许设计一个模拟次数较少的系统。本文的工作仅限于设计线性或可线性化的参数系统，这些参数系统可以用带有区间的状态方程的形式来表示。区间表示问题的设计参数的可能值的区域。为了实现这一目标，模拟步骤被整合到初步预定尺寸阶段，并且重新安排了普通设计的阶段。新的设计过程基于区间计算方法[14-20]。
2.设计方法
目前，系统设计必须考虑几个学科的大部分方面（空气动力学、热学、碰撞、振动hellip;hellip;）[1,2]。它基于一种妥协的艺术，即调和大量的制约因素。这方面涉及许多工程领域的几个多学科技能。这意味着在设计过程中，需要在所有不同的工程领域之间进行对话，在最优化的约束中适当地反映它们的规格，并确保生成的解决方案满足所有强加的约束。在这种情况下，仅仅靠人类的推理是不够的，因为要收集所有的联结，并理解如何采取行动来改进所选择的目标变得困难。问题的复杂性自然导致使用稳健优化技术来确定最佳解决方案。优化研究产生了大量模拟的结果。因此有必要将这些模拟的启动完全自动化[3]。图 1.a. 中描述了常规系统设计过程的各个阶段，其基于”设计-仿真-若失败返回到最初阶段”的循环[4]。一般而言，设计过程分为三个主要步骤：第一步是提供满足给定规格的所有要求的系统组件的初步设计。在该步骤中，通过一组分析模型描述产品必须满足的各种性能质量标准。事实上，几何在系统的初步设计阶段起着重要的作用。因此，在此操作中，定义了产品设计变量，并确定了尺寸。它专门用于评估和仿真，为了确保找到最佳的设计变量，允许设计者来缩小找到解决方法的空间。该步骤与模拟次数相关。已经开发了不同工程领域的许多方法和软件工具，并应用于模拟产品的行为。对于电子硬件描述语言，我们发现 (VHDL，Verilog) 预期用于表示和模拟数字电子系统的行为和体系结构，即用于多物理模拟的 Modelica 7 或用于几何的 CATIA 8，用于验证系统强度的 Solid Works 9 和用于动态模拟的有限元方法。最后一步是检查要求。在这个步骤中，设计者将通过系统仿真获得的产品响应与通过估计选择的参数和期望响应进行比较。所以设计师有两种情况。在第一种情况下，如果系统设计的结果行为满足随后在规范文件中施加的约束，模拟中使用的设计参数将作为解决方案。在第二种情况下，如果系统响应不满足施加的约束，则设计者必须通过考虑之前的模拟来更改这些参数，并且必须重复相同的设计步骤，直到获得最优解。
图1. 产品设计的一般过程与基于区间的设计过程
以前的设计不能一直是一个很好的确保优化的系统设计方法。设计者必须经过多次模拟来确定最优解，而不确定保留的解是否是解空间内的全局最优解。这是因为可以进行的模拟数量受到时间和成本的限制，这导致了系统的规模过大。因此，为了获得稳妥的设计，我们在这项工作中提出了一种新的设计方法，其模拟步骤被集成到初步设计阶段，如前图所示。
在图1.b中，我们介绍了新设计过程的不同步骤。该设计过程由四个主要阶段组成：第一步是在初步设计阶段纳入从质量标准中获得的约束。然后通过动态模型中的 CSP 方法（约束满足问题）11 来扩展这些约束，以定义系统设计的参数区域。约束规划 10，11 是 20 世纪 80 年代出现的一种解决大尺寸组合问题（如计划和调度问题）的规划范式。它是一种技术，旨在解决数学问题，寻找状态或对象满足许多限制。该技术广泛用于处理操作间隔的问题。事实上，它可以使设计变量的区域最小化。此外，CSP 方法的应用仍在开发中，并已扩展到连续领域。所以这个想法是应用 CSP 方法来解决设计问题，其中涉及设计变量必须用时间间隔来表示。在下一步中，设计人员通过 CSP 方法获得的时间间隔进行模拟，以确定系统响应。然后从区间模拟得到的解集中选择最优解。最后由设计人员用逆向方法确定最优变量。在理论上和前人的工作基础上，通过区间计算，本文提出了一种新的系统响应设计方法，可以得到系统的区间响应，并在此基础上建立了系统的解空间。然而，目前的问题是，到目前为止，这种方法的评价，以解决一个微分方程系统，并确定动态响应尚未测试上一个可扩展的例子。因此，本工作的主要目的是评价基于区间的模拟方法在模拟动态过程中的有效性。参数系统（即 Macpherson 悬挂系统）的行为。仿真方法不仅提供了对系统行为的单一评估，而且提供了一组实际响应系统所在的性能界限。
图2
3.区间计算
区间计算[12-14]被用来解决不确定性问题。它允许通过用区间[x-ε，x ε]替换用不精确度ε测量的值x来考虑测量误差。例如，将不可精确表示的值pi;替换为包含[3.14,3.15]的区间。自引入区间计算以来，已经开发了许多应用，例如线性优化，求解常微分方程，处理不确定性，......区间计算的目的是提供包含特定值或所有搜索值的结果;所以我们谈论保证或验证的结果。实际上，在区间计算中，我们不处理数字，而是处理间隔。两个区间之间的操作结果[15,16]：，函数f（z）是包含（或向量间隔）容器意义上的最小间隔。
最小间隔意味着最小的区间包含应用于X的所有元素x和Y的所有元素y的操作的所有可能结果f的所有可能结果应用于Z的所有元素z。区间计算继续增长但是，具有不同的目标，例如，是确定连续函数的全局最优或全零的精确工具[12]。在本文中，目标是在实际系统[16]上应用区间计算以通过其间隔的微分方程的分辨率来获得其动态行为。
4.用区间求解线性微分方程
在许多论文中已经讨论了求解微分方程的解决方案和方法，尤其是在计算算法中使用通用区间[15,16]而不是固定值的方法。不幸的是，在实际案例中对这些方法的评估提供了令人失望的结果，这些结果往往不同。在本文中，我们考虑了线性情况，希望能够获得更好的收敛。线性微分方程系统定义如下：
5.麦弗逊悬架系统
悬架系统涵盖了几个应用领域。
这涉及不同的操作环境，从家用（办公椅......）到具有高可靠性和要求（车辆）的应用。根据专用于悬架系统的应用，通常指定一个或多个预先确定尺寸的目标，并且必须对其进行优化。其中A是矩阵，其系数aii可以是系统的设计参数，由间隔表示。该差分系统的解是：y（t）= exp（t.A）.y0。因此，实矩阵的取幂可以解决具有初始值（IVP）的线性常微分方程（ODE）的问题。对矩阵指数的数值计算进行了广泛的研究[17-19]，以获得更准确和真实的结果。实际上，如果从前面关系的近似计算导致线性常微分系统的近似解，我们的区间分析提供了更严格的框架。然后，通 过包围区间矩阵A的取幂的矩阵的区间计算，可以获得解的严格封闭。获得exp（A）的间隔封闭的最明显方法是使用区间计算来评估截断的Taylor系列并绑定其余的。但问题在于，由泰勒指数和指数Horner与间隔计算得到的结果经常发生偏差，尤其是截断的泰勒级数。由于这个原因，在我们的研究中测试了[20]中给出的三种指数实现（泰勒的指数，霍纳的指数和能量减少的指数）。结合间隔分析，我们可以控制舍入误差来正确地批评和评估MacPherson悬架系统实例中每个指数所得到的结果，将在Section.VI.A.2中讨论。这三种指数实现的评估是通过在Matlab中使用区间库IntLab [21]进行编程来完成的。
在当今的汽车工业中，车辆在舒适性和安全性方面的优化[22-23]起着积极的作用。这涉及执行大量模拟以找到更有效和创新的解决方案，同时考虑时间限制。然而，尽管现有工具和方法的多样性，但大多数复杂系统中的模拟步骤相对较长。本研究的主要目的之一是在MacPherson悬架系统上应用区间计算方法来确定几种解决方案，这些解决方案提供了从满足所有强加约束的现有解决方案中选择理想设置的可能性。
图3.麦弗逊悬架系统
悬架系统的作用是支撑车辆的重量，以将道路振动隔离并保持轮胎与道路之间的牵引力
A.麦弗逊悬架系统控制臂的动力学模型
本研究基于Sohn等人的动力学模型[26]，用于图4所示的麦弗逊悬架系统。它由四分之一车身，车轴和轮胎，螺旋弹簧，减震器，车轴组成。负载扰动和控制臂。假设四分之一车体仅具有80°的运动。如果忽略控制臂的质量并且控制臂和车身之间的接头被认为是销接头，则自由度为2。由于控制臂的质量远小于簧载质量和非簧载质量的质量，因此可以忽略不计。
在上述假设下，图4中介绍了麦弗逊式悬架系统的模型。选择簧载质量的垂直位移zs和控制臂的旋转角度theta;作为广义坐标。
该模型中采用的假设总结如下：簧载质量仅具有垂直位移，而水平移动被忽略zs。非簧载质量（主轴和轮胎）通过阻尼器和弹簧以及控制臂以两种方式连接到车身。 theta;表示控制臂的角位移。
zs和theta;的值将从它们的静态平衡点测量。簧上和非簧载质量被假定为粒子。控制臂的质量和刚度被忽略。螺旋弹簧偏转，轮胎偏转和阻尼力处于其工作范围的线性区域
图4. 麦弗逊悬架的四分之一动态车辆模型
当悬架系统处于平衡点时，令（yA，ZA），（yB，ZB）和（yC，ZC）分别表示点A，B和C的坐标。让簧载质量向上平移zs，并且非簧载质量沿逆时针方向旋转theta;。然后，以下等式成立。
其中theta;0是控制臂在平衡点处的初始角位移。设alpha;rsquo;=alpha; theta;0。然后，从三角形OAB获得以下关系
其中l是处于平衡状态的从A到B的初始距离，l#39;是随着控制臂的旋转theta;改变的距离。因此，弹簧的偏转，阻尼器的相对速度和轮胎的偏转分别是
其中
- 运动方程：拉格朗日方法用于获得运动方程。设T，V和D分别表示系统的动能，势能和阻尼能量。然后，这些是
将（5），（6）和（9,10,11）的结果代入（12,13,14）得到
最后，对于两个广义坐标q1 = zs和q2 =theta;，运动方程如下：
其中
现在，将状态变量引入为[x1 x2 x3 x4] = [zs zs· theta; theta;·]。然后，（18） - （19）可以写成状态方程如下：
此时
2）线性化：为了简化分辨率，方程系统（20）在平衡状态下线性化，其中xe =（x1e，x2e，x3e，x1e）=（0,0,0,0）=。然后，得到的线性方程是
并且
四、麦弗逊悬架系统的动态仿真
A.瞬态响应
1）固定值：我们分析在车轮上施加1 cm位移的情况（微分方程没有第二项），因此系统方程如下：
系统被整形以应用指数矩阵。因此，在不引入麦弗逊悬架参数值的不确定性的情况（系统用指数特征值的方法求解）。我们获得了图5中所示的参考曲线。
图5麦弗逊悬架系统在快速移位时的激励响应
麦弗逊悬架系统在车轮上1cm位移激励时的动态特性如图5所示。位移zs收敛于零，这是正常的，因为悬架的作用是减轻道路引起的振动。最短时间。我们注意到底盘需要6s才能稳定并达到平衡位置，这是一个很短的时期。这是因为设计参数特别适用于底盘刚度ks，这使得结构快速变硬。我们还注意到旋转角度theta;的变化非常小，达到平衡位置需要6s，就像垂直位移zs一样。线性和角速度的变化（zs·，theta;·）与平衡位置相比非常小。这意味着阻尼系数cp被很好地选择。尽管麦弗逊悬架的动态行为对预期的前景反应良好，但我们不确定所选择的设计参数是否最佳，那么我们在下面段落的参数中引入了不确定性。
- 不确定性
本小节研究了麦弗逊悬架系统动态特性的不确定性。不确定性已应用于定义麦弗逊悬架系统动力学模型的设计参数值。利用基于区间的模拟方法求解微分方程组。重复使用section.VI.A.1中的相同计算，但
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