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多非线性参数行星齿轮系统的动力学分析
摘要
本文考虑时变啮合刚度、齿轮综合误差和分段齿隙非线性，建立了行星齿轮系统多级齿轮的扭转非线性动力学模型。利用龙格-库塔数值积分方法，求解、分析和说明了激励频率、齿轮齿隙和阻尼等分岔参数的变化。通过全局分岔图、FFT谱、庞加莱图、相位图和最大李雅普诺夫指数(LLE)来识别行星齿轮系统的运动和各种非线性动力学特性。数值结果表明，当参数变化时，系统经历了周期运动、非周期状态的系统和定量的变化范围。分析结果表明，啮合频率随外加激励的变化可以反映系统的状态。另外，在低激励频率和高激励频率下，进入混沌的运动和路径是不同的。在无量纲侧隙分岔参数和阻尼系数的作用下，对系统的运动进行了观测。较高的阻尼系数和合适的间隙可以抑制混沌区域。相应的，为了更好的运行和提高系统的使用寿命，需要对系统的参数进行合理的设计和及时的控制。
关键词：行星齿轮系统 动态分析 分岔 混沌 非线性参数
1.介绍
近十年来，风能发展迅速。行星齿轮是风力机齿轮箱的代表，它与标准齿轮箱有明显的区别。行星齿轮是用来提高转子转速发电，并在不同的负载状态下运行。然而，现代风能产业从一开始就经历了高齿轮箱故障率。由于维修难度系数等原因，延长使用寿命，提高可靠性，降低振动和噪声具有重要意义。对风力机行星齿轮传动系统进行动力学分析，有利于提高齿轮箱的使用寿命，降低振动和噪声。现已有对齿轮系统的动态特性的大量研究。Kahraman[1,2]模拟了单级行星齿轮传动系的动力学行为，获得了其固有模态和静态传动误差引起的强迫振动响应。Lin和Parker[3,4]分析了行星齿轮的固有频率和振动模态。Ambarisha和Parker[5]使用有限元模型来分析行星齿轮的非线性动力学。Chaari等人[6]报告了制造误差对行星齿轮动态特性的影响。Guo和Parker[7,8]研究了考虑轴承间隙的行星齿轮和包含齿楔和轴承间隙非线性的直齿行星齿轮的动力学。Saghafi和Farshidianfar提出了非线性振动[9]的全局分岔和混沌分析，研究了正齿轮系统[10]的混沌动力学控制。随着非线性动力学理论的发展，这些系统的稳定性、周期响应、分岔和混沌行为等非线性特性成为研究的热点。Chang-Jian[11]对含非线性悬架、非线性油膜力和非线性啮合力的齿轮-轴承系统的非线性动力学行为进行了系统分析。Xiang等人，[12]分析了具有时变刚度的多自由度齿轮轴承系统的分岔和混沌现象。Li等人[13]研究了多级行星齿轮系的分岔与混沌问题。Tao等人[14]报告了多间隙行星齿轮系统的非线性动力学。 近年来，随着风力发电的发展，越来越多的学者开始关注风力发电齿轮箱和传动系统的动力学研究。[15]开发了三种多体模型来研究风力涡轮传动系统的动力学，他们发现传动系统的失效会导致大振幅的振动，Oyague[16]使用了许多分析模型来研究风力涡轮传动系统内部部件的动力学行为。Guo等人[17]研究了风力机行星齿轮组在重力作用下的非线性动力学和稳定性，重力作用引起了齿楔和轴承滚道接触的非线性效应。Zhai等人研究了载体装配误差对风力机齿轮箱动态特性的影响。Zhao和Ji[19]研究了具有两个行星齿轮级和一个平行齿轮级的风力发电齿轮箱的非线性扭转振动。结果表明，外部激励对风力机齿轮箱扭转振动的影响最大，啮合刚度是影响齿轮箱扭转振动的另一个重要因素。Wang和Wu[20]建立了风力机齿轮系的非线性动力学模型，分析了阻尼系数对系统的影响。Guo等人[21]建立了多体动力学模型，研究了行星齿轮在风力机传动系统中的载荷。他们指出，弯矩和重力引起的基本激励会增加内载荷。本研究的主要目的是:(1)建立考虑时变啮合刚度、齿轮齿隙和非线性误差激励的行星齿轮系统的非线性扭转动力学模型;(2)从谐波响应、非谐波响应、次谐波响应、多周期响应、准周期响应和混沌响应等方面解释了输电系统的非线性动力学行为;(3)系统地研究了外部激励和内部激励对系统扭转振动的影响。
2.动态模型
本文主要研究了由行星齿轮级和两个平行齿轮级组成的风力机多级齿轮系统的纯转动动力学模型。系统集中参数动态模型如图1所示，系统各齿轮均为正齿轮。行星齿轮系有太阳齿轮、行星齿轮、行星架c和齿圈r。需要注意的是，行星的环形齿轮假定是静止的。对于风力机来说，齿轮箱的行星齿轮系是输入级，由风力机的三个叶片提供的驱动力矩施加在行星架上。为了简化动力学模型，采用以下包含假设：（1）允许所有齿轮在扭转方向上移动，扭转方向是每个部件的一个自由度，并且不可能在任何方向上发生偏转。（2）忽略了齿轮副的摩擦，齿形修正，随时间变化的温度。（3）假设各部件是刚性的，行星齿轮上的各行星轮在相同的参数下均匀分配，假设各太阳轮和行星轮或行星轮和齿圈的齿隙和综合传动误差是确定的。
2.1系统的激励
由于行星齿轮系的连续运动，各太阳轮和行星轮与行星轮和齿圈的啮合周期是均匀的，根据行星齿轮的传动，其啮合频率为
其中为载体的转动频率，表示行星齿轮系中环形齿轮齿数，在整个系统中，行星级与正齿轮级的啮合频率不同。 他们的关系是, where, 分别为行星齿轮系传动比和第一平行齿轮副传动比。用矩形波形表示齿轮组作用线上的时变啮合刚度，其形式可表示为基本啮合频率的傅立叶级数。为了简化计算，仅考虑基谐函数并将其表示为
其中和为齿轮副第j个啮合刚度的平均幅值和变化幅值。为初始相位角。下标分别代表太阳轮和第n个行星轮、第n个齿圈、第1号齿轮和第2号齿轮、第3号齿轮和第4号齿轮的齿轮副。综合传输误差是周期性的，可以考虑内位移激励的范围，采用基础啮合频率正弦函数，其表达式为
其中为综合啮合误差幅值，为系统初始相位角。
齿隙会使系统状态显著非线性，分段线性位移函数可计算为
其中2b为齿轮副的齿隙。
系统的驱动力矩表示为
其中为整个系统的传动比，为变速箱的传动功率由下式表示
其中为风能利用，为平均风速，为叶片半径，为空气密度。
2.2运动方程
根据拉格朗日方程，可以得到系统的动力方程为式(7)。这里的符号是每个齿轮的角位移，是转动惯量，是基本半径。动态模型中的刚体运动需要消除，这里给出了齿轮啮合的相对位移。将半定系统转化为定系统，利用齿轮啮合相对位移表示新的通用坐标，得到齿轮啮合相对位移为
利用设定和公称尺寸引入的若干无量纲参数，可进一步简化，其中为特征频率。
本文中，太阳轮与齿轮1、齿轮2、齿轮3的转动位移相同，因为它们的刚性轴相同，
无量纲位移、速度和加速度计算为。
重新定义非线性齿轮齿隙函数、齿轮综合误差和时变啮合刚度函数，通过将无量纲整定和激励频率设为
整个系统的无量纲方程可以描述为:
表 1
风力机齿轮传动系统的系统参数。
表 2
齿轮系统的计算参数。
式(12)中使用的参数计算如下:
3.数值结果与讨论
3.1. 激励频率
以图1所示的行星齿轮组和两个平行齿轮组为例，分析了由行星齿轮组和两个平行齿轮组组成的多级齿轮系统，采用4-5变步长龙格-库塔数值积分法求解了式(12)中的非线性动力学方程。系统第一次1500转时对应的时间序列数据被刻意排除在与稳态条件相关的数据之外。终止条件指定为误差公差小于0.0001。多级齿轮系统仿真模型参数如表1所示，计算参数如表2所示。本文中风力机的传动功率为，总传动比为。考虑到非线性动态模型的结果使用分岔图、相图、庞加莱映射,时间序列和FFT谱来获得系统动态行为的基础理解。此外,系统的运动状态的定量分析可以由最大李雅普诺夫指数(LLE)提供。行星齿轮系无量纲位移的分岔图和最大李雅普诺夫指数见图2和图3。在范围内，以激励频率作为分岔参数，当阻尼系数、齿隙和齿轮综合啮合误差幅值 。根据图2。结果表明，行星组具有丰富的非线性动力学行为，激励频率从0.001提高到1.4。系统经历了复杂而不规则的分叉。因此，产生了一定的非线性行为，如周期运动、多周期运动、准周期运动和混沌运动。LLE的图像如图3，在负数和正数之间出现变化，会导致系统不稳定。当系统的低频从0.001增加到0.6时，系统的动态行为经历了不同类型的状态，包括1T周期运动、3T周期运动、4T周期运动和混沌。太阳齿轮和行星齿轮在低频下的相对位移范围为- 1.3到- 1.05。之后，范围扩大，从minus;2.618到0.869。从图4可以看到分岔图的详细视图。与图2相比，在高频下的量值要小一些，这说明混沌下的稳定性要相对好一些。在该区域，系统进入混沌运动的路径是危险的、没有规律性，另外，在和处有2个跳点。在激励的频率范围,系统进入混沌运动的路线是倍周期分岔,LLE从负变正。此外,混沌运动窗口逐渐增加,相对位移也增加。随后,在范围内,给出了一定宽度的4t -周期性运动窗口，LLE为负。
在这之后，系统在过渡到混沌运动，LLE回到正，即0.003152。随着激励频率从1.061进一步增大到1.4，系统的动态行为表现为2t -周期运动、6t -周期运动、12t -周期运动和混沌运动。不同类型的系统状态如图5-8所示。获得的庞加莱图研究了不同的非线性分岔特性，如图5-8所示。系统的运动是由庞加莱图上有2点的2t -周期运动，到庞加莱图上有6点的6t -周期运动，再到庞加莱图上有12点的12t -周期运动，最后到混沌状态，在庞加莱图上出现两个奇异吸引子，表明系统的不稳定运动。例如，当时，系统经历2t周期运动，如图5所示。FFT谱中在点存在峰值，其中n为正整数，为无量纲基频。轨迹每两个周期重复一次。如图6所示，系统在点处经历6t周期运动，FFT谱在点处达到峰值，轨迹每6个周期重复一次。需要注意的是，系统通过倍周期分岔的途径进入混沌运动。当，如图7所示，系统为12t周期运动，轨迹每12个周期重复一次，在处也有峰值，LLE为- 0.0012，当系统经历混沌运动时，如图8所示。 此时，系统经历混沌运动，如图8所示。在FFT谱中在附近有多个频率分量。相图显示了混沌运动的视频带，LLE为0.0176。
混沌意味着系统处于不稳定和不可预测性的状态。在风力机齿轮传动系统中，从工程应用的角度来看，由于风速的不稳定，啮合频率是变化的，一方面会改变系统的运动，引起不可控的振动。另一方面，振动幅度的增大会导致系统的不平衡，增加齿轮齿根处的应力水平，产生较大的噪声。通过以上分析可以得出，为了保证风电机组和齿轮箱的安全运行，提高整个系统的使用寿命，需要对混沌状态进行控制和避免。
3.2.齿轮侧隙
齿轮齿隙可以通过增加磨损、工件变形和工作时间引起的温度变化来改变。在给定无量纲激励频率、阻尼系数和齿轮综合误差的情况下，以无量纲齿轮齿隙为控制参数，利用系统的分岔图和LLE如图9-10所示，对结果进行了分析。
随着无量纲齿轮齿隙从0.1增加到2，发现系统的发展趋势是复杂的。如图9所示，当无量纲齿隙在的范围内时，系统经历准周期运动。LLE是负的。随后，系统运动是在一定宽度内的多周期运动窗口内的混沌运动，系统在的范围内通过危险路径再次进入、退出和进入混沌运动，LLE在正、负之间不断变化。之后，系统进入多周期状态，且在和的范围内LLE为负值。如图10所示，当无量纲侧隙达到1.375和1.76时，LLE预示着大幅增加，说明了系统的混沌性。之后，系统经历了2t准周期的间歇性混沌运动，LLE是波动的。图11-15更具体地说明了系统的不同类型的运动，如图所示。当达到0.325时，系统处于准周期状态。在庞加莱图上有一个不封闭的循环。相位轨迹以不同的相邻轨迹在每个周期内重复，FFT频谱峰值为。从时间序列上可以看出，该系统具有正常的齿轮啮合和单侧齿距产生的冲击和部分短的双侧冲击。当无量纲侧隙时，如图12所示，系统经历9t准周期运动。在庞加莱图中有9个回路，相位轨迹和时间序列存在跳跃现象，说明系统经历了不平衡运动。此外，可以注意到在FFT谱上在有一些峰值。
混沌运动如图13所示。可以看出，回路是断裂的，在庞加莱图上出现了一些离散点。此外，相位轨迹非常混乱，FFT谱有一些峰值围绕边带频率，如图14所示。当系统经历2t准周期运动时。与图5相比，可以发现在相图上有两个一定宽度的闭合曲线带，在庞加莱图上有两个环路。根据时间序列，系统可能会产生齿距，造成冲击。当增加到2时，如图15所示，Fig13和Fig15的区别在于庞加莱图上出现了两个奇异吸引子，考虑到图8的说明，同样的，系统也经历了混沌运动。系统不同侧隙的LLE如表3所示。
在本节中，说明了动态运动非常容易受到齿轮齿隙变化的影响。齿轮齿隙，如图9和10所示，齿轮齿隙的适宜范围较窄，难以控制各种齿轮齿隙所造成的影响。
表 3
具有不同的系统侧隙的LLE
3.3阻尼系数
行星齿轮系无量纲位移的分岔图和最大李雅普诺夫指数如图16-17所示。以行星齿轮组的阻尼系数为控制参数，在激励频率、齿轮齿隙和综合齿轮误差下进行控制。随着阻尼系数的增大，当阻尼系数，系统的动态运动由混沌运动转为准周期运动，LLE- 0.0003262。需要注意的是，随着阻尼比在取值范围内的增大，某一宽度的多周期运动窗口占据主导地位，即系统的动力行为转化为22T-周期运动。
为了具体说明动力学行为，绘制了系统的不同运动状态类型，如图18-20所示，当阻尼系数如图18所示时。系统经历22T-周期运动，在庞加莱图上有22个离散点。数值解如图19所示。在阻尼
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