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第二章 轮胎动力学
2.1 序言
第一章讨论了这本书如何研究车辆在水平面上内除去地面轨道限制的独立运动。造成这种运动的力是由车辆与地面的相对运动所产生的。
车辆与地面之间的接触点位于车轮上。如果车轮有一个与其旋转平面相垂直的分速度，它就会受到一个与其运动方向相垂直的力。换言之，使车辆运动的车轮力是由车辆与地面的相对运动产生的并且生成于地面。这与一架飞行中的飞机机翼所受竖直升力和轮船所受的垂直于运动方向的升力的情况相类似(对于轮船，这是一个侧向力)。
车轮与车辆相匹配，不仅在支承车辆载荷的同时通过旋转产生牵引力和制动力，同时在使车辆运动独立于轨道的过程中起到重要作用。这是车辆的重要功能。
在研究车辆动力学和控制的过程中，了解作用于车轮的各个力是十分重要的。因此，本章节主要研究由车轮与地面的相对运动所产生的力的生成原理及相关特性的解释。
2.2 产生侧向力的轮胎
2.2.1 轮胎与侧偏角
一般情况下，当车辆沿直线行驶时，车轮的朝向与运动方向一致。换言之，车轮的运动方向是与车轮旋转平面方向一致。然而，当车辆有侧向和/或横摆运动时，运动方向有可能与旋转平面方向不一致。
图2.1是车轮俯视图，（a）中运动方向与旋转平面方向一致，（b）中不一致。（b）中五轮仪的轮胎产生了侧偏，轮胎运动方向与旋转平面方向之间的夹角称为侧偏角。
图2.1车轮运动简图
假如车轮使前进中的车辆运动的话车轮同时也受到牵引力的作用，制动时也受到制动力的作用。并且滚动阻力一直都存在。如果车轮像（b）一样存在侧偏，就会产生一个垂直于其旋转平面的侧向力。这个力可以视作当车轮存在侧偏角时所产生的阻止其侧偏的力。这是车辆独立运动所依赖的一个重要的力。通常这个力被称作侧向力，它在与车轮运动相垂直方向上的分力称作侧向反力。当侧偏角很小时，侧向力可以近似看作侧向反力。
这个力与流体力学中物体运动存在迎角时受到的升力相对应，如图2.2所示。
车轮可以分成许多种类，但是全都可以在侧偏运动时提供一个垂直于旋转平面的侧向力。图2.3比较了在小侧偏角时，由充气轮胎、实心橡胶轮胎和钢轮提供的侧向力存在的区别。
图2.2 升力
迎角
由此，可以很容易看出侧向力的大小取决于轮胎的种类并且相互差异非常大。尤其是钢轮所能产生的侧向力最大值比橡胶轮胎所产生的小了三分之一。而与橡胶轮胎相比，充气轮胎土提供的侧向力要大得多。对于车辆的独立运动，车轮在侧偏时所受的力需要尽可能大。因此，可以在平面内自由运动的车辆，在没有外部限制的情况下通常都采用充气轮胎。这既可以满足车辆乘坐的目的，也有利于得到利于操控车辆的侧向力。
升力
在下一个小节，充气轮胎简称为轮胎，并且阐明了侧偏运动时作用于轮胎的侧向力的产生原理。
2.2.2 侧偏时轮胎的形变与侧向力
一般来说，力作用于轮胎与道路的接触面。轮胎侧偏时，将如图2.4所示，在其接触面和外圆周面产生形变：（a）为轮胎形变的主视图和侧视图；（b）为轮胎接触面及外圆周面变形的俯视图。
在接触面的前端，形变的方向几乎与轮胎运动方向平行。轮胎在这个部分与地面没有相对滑动。
当轮胎滑动角度很小时，整个接触面与图示十分相似并且最后方的侧向变形量最大。
a
随着轮胎滑动角度增大，接触面的前端仍然保持着与运动方向近似平行的状态。变形量在接近接触点中心处减小并且侧向变形量在接触面前后两端之间的一个固定位置达到最大值。在最大值点之后，轮胎的接触面偏离轮胎中心线并且变形量不再增大。
随着侧偏角越来越大，变形量的最大值点迅速向前端移动。当侧偏角达到10°-12°时，接触面与运动方向相平行的部分消失。接触面的形变在车轮中心附近是近似对称的并且包含了绝大部分的变形区域。
轮胎的侧向形变产生了一个作用于接触面的侧向力，这个力的分布取决于变形量的大小。当侧偏角很小时，这个侧向力也被称作侧向反力。通过对车轮侧向变形的观察发现，侧向力的合力可能不与接触面的中心共线。因此，侧向力生成了一个围绕轮胎接触面中心的力矩。这个力矩称作回正力矩，作用于使侧偏角减小的方向。
2.2.3 轮胎的外倾与侧向力
如图2.5所示，轮胎旋转平面与竖轴之间的角度称为外倾角。如图2.5所示，如果轮胎在存在外倾角oslash;的情况下可以在水平面内自由转动，轮胎将以点O为圆心，R/sinoslash;为半径作圆周运动。如果这个圆周运动受到阻碍，使轮胎仅能直线运动，则会如图中所示产生一个作用于轮胎的力，这个由轮胎与地面之间的倾角所产生的力被称作外倾推力。
图2.5 轮胎外倾角与外倾推力
2.3 轮胎侧偏特性
轮胎产生侧向力和力矩的特性，如第2.2节所述，被定义为侧偏特性。在本节中，将对轮胎的侧偏特性进行更详细的考察。
2.3.1 菲亚拉理论
菲亚拉[1]提出的数学模型被广泛用于上述的关于轮胎侧滑所产生的侧向力的分析。它通常被称为菲亚拉理论并且涉及到了轮胎的侧偏特性。它是被许多人用来说明轮胎侧偏特性的基本理论之一[2]。
在此，基于菲亚拉的理论，轮胎的转向特性将在理论上得到研究。轮胎结构被建模为图2.6，A是一个等效于轮辋的刚体。B等效于充气轮胎及其可以在垂直和横向方向上产生弹性变形的侧壁。C等效于在两侧与侧壁接合的薄胎面基部。D等效于胎面橡胶，胎面橡胶是一个不连续的形状，由许多遍布在轮胎圆周面的相互独立的弹簧组成。
当一个力从侧向作用于轮胎与地面的接触面，轮胎将产生侧向变形。轮辋是刚体因此不会产生变形，但是胎面基部会在侧向产生弯曲变形。此外，胎面橡胶将由胎面基部和地面之间的剪切力而产生变形。图2.7示出了这种侧向变形。
假设胎面基部在接触面的前后两端产生一样的变形，连接这些点的直线称为胎基中心线，我们定义它为X轴。Y轴过接触面的前端点与A轴相垂直。X轴平行于轮辋中心线和变形之前的胎基中心线。在这个坐标系内，在X轴方向上与接触面前端点的距离为x，相对于X轴的侧向位移为y。y1是当0le;xle;l1时胎基中心线相对于X轴的侧向位移；y2是当l1le;xle;l2时的侧向位移；在0le;xle;l1的区间内，如2.2.2小节所述，轮胎与地面之间没有相对滑动。相对位移产生于l1le;xle;l2的区间内。beta;是轮胎的侧偏角，l是接触面长度，b是接触面宽度。
我们首先考虑胎基的侧向变形y，如果将胎面基部沿着轮胎圆周扩展，外观将如图2.8所示。这是一条在由图2.6中的弹簧B组成的无限长的弹性梁。
这个弹性支梁的变形是由于受到作用于轮胎侧面的侧向力F，轮辋中心线为X轴，而Y轴经过轮胎中心与X轴相垂直。如果这个力仅作用于Y轴（及x=0），则可以得出下式
（2.1）
据上式，若xne;0，则w(x)=0；若x=0，则w(x)=F；E是胎面材料的杨氏弹性模量，I是胎面基部单位面积的转动惯量，而k是弹性梁单位长度的劲度系数。解上述方程，侧向位移y为下属方程的通解。
(2.2)
. (2.3)
胎面基部在接触面的位移y假定处于区间内。假设,则y可以近似表示为关于x的二次方程.
(2.4)
此外，经过，y可以表示为：
(2.5)
该方程表示了图2.7中胎面基部的侧向位移y。接下来，从据接触面中心线位移分别为y1，y2处观察。在区间0le;xle;l1内，轮胎与地面没有相对位移。接触面在与轮胎侧向运动相反的方向产生变形。接触面沿纵向方向上每个点的侧向位移y1可写作：
(2.6)
胎面基部的位移由式(2.5)给出，胎面橡胶的位移由式(2.6)给出。如图2.9所示，一个大小为(y1-y)/d的剪切应变产生于胎面基部与胎面橡胶之间。横向方向每单位长度上的力作用于沿接触面纵向方向的每个点上。
(2.7)
（2.8）
G为胎面的剪切模量，y为泊松比。
如图2.7，y1-y在沿着接触面后端的方向增大。如果大于胎面橡胶和地面之间的摩擦力，它们之间就会产生相对滑动，滑移区域表示为；胎面橡胶的剪切应变为.产生这个应变的力是地面与胎面橡胶之间的摩擦力。简单起见，轮胎的负载视作W，接触面沿着X方向的压力可以近似表示为关于轮胎中心的压力峰值的二次方程，如图2.10.
(2.9)
(2.10)
则可表示为：
(2.11)
为地面与胎面橡胶之间的摩擦系数，为满足时x的值。
（2.12）
因此，代入x解这个方程可得出，
(2.13)
作用于接触面沿纵向方向上每个点的侧向力，对于一个很小的增量,当时其增量为；当时其增量为.作用于整个接触面的合力，即侧向力F，由下式给出：
(2.14)
将式(2.13)代入式(2.14)并整理，在两边求解出F，这使得方程难于求解。因此，菲亚拉将F按照如下方法估算：
(2.15)
(2.16)
这就是用于描述轮胎侧偏角与侧向力之间关系的基本方法。
图2.7说明侧向力在接触面的作用并不关于接触面的中心对称。这使得侧向力产生了一个围绕着经过接触面中心的垂直轴的力矩。这个力矩就是回正力矩。对于接触面上每个点的一个很小的增量，当，其增量为；当，其增量为为。即
(2.17)
将方程(2.13)以的表达式代入方程(2.17),得到一个十分复杂的方程。运用如方程(2.15)中取得F近似值的方程，菲亚拉如下式估算M：
(2.18)
这是描述轮胎侧偏角度与回正力矩大小关系的基本公式。
当很小时，每个单位角度对应的侧向力被称为侧偏刚度，表示为：
(2.19)
轮胎摩擦力的最大值可在式(2.10)中得出
(2.20)
对进行定义：
(2.21)
方程(2.15)和(2.18)可以写作如下：
(2.22)
(2.23)
对式(2.22)与(2.23)求的微分并令它们为0，得到时有最大值1.在时取得最大值27/512.
换言之，侧向力F在侧偏角度取如下值时最大：
(2.24)
它的最大值为：
(2.25)
回正力矩最大时，侧偏角度为：
(2.26)
最大值为：
(2.27)
利用方程(2.22)和(2.23)，依据侧偏角度可以得到关于侧向力的量及关于回正力矩的量的无穷小量。绘于图2.11和2.12。
如图2.11所示，侧向力F在侧偏角很小时几乎与成正比。当超过某个值之后，侧向力的大小接近饱和，并且不再随着侧偏角而增大。根据图2.12，回正力矩在当侧偏角很小时几乎与成正比，大于某个值之后，回正力矩的大小突然达到饱和并随着侧偏角度的增大开始减小。当很小时，，侧向力和回正力矩可以视作与侧偏角度成正比，当较大时，侧向力不再与侧偏角成正比，而呈现出一种非线性特性。
当侧偏角度较小时，，与成二阶以上关系的项可忽略。侧向力和回正力矩与的关系由方程(2.15)和(2.18)作如下推导：
图2.11
图2.12
(2.28)
(2.29)
在此，K即方程(2.19)中所谓的侧偏刚度。根据方程(2.8)和(2.16)，侧偏刚度可以写作如下形式：
(2.30)
由接触面中心到侧向反力作用点之间的距离被称作轮胎拖距,如图2.13所示。它的定义如下：
lt;
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