单级正齿轮箱的主动振动控制
摘要
齿轮机构的驱动齿轮和从动齿轮之间的动态传动误差扭转模式由周期性时变网格刚度引起。在这项研究中，来最小化这种时变网格刚度的不利影响，非线性控制器提出了调节作用在驱动齿轮上的扭矩的方法。基本方法是调节输入扭矩，使其补偿网格刚度的周期性变化。假设齿轮以高精度组装，齿轮箱由有限元软件软件计算网格刚度曲线。因此，通过前馈改变网格可以预测和消除刚度非线性的刚度环。然后，通过极点放置技术控制剩余的线性动态。在这些前提下，可以说输入轴的任何加速度和速度分布可以准确跟踪。因此，动态传输错误可以保持小值和设计一个不会发出很大噪音和振动的正齿轮箱。
1.简介
齿轮是许多重工业机械的重要机械元件。正齿轮可以传递已知平行轴之间的旋转运动，扭矩和转换速度是最简单的齿轮类型，众所周知正齿轮的操作效率远高于任何其他齿轮类型。因此，渐开线齿轮传动已经发现许多工业应用。具有渐开线轮廓的正齿轮的优点可列为：改变齿厚和中心距很简单; 正齿轮可以高精度生产，非标准渐开线齿轮可以采用标准化生产工具，正齿轮中心距的变化不会导致传动误差。当组装一对正齿轮以在平行轴之间传递扭矩时，预测正齿轮动力学对于监控齿轮状况和控制传动系统至关重要。当正齿轮的渐开线轮廓以零误差制造时（例如制造公差非常紧，并且没有负载），预计会有一对正齿轮以零传输错误运行。但是，当在负载下研究同一对齿轮时，输入轴的速度为由于齿轮体的变形和齿廓误差而传递到输出轴上的误差。
该问题（例如，搜索振动和噪声）与网格刚度的周期性变化密切相关;在整个典型的啮合循环中，一对齿轮的啮合刚度发生变化。因为进入的牙齿数量在两个整数之间跳转，例如对于低接触正齿轮，它在一到两个之间交替。这个导致网格刚度突然变化的现象是过度振动噪声的根本原因。实验表明，当齿轮啮合频率等于基本固有频率时，振动幅度取大值。
由于周期性时变网格刚度和相关的传动误差是直齿轮动力学的核心，在过去，这个课题已经过深入研究。大多数这些努力都集中在齿轮的动态分析上：
计算作用在齿轮齿上的动态载荷，预测传动误差等。另一方面，一对齿轮之间的传递误差已经被其他人研究并最小化其振幅，因为一旦传输误差的幅度是最小化，动态负载的幅度下降到较小的值，为此，改变渐开线齿轮的轮廓并寻求均匀的网格刚度。然而，控制技术在齿轮动力学中的应用相对较新，迄今为止发表的论文很少。
在本研究中，我们建议使用扭矩调制技术来补偿网格刚度的变化。我们假设非线性控制器可以使用完全状态测量。此外，还假设齿轮箱的几何形状已知且具有高精度，例如齿轮的起始位置。因此，利用这些知识与齿轮的材料特性相结合，可以计算出一对齿轮的啮合刚度，它是齿轮角度的函数。在非线性控制器侧，开发了齿轮机构的逆动力学模型进行预测由时变周期网格刚度产生的非线性力。一旦这些非线性力被进给前向回路消除，剩余的齿轮动态是线性的，因此可以通过极点放置技术进行控制。因此，它声称可以精确地跟踪输入轴的任何加速度和速度曲线。
这项研究的主要目标是调节驱动正齿轮机构的输入轴的速度，消除驱动和从动齿轮之间的传动误差过大，并使作用的动载荷幅度最小化。考虑到这一点，开发了一对正齿轮的有限元模型及其网格刚度在动态分析之前计算。这个非线性刚度项被插入到数学模型中一对正齿轮。然后，在不同的负载条件下，由这种所谓的非线性控制器控制对该传输系统进行动态分析。已经表明，可以调节轴的速度为驱动齿轮提供动力并使一对齿轮之间的动态传动误差幅度最小化。因此，它具有已经证明可以设计一种不会发出很大噪音的变速箱。
- 文献调查
齿轮动力学有许多显示出不同的特征的前沿知识[1,2];首先，模型本身就是一个主要关注点，已经开发出不同的动态模型，通常，这些模型可以分为集总参数模型，有限元模型和连续系统。除了这种分类，解决方案技术完全取决于学习的模式和目标，采取不同的形式。稳态和瞬态响应分析要求采用不同的求解器技术来实现节省时间的。另一方面，主要的工作是对模型中包含的效果进行识别。这些影响包括轴不对中，轮廓误差，制造误差，齿模型，时变网格刚度，齿轮梁模型，齿隙，轴的弹性。在优化方面，齿轮齿廓已经过修改，以重塑随时间变化的网格刚度。这种类型的努力也被认为是齿轮动力学工作的主流。尽管轮廓修改是最小化的常见做法，在过去十年中，由于网格刚度和传动误差幅度的变化，齿轮噪声的主动振动控制已经成为齿轮动力学领域的一种有前景的方法。但是，迄今为止很少有论文在主动振动控制已进行过齿轮研究
齿轮的动态建模有几个方面：在一个方向上，具有较小自由度的集总参数模型（DOF）已被使用;另一方面，具有大DOF的复杂模型已被用于研究性质复杂的齿轮动力学。在这方面，一些作者用有限元模型研究了非线性齿轮动力学[3]，离散模型系统也被广泛用于研究齿轮动力学。在这些模型中，最具特色的是在齿轮系统的特征中，计算时变网格刚度并将其作为非线性插入离散模型中弹簧。这些模型不仅加快了模拟的速度，而且为高级模型开辟了空间包括支持要素的贡献。这些模型用不同的数学技术解决系统的稳态响应，尽管很少有作者试图预测瞬态响应。具有时变网格刚度的1-DOF模型用于研究一对的稳态响应低接触比正齿轮[9,10]。研究了带有螺旋/正齿轮的多网格传动[11]和单级正齿轮减速器的动态行为[14]。
齿轮动力学的复杂性质要求数学模型中包含不同的效果;齿隙和齿分离，时变啮合刚度，轴不对中，轴承偏转。这导致了多样化齿轮动力学文献中的模型集。研究了接触比对牙齿分离的影响[17]。研究了考虑轴承变形引起的平移运动的正齿轮的动态响应[18]，渐开线的效果研究了接触比[19]。模拟了包括轴柔性在内的一对齿轮的非线性振动[20]。一个动力学模型的开发是为了研究转子和轴承不对中对齿轮动力学的影响[21]，一对具有间隙和时间相关的网格刚度的齿轮[26,27]。三维非线性研究了一对齿轮的振动[28]，具有可变截面Ti moshenko梁齿模型的一对齿轮的动态响应[29]。
在齿轮分析中考虑了不同复杂度的网格刚度模型;其中一些模型对于典型的网格循环来说，它是一个常数值，而其他的则考虑到真正的时变刚度特点。计算了不同载荷条件，中心距离和安装距离的传动误差，啮合刚度和载荷分担系数[30]，提出了一种模型来研究齿轮齿之间的关系误差和总网格刚度，以及加载的静态传输误差[31]。
众所周知，传动误差是齿轮振动的主要来源。为此，轮廓修改是控制齿轮之间的动态传动误差和过度振动的常见做法,开发一个先进的集总参数模型来研究安装和装配误差以及线性轮廓对齿轮动力学的影响[32]。他们研究了不同组的改进正齿轮[4]，剖面图最小化准静态传输误差的波动[35]。两级齿轮机构的轮廓修改是研究[40]关于准静态传输误差的近似分析结果，对低和高接触刺激提出了有效的方法[41]。 研究了斜齿轮牙齿误差的影响[42]。
故障检测和准确的故障诊断对于正常的机械操作至关重要，因此对齿轮系统进行诊断是一个活跃的研究领域;使用从套管安装振动传感器[43]获得的测量值进行状态监测和电动机电流的波动[44]。许多研究论文都提到了检测磨损牙齿损伤[45-47]和裂纹故障检测[48,49]。最近，对齿轮振动或噪声的主动控制引起了人们的注意。已经使用了不同的方法控制其源头的振动或取消从齿轮啮合到支撑元件的振动传递。使用线性时不变有限元模型，其中载荷静态传递误差作为在接触点处位移激励，比较了不同的致动概念在抑制齿轮箱振动方面的性能[50]，使用了齿轮组的线性化模型。在齿轮系统上组装致动器网络以取消使用网格刚度的傅立叶级数展开计算的次级力。时间不变的一对正齿轮的动力学模型用于通过前馈控制来消除啮合力[52]。在[53]中，分析了齿轮箱振动的线性有限元模型，数值显示[53]和实验[54]使用压电堆叠致动器可以抑制由于啮合刚度引起的振动。混合自适应方法是提出使用傅里叶级数周期网格的少数组件来抑制一对齿轮[55]的振动刚度和传动误差函数,实施有源控制器以减少齿轮组中的周期性振动[56],提出了一种被动方法来减少齿轮产生的振动[57]。又提出了一种减少齿轮的方法，使用一对简单的正齿轮进行振动[58];两个齿轮以半节距相位组装在一起补偿随附齿轮的啮合刚度的变化，从而补偿复合齿轮的啮合刚度的变化最小化。因此，通过计算机模拟显示出由于啮合刚度引起的动态载荷最小化。
过去，对齿轮的动态分析进行了深入研究，然而，齿轮振动的控制吸引的较少被注意。最近，几种控制技术已应用于齿轮模型。通常，这些模型是随时间不变的并且网格刚度被认为是恒定的，很少有模型包括网格刚度和伴随的传输使用傅立叶级数的错误。大多数研究都集中在安装在齿轮坯料上的压电致动器叠层上进行抑制在其他情况下，致动器安装在支撑元件，即轴和轴承上，以隔离齿轮箱套管来自振动源。本文对一对正齿轮的非线性模型进行了控制，其中采用了网格作为非线性弹簧元件保持刚度，并且提出扭矩调制以最小化其齿轮振动
资源。本研究中提出的方法可以作为主动扭矩控制扩展的建议[58]。在[58]中，第二齿轮组装到主齿轮以最小化啮合刚度变化。在这项研究中，网格刚度是通过模拟[58]中提出的机械设计中的第二档的逆模型抵消了。从第二个开始使用扭矩控制器模拟齿轮，可以用任何接触比抵消任何网格刚度变化这固有地决定了单齿和双齿接触区。相反，在[58]中，据报道半节距相位的成功取决于接触比，并且对于接触比为1.5，可以抵消完全改变网格刚度并具有恒定的网格刚度。但是，本研究中提出的方法显然适用于任何接触比率，包括1.5。此外，这种方法的应用不需要任何对现有齿轮机构的改进
3. 背景
3.1扭转网格刚度
一对齿轮的啮合刚度可近似计算为扭矩与总弹性角的比率齿轮体的旋转。 在整个典型的网格循环中，网格刚度随着齿轮旋转而变化，因为在单齿对触头和双齿对触头区域之间交替接触的齿对数量，见图1是典型的时变周期性网格刚度曲线。
有限元模型细节和典型的网格刚度。 （A）齿轮副的2个完整网格周期的网格刚度kt（详见表1）和（B）齿轮系统有限元模型的细节
3.2动态模型
过去已经提出了许多齿轮机构模型; 这些模型包括不同的效果和各种各样的假设：间隙，制造误差，渐开线轮廓误差和支撑部件的弹性。 在这个研究中，研究了具有牙齿顺应性的模型，轴承和轴的弹性被忽略。在这种类型的模型中，齿轮机制，建模为2自由度弹簧系统，用于研究动态载荷下的时间响应。
3.3。 齿轮啮合刚度的数值计算
在有限元软件中，使用商业有限元网格划分的典型正齿轮对的实体模型分析了图1中给出的软件。 在齿轮的一些连续角位置处计算刚度（多个在准静态加载条件下，考虑了沿2pi;/ N扇区的点），网格刚度kt定义为输入负载T（N m）和传输误差TE（m）的商
通常，刚度曲线类似于方波。 一旦第二齿轮的齿接触，刚度值立即跳到更高的值，典型的网格刚度曲线如图1所示。
3.4正齿轮副的有限元模型
在有限元软件中，网格划分方法被选为十六进制主导（20节点四边形）和元素中间节点属性设置为保留。这些元素有20个节点，每个节点沿x / y / z有三个自由度方向。有限元软件有四个选项来进行静态结构分析：惩罚方法，增广拉格朗日，纯拉格朗日，多点约束。在这项工作中，选择了增广的拉格朗日方法，并且接触分析是无摩擦的。在有限元软件中分析的正齿轮副模型有18,590个元件和112,805个节点。轴孔的内表面是细网状的。两个旋转接头定义在齿轮的中心空白。
在准静态加载条件下模拟一对齿轮，因此在每个模拟步骤中，首先是齿轮由于运动关系决定了空白旋转，然后以相同的载荷不同的边界条件重复分析条件。对于典型的啮合循环，该分析程序重复33次。当齿轮副承受静载荷时，旋转接头处的角度旋转由探针测量。这些由探针测量的量是由于弹性齿和齿轮坯的角度偏差引起的。就这样网格刚度计算为所施加的力矩与探头测量的传输误差的商。
4单级正齿轮对的非线性控制
4.1正齿轮副的动态模型
最初的6-DOF模型在[59]中提出：这是一个多功能的模型，包括许多元素和效果：由间隙，轮廓和制造误差引起的非线性以及许多支撑机器元件的影响都可以作为离散元件包括在该模型中，例如轴和轴承的弹性和阻尼特性。但是，我们发现在我们首次尝试解决问题时，简化此模型并将其简化为2自由度模型，很方便研究非线性控制问题。
本研究考虑了集总参数动态模型，其CAD模型如图2所示。在这个模型中，齿轮由刚性轮表示，这些刚性轮沿着作用线彼此连接通过多个用于表示齿轮齿廓的柔性，齿隙和几何偏差的元件。该第一个元素是周期性时变齿轮啮合刚度km（t）。第二个元素是粘性阻尼器cm旨在表示齿轮啮合处的能量损失。位移函数e（t）也沿着作用线施加模型制造误差，轮廓磨损或有意的齿形修改。最后，网格刚度受到影响，间隙元件使得由于齿隙引起的齿分离可以精确地建模。
为了简化6-DOF动力学模型并具有2-DOF半定扭转模型，有许多假设已经制成：假设轴和轴承的弹性和阻尼特性可以忽略不计， e（t）表示轮廓和制造误差，从等式中删除。反弹是一种固有的特征，每个齿轮组件都被忽略了。装配误差，例如中心距离误差的偏心率和几何约束不考虑轴，即假设轴处于完全平行的状态。
当上述假设应用于[59]中提出的6-DOF模型时，我们获得了简化模型。 这个是具有非线性刚度项的正齿轮对的2自由度半定动力学模型，其随角度变化定期对齿轮副的位置进行记录，动态模型可以从6自由度离散的动态模型中获得。
[59]中提出的模型，其内容如下：
在上面给出的动态方程中，T1是控制扭矩，T2是负载。据推测，我们可以调整控制扭矩T1，但负载扭矩T2由操作条件决定。theta;1和theta;2是小齿轮和齿轮体的角位移 ，r1和r2分别是小齿轮和齿轮体的半径。km（t）和cm是网格齿轮系统的刚度和阻尼系数。网格刚度可以写成平均值的总和刚度项加上随时间变化的不确定部分：lt;
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