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DRIVING DYNAMIC PERFORMANCE
When computing the performance of a vehicle in longitudinal motion (maximum speed, gradeability, fuel consumption, braking, etc.), the vehicle is modelled as a rigid body, or in an even simpler way, as a point mass.
The presence of suspensions and the compliance of tires are then neglected and motion is described by a single equation, the equilibrium equation in the longitudinal direction. If the x-axis is assumed to be parallel to the ground, the longitudinal equilibrium equation reduces to
mxuml; = Sigma; Fxi , (23.1)
where
forall;i
Fxi are the various forces acting on the vehicle in the longitudinal direction
(aerodynamic drag, rolling resistance, traction, braking forces, etc.).
As will be seen later, Eq. (23.1) is quite a rough model for various reasons. For one thing, when the vehicle is accelerated, a number of rotating masses must be accelerated as well; this, however, can be accounted for easily. Other approx- imations come from the fact that the vehicle does not travel under symmetrical conditions, particularly when the trajectory is not straight and the direction of the x-axis does not coincide with the direction of the velocity or, in other words, the sideslip angle beta; is in general different from zero.
-
- LOAD DISTRIBUTION ON THE GROUND
Longitudinal dynamics is influenced by the distribution of normal forces at the wheels-ground contact. A vehicle with more than three wheels is statically in- determinate, and the load distribution is determined by characteristics of the
G. Genta, L. Morello, The Automotive Chassis, Volume 2: System Design, 185
Mechanical Engineering Series,
sect;c Springer Science Business Media B.V. 2009
suspensions which, as seen in Part I, also have the task of distributing the load on the ground in proper way. However, if the system is symmetrical with respect to the xz plane, all loads are equally symmetrical, and the velocity is contained in the symmetry plane, then the two wheels of any axle are equally loaded. In this case, it is possible to think in terms of axles rather than wheels, and a two-axle vehicle may be considered as a beam on two supports which is, then, a statically determined system. In this case, the forces on the ground do not depend on the characteristics of the suspensions and the vehicle can be modelled as a rigid body.
Vehicles with two axles
Consider the vehicle as a rigid body and neglect the compliance of the suspensions and of the body. As previously stated, if the vehicle is symmetrical with respect to the xy-plane1, it can be modelled as a beam on two supports, and normal forces Fz1 and Fz2 acting on the axles can be computed easily.
With the vehicle at a standstill on level road the normal forces are
.where
Fz1 = mgs01 Fz2 = mgs02
.
s01 = b/l s02 = a/l .
(23.2)
The forces acting on a two-axle vehicle moving on straight road with longi- tudinal grade angle alpha; (positive when moving uphill) are sketched in Fig. 23.1. Note that the x-axis is assumed to be parallel to the road surface.
Taking into account the inertia force minus;mV˙ acting in x direction on the
centre of mass, the dynamic equilibrium equations for translations in the x and
z direction and rotations about point O are
⎧⎨
Fx1 Fx2 Fxaer minus; mg sin(alpha;) = mV˙
Fz1 Fz2 Fzaer minus; mg cos(alpha;) = 0
⎩ ˙
Fz1 (a Delta;x1) minus; Fz2 (b minus; Delta;x2) mghG sin(alpha;) minus; Maer |Fxaer |hG = minus;mhGV .
(23.3)
If the rolling resistance is ascribed completely to the forward displacement of the resultant Fzi of contact pressures sigma;z, distances Delta;xi can be easily computed as
Delta;xi = Rl f = Rl (f0 KV 2) . (23.4)
i i
Except in the case of vehicles with different wheels on the various axles, such as F-1 racers, the values of Delta;xi are all equal.
1In the present section on longitudinal dynamics, a complete symmetry with respect to the xz plane is assumed: The loads on each wheel are respectively Fz1 /2 and Fz2 /2 for the front and the rear wheels. To simplify the equations, the x-axis is assumed to be parallel to the
road surface.
FIGURE 23.1. Forces acting on a vehicle moving on an inclined road.
The second and third equation (23.3) can be solved in the normal forces acting on the axles, yielding
⎧⎪⎨ Fz1 = mg
(b minus; Delta;x ) cos(alpha;) minus; h sin(alpha;) minus; K V 2 minus; hG V˙ l Delta;x1 minus; Delta;x2
(23.5)
2 G 1 g
⎪⎪⎩ Fz
= mg
hG
(a Delta;x1) cos(alpha;) hG sin(alpha;) K V 2 V˙
2 g
minus;
,
2
where
l Delta;x1 minus; Delta;x2
⎧⎪ K
= rho;S Sigma;C h
- 驱动动态性能
在计算车辆的纵向运动性能（最高速度、可分级性、燃料消耗、制动等）时，车辆的模型为刚体，或以更简单的方式，将它作为一个质点。
然后忽略悬架的存在和轮胎的顺应性，用一个方程，即纵向的平衡方程来描述运动。如果假设x轴与地面平行，则纵向平衡方程降低为
mxuml; = Fxi , (23.1)
其中Fxi是纵向作用在车辆上的各种力（气动阻力、滚动阻力、牵引力、制动力等）。
以后会看到的，方程式（23.1）由于各种原因是相当粗略的模型。一方面，当车辆加速时，一些旋转质量一定也被加速，这当然很容易理解。其他近似则来自于车辆不在对称条件下行驶的事实，特别是当轨迹不直，x轴的方向与速度的方向不一致，换句话说，侧滑角beta;一般与零不同。
23.1地面荷载分布情况
纵向动力学受轮对地接触时正力分布的影响。三个轮子以上的车辆是静定的，负荷分布由悬架的特性决定，如第一部分所示，悬架的任务也是以适当的方式分配地面的负荷。但是，如果系统相对于xz平面是对称的，所有的负载都是同样对称的，速度包含在对称平面中，那么任何轴的两个轮子都是同样的负载。在这种情况下，可以用车轴而不是车轮来思考，双轴车辆可以被认为是两个支架上的梁，然后是一个静态确定的系统。在这种情况下，地面的力量不依赖于悬挂的特性，车辆可以被建模为刚体.
23.1.1双车轴车辆
将车辆视为刚体，而忽略悬挂装置和车身的顺应性。如前所述，如果车辆相对于XY平面是对称的，它可以被建模为在两个支撑上的光束，并且可以很容易地计算作用在车轴上的正作用力fz1和fz2。（在关于纵向动力学的本节中，假设了xz平面上的完全对称：每个轮子上的负载分别是前轮和后轮的fz1/2和fz2/2。为了简化方程组，假设x轴与路面平行。）
当车辆停在平路上时，正常的受力是：
(23.2)
图23.1绘制了在直线道路上采用龙眼斜角alpha;（上坡时为正角）的两轴车辆所受的力。
考虑到在质量中心上作用在X方向的惯性力mV，在X和Z方向上的平移和关于点o的旋转的动态平衡方程为:
(23.3)
如果滚动电阻完全归因于接触压力sigma;z所产生的Fzi的向前位移，则距离△Xi可以很容易地计算为：
(23.4)
除了在各种车轴上有不同车轮的车辆，如F-1赛车，△Xi的数值都是相等的。
图23.1在倾斜道路上行驶的车辆上的各种力
（23.3）中第二、三方程可在作用在车轴上的法向力中求解，得到：
(23.5)
即：
△Xi的值通常相当小（特别是它们的差通常等于零），可以忽略。如果考虑在内，由于滚动阻力中的KV这一术语（这个假设只作为第一近似成立，因为它没有考虑到F对驱动或制动条件或其他变量的依赖。），它们使垂直载荷对速度平方的依赖性进一步减弱。
例23.1 在下列条件下，以标准压力和温度计算附录E.1的小型汽车在海平面上的地面力分布：
a)在平路上停滞不前；
b）在平路上以100km/h行驶；
c）在10%等级上以70km/h行驶；
d）在平路上以0.4倍重力加速度的减速度从100km/h开始制动。在上述条件下，空气密度为1.2258kg/m3。
解：a)使用方程(23.2)，车轴之间的静载分布为:
ε01 = 0.597, ε02 = 0.403.
作用在车轴上的力：
Fz1 = 4863 N, Fz2 = 3280 N.
b）由方程式(23.4)，在100km/h=27.78m/s时，△x的值为所有轮胎的4.6毫米。这个值太小了，可以忽略，但是，在下面的计算中会考虑它。
常数k1和k2很容易计算：
K1 = 8.505 times; 10minus;6 s2/m, K2 = minus;5.869 times; 10minus;5 s2/m.
作用在车轴上的力：
Fz1= 4820 N，Fz2= 3491 N.
c)10%的等级对应于等级角alpha;=5.7 o。以同样方式操作，在70km/h=19.44 8m/s时，△x的值对所有轮胎都是4.0毫米。其他的结果是：
K1 = 8.490 times; 10minus;6 s2/m, K2 = minus;5.867 times; 10minus;5 s2/m,
Fz1 = 4643 N, Fz2 = 3542 N.
d)加速度为a=minus;3.924 m/s2。由于速度与情况b)相同，△x、k1和k2的数值相同。力为;Fz1 = 5498 N, Fz2 = 2813 N.
23.1.2两个车轴以上的车辆
如果存在两个以上的轴，即使在对称的条件下，系统仍然是静态不确定的，必须考虑到悬架的遵守情况(图23.2a)。平衡方程（23.3）仍然成立，条件是：
Fx1 Fx2,Fz1 Fz2,Fz1(a Delta;x1)minus;Fz2(bminus;Delta;x2)
图23.2在倾斜道路上移动的关节车辆上的力量
- 两个轴以上的拖拉机或车辆；(b)拖车
由
Fxi,Fzi ,Fz1(xi Delta;xi),
在距离xi为正的情况下，轴位于质心的前方，反之则为负的.
为了计算地面上的正常载荷，必须增加（nminus;2）个方程式，其中n是轴的总数。它们中的每一个都简单地表达了这样的条件：即每个中间悬架连接到体上的点的垂直位移与第一和最后一个点的位移是相容的。
为了考虑悬架的力-位移曲线可能存在的非线性，最好计算出每个悬架施加力（Fzi）0的参考位置。在考虑轮胎的顺应性的同时，也考虑了轮胎的线性化刚度。第i点的垂直位移：Delta;zi =minus;1/（ki）[Fziminus;(Fzi)0] (23.6)
参照图23.3，车辆主体在第i个悬架的点的垂直位移可以用等式
1/l(Delta;znminus; Delta;z1)=1/(aminus;xi)(Delta;ziminus;Delta;z1) (23.7)
表示为第1个和第n个悬架的位移的函数。
图23.3悬挂点垂直位移的兼容性条件
图中，第i轴在质心后方，坐标xi为负。
通过消去方程(23.6)和(23.7)之间的位移Delta;zi，得到所需的方程：
（b xi）/K1[Fz1-(Fz1)0] (a1-xi)/Kn[Fzn-(Fzn)0]-l/Ki[Fzi-(Fzi)0]=0
i = 2,...,n minus; 1 . (23.8)
所述参考条件可以指负载的任何数值或重心的任何位置，条件是线性化的刚度值与实际情况相同。如果弹簧是线性的，悬架的位置（即垂直和俯仰位移）是存在的，所有的轮子都只是接触地面，那么力（Fzi）0都可以设为零，在上面散发着消失的力（忽略了车轴的重量）。
方程组（23.8）连同方程组（23.3）第二和第三个方程，形成一组可以求解的n元方程组，得到作用在车轴上的n个力。
注23.1 力Fzi永远不能变为负：如果得到负值，则表示相关轴失去与地面的接触，计算必须在因相关轴将力设为零后重复进行。这个过程会重复进行，直到没有负力出现。
23.1.3挂接车辆
对于有两个车轴的拖拉机和一个或多个每轴不超过一个车轴的拖车（图23.2），计算很简单。在这种情况下，拖拉机的平衡方程为：
(23.9)
如果Fxt和Fzt力是拖拉机对拖车施加的力，如图中所示，则假定拖拉机的车轴数为n（在目前的情况下n=2），力矩是参照点O计算的，而气动力和力矩是只施加在拖拉机上的。
类似地，拖车的平衡方程为:
如果拖车的车轴数假设为m（在目前情况下m=1），则根据点o计算力矩，气动力和力矩是只施加在拖车上的，而轴的xi是以O/为中心的参照系中轴的圆弧，通常所有的xi都是负的。
（23.9）的最后两个方程，再加上（23.10）的最后两个方程，只在静止的平路上，当力Fxt消失时才足够有用。如果不是零，也必须使用(23.9)的第一个方程。然而，它所包含的力是未知的，因为它们依赖于法向力。可以使用一个简单的迭代方案，用Fxt=0计算法向力，重复计算直到找到稳定的解。如果拖车的车轮施加驱动力或刹车力，这些力也必须引入计算中。
如果拖拉机有两个以上的车轴或拖车有一个以上，则必须引入附加方程式。拖拉机附加（nminus;2）方程（n是拖拉机的轴的个数），是方程（23.8），而拖车的附加（mminus;1）方程，其中m是其轴的个数，即
其中 i = 1,...,m minus; 1 (23.11)
其中，Kti和Fzti是拖车的第i个悬架的线性化刚度和作用在其上的力，而（Fzti）0是在任何参考条件下同轴中的正态力。
方程（23.11）的前两个与挂杆的垂直位移相连，方程表达了挂杆、最后一轴和相关轴的位移。
则未知数和方程式的个数等于车轴加1的总数，因为车辆交换的两部分的正态力也是未知的。当力量Fxt没有消失时，必须反复计算，如上所述。
例23.2 在下列条件下，计算附录E.9的五轴连接卡车在海平面上的受力分布，标准压力和温度：
a)在平路上停滞不前；
b)维持在10%的等级；
c）在10%等级上以70km/h行驶；
在上述条件下，空气密度为1.2258kg/m3。
解：a)水平道路上的静荷载分布可以直接计算，因为车辆的两个部分之间的水平力交换消失了。未知的有六个，五个车轴的载荷和拖拉机与拖车之间的垂直作用力。这些可以从线性方程组计算出来
作用于车轴的力分别为58.660KN、105.770KN、80.060KN、83.600KN和56.050KN。牵引拖车连接处的力为94.210KN.
b)10%等级对应于等级角alpha;=5.7o。在这种情况下，负荷分布也可以直接计算，因为车辆的两个部分之间的水平作用力交换不依赖于正作用力。与前一种情况一样，作用在车轴上的力分别为45.050KN、115.720KN、78.900KN、84.490千牛和58.000KN。牵引拖车连接处的力在垂直方向为90.980KN，在水平方向为31.236KN。
c）在70km/h=19.44 m/s时，所有轮胎的Delta;x的值为3.7毫米。在这种情况下，由于滚动阻力，必须得到迭代解。然而，由于它收敛速度非常快，因为在第i个和第i-1个迭代的结果相对小于10minus;6之间只需要五次迭代就可以达到差异。其他的结果与前一种情况所得到的结果并无不同：车轴上的力分别为43.980KN、116.970KN、78.710KN、84.440 KN和58.060 KN；在牵引拖车连接处，垂直方向为91.150KN，水平方向为33.440KN。
（注意相关方程组的系数的矩阵在所有情况下都是相同的。）
23.2总运动阻力
考虑在平直的道路上以恒定速度行驶的车辆。为了保持恒定速度而必须克服的力是气动阻力和滚动阻力。
通过使用第I部分所见的简化公式来表达滚动阻力对速度的依赖性，第一个的模量为： Rr=Fzi（f0 KV2） (23.12)
Fzi是一
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