一种新的滑模控制方法
设计：防抱死制动系统为例
Stanisa Lj.Peri#39;c -- Dragan S. Anti#39;c ---Vlastimir D. Nikoli#39;c --Darko B. Miti#39;c - -Marko T. Milojkovi#39;c
-- Sasa S. Nikoli#39;c
在本文中，我们介绍一种基于正交模型的滑模控制设计的新方法。首先，我们讨论基于可控规范形式给出的模型的滑模控制。然后，我们基于Muuml;untz-Legendre型的几乎正交多项式设计几乎正交的滤波器。几乎正交的滤波器的优点是它们可以用于具有非线性和不完善性的系统的建模和分析。在此，我们使用设计的滤波器来获得在不同工作区域中的未知系统的几个线性化模型。对于这些线性化模型中的每一个，设计相应的滑模控制器，并且控制法则之间的切换仅取决于输入信号。实验结果与已有的实验室设备中安装的继电器控制对比分析验证了这种控制器在防抱死制动系统情况下的效率和优异的性能.
关键词：滑模控制;正交模型;可控规范形式;防锁刹车系统
1引言
滑模控制[1,2]是具有参数不确定性和高度非线性系统的鲁棒控制的流行方法。滑模控制技术的主要目标是强制系统状态到某个规定的流形，称为滑动表面。一旦达到歧管，系统就会被迫在此之后继续运行。当处于滑动模式时，系统相当于一个低阶非受迫系统，它对满足匹配条件的参数不确定性和未知干扰都不敏感。滑模控制（SMC）的主要缺点是要求滑动面上存在不连续的控制律。在实际系统中，这导致了一种称为抖动的现象。抖动涉及高频控制切换，并可能导致激发未建模的高频系统动力学。颤动还会导致电子系统中的高热损失和机械系统中的过度磨损。文献中提出的大多数SMC技术都是基于状态空间模型开发的，假设所有状态变量都是可测量的，或者是线性系统的输入输出模型。在论文[3]中，提出了基于内部过程模型和滑模控制概念的鲁棒控制器。 [4]中开发了一种基于模型的可扩展连续型机器人滑模控制器。 [5]中介绍了类似的方法，但对于HDA工厂。基于模型的控制的一个有趣的例子在[6]中描述，其中新型滑模控制器基于Takagi-Sugeno模糊模型。
另一方面，在一些控制问题中，我们只能访问非线性设备的输入和输出。这是多个基于模型的控制框架对于非线性控制问题非常有吸引力的地方，因为它不仅能够将这种鲁棒控制技术用于非线性系统，而且还能够将其应用于未知系统。多模型切换的概念近年来受到了相当的关注，因为它简化了建模和控制器设计[7]。如果一个需要建模的系统是复杂的，那么不能保证任何给定的全局表示都将在整个空间内同样接近系统。在这种情况下，可以使用局部近似来降低对表示的依赖性，其中系统的域被划分为局部区域，并且每个区域使用单独的模型[8]。在论文[9]中，针对一类非线性离散时间系统，提出了一种多离散准滑模控制方案，其中采用自组织映射将状态空间划分为局部区域。系统某一工作区域的模型也可以用正交滤波器的n阶传递函数来描述。获得正交函数的新方法及其在工程领域的应用一直是本文作者深入研究的课题。在[10,11]中，我们提出了一种利用复杂域中的特定变换设计正交有理函数的新方法，并导出了必要的数学背景。我们还提出了一种基于这些正交函数获得连续动力系统模型的新方法[12]。导出正交滤波器的实际实现非常简单，因为正交函数的因式分解形式非常快速，鲁棒且精确。由于它们的特性提升了现有的（经典的）控制算法，因此它们在优化和自适应问题中应用渐变方法也非常方便。
在本文中，我们向前迈进了一步，利用已开发的Muuml;untz-Legendre近正交滤波器，通过构建待控制植物的线性化局部正交模型来改进现有的滑模控制技术。众所周知，控制方法的有效性与模型精度密切相关。另一方面，以相应的传递函数为特征的正交模型不能直接用于控制算法。指出由于对象的可微特性，正交模型必须转化为修正的可控规范形式，然后在滑模控制设计中作为工厂使用。为验证该方法的有效性和适用性，将其应用于防抱死制动系统，其特点是具有强非线性和不确定特性。 ABS是一种电子系统，用于在车辆制动过程中监测和控制车轮打滑，帮助确保车辆停止。设计控制器的主要目的是提供车轮与表面的最佳附着力，同时保持车轮滑移率在期望的水平。我们已经对继电器控制器进行了实验，并将结果与通过使用几乎所提出的滑动模式控制所获得的结果进行了比较正交滤波器。实验结果表明，所提出的控制算法在较小的停止时间和较低的跟踪误差方面具有较好的系统性能。这也表明，更多的模型提供了更好的控制功能，当然这是以更高的设计控制器的复杂性和成本为代价的。
2有限稳定零点的线性系统的滑模控制
当P=m，Q=n，则mlt;n.
在一些论文中已经讨论了实现这些对象滑动模式的问题[13-15]。 有人指出，由于对象的可微特征，滑动模式不能通过具有变结构系统特征的断点控制来实现。 为了克服这个问题，控制中断信号可以通过一阶低通滤波器级联[16]。 第二种方法是将由可控规范形式的模型给出的启动系统划分为两个子空间[17]。 第一个m阶子空间是自治，具有稳定的特征值，而第二个依赖于控制信号并且是（n-m）阶。 这样就可以开发出滑模控制子空间以这种方式提供整个系统的稳定性。 此外，这种方法的理论背景简单给出[17]。
让我们考虑系统（2）并假设一些坐标
是控制变量，而假设对（A，b）是可控的并且（h0，A）是可观察的。 减少（2）
对于修改后的可控规范形式，我们可以开始与期望的模型表示
现在，让我们介绍符号
（4）中的前l个方程构成的系统可以相对于矢量x的l个分量求解。
枚举x以使这些l分量构成一个向量
并且恒定矩阵R和Ry被定义为求解（4）关于xl的l方程组的系统的结果。 通过用系统（5）代入最后的l个等式（2）和线性函数（7）在所有的方程中，我们最终获得描述系统行为的方程式在状态空间
其中An-1，D，bn-1，rn-1和dl是常数矩阵，向量和对应维度的行。 本文提供了适用于滑模控制器设计的形式。
最常见的滑模控制结构是选择为
图1.可调Muuml;untz-Legendre几乎正交的模型
其中ufed（t）是一个稳定的反馈控制律，通常是名义上的等价控制[18]，而udis（t）是一个不连续的开关元件。 等效控制方法的主要目标是保持系统轨迹在滑坡面上，而（9）中的第二项确保系统状态从任何初始点撞击滑动面。考虑到滑动运动现在在l维中引起的事实
其中c =（c1，...，cl-1，1）。 我们可以从方程中获得等价控制
控制律（9）中的不连续部分通常取决于控制问题。 在调节器型控制器的情况下，可以选择作为缩放继电器结构
其中p是满足滑动模式到达条件的参数。为了改进现有的滑模控制，我们可以使用正交模型，使用正交滤波器获得，在下面的章节中描述。 在这样的情况下，我们可以对其工作区域中的任何给定系统进行线性化，精度高，这对于控制器设计来说非常重要。 下一步是为每个工作区域开发滑模控制器。
3正交模型
在我们以前的工作中，我们开发了正交滤波器[20]，几乎正交滤波器[19]，并改进了几乎正交的滤波器[11]。而且，我们已经证明，它们是非常有用的建模工具[12]，动态系统控制[10]和信号逼近[11]。此外，这些滤波器可用于连续系统的灵敏度分析[21]。在这些论文中，几乎正交的滤波器包含了一个标记为“（恒定接近于零）的缺陷度量”，它描述了所有不完全元素的累积影响[12]，这些系数可以通过多个实验来确定[11]这些滤波器代表了[12]中设计的滤波器的进一步改进，具有简单性，更高的精度，更短的逼近时间，甚至可以近似识别由内置缺陷的系统产生的信号。生成函数序列，逼近，建模，控制和分析不完美系统。本文中，我们使用图1所示的Muuml;untz-Legendre类型[11]的改进的可调节近似正交滤波器来建模动态系统作为设计适当控制的第一步，正如文献[11]已经证明的那样，该滤波器产生适合各种分析应用的正交信号#39;（？）i（t）和技术系统的综合。首先，我们定义最正交的Muuml;untz-Legendre多项式
delta;是一个恒定的小于一个：delta; = 1 ε=1.参数delta;为不确定量，它描述了系统的不完善性，并将其引入以促进滤波器的实际实现。 因此，预计从不同实验获得的响应是相互不同的。响应是在某个边界上，这取决于参数delta;，即对真实系统组件的质量或存在的噪声水平 在对（14）和拉普拉斯变换应用置换x = e-t后，我们得到了适用于设计几乎正交的滤波器的传递函数
传递函数（15）对于实际实现也很方便[10,11]。 完整的数学背景在[11]中给出。 以下近似用于获得任意动力系统的模型
表1.不同工作区域线性化系统的参数
其中表示由图1所示的几乎正交滤波器产生的Muuml;untz-Legendre型几乎正交函数。在混凝土未知系统的建模过程中，参数ci应该按照图1中的模型进行调整。 1对应于尽可能完美的未知系统。 建模过程首先将相同的输入信号应用于图1中的未知系统和可调模型。接下来，系统和模型输出的差异形成为平均平方误差
其中yS和yM分别是系统和模型输出。参数ci正在被调整直到实现函数（17）的最小化，即，只要需要在均方误差的意义上获得未知系统的最佳模型。 模型的完整过程在[11,12]中给出。
4防抱死制动系统
本文开发的理论算法以防抱死制动系统（ABS）为例进行了验证。 ABS是位于车内的电子设备控制面板，在遇到阻挡轮的可能性时激活。主要想法是，在突然刹车时，车轮不会完全阻塞。表征车轮与路面之间的附着力的系数被称为道路附着系数mu;。它被定义为摩擦力与车辆法向载荷之间的比例。该系数与车轮滑移delta;非线性相关，定义为车轮与车辆之间的相对速度差。大多数控制器设计用于在预设水平上调节车轮打滑，达到所需范围，因此道路粘附系数对于该车轮打滑水平具有最大值。 ABS实验装置[22]由两个永久滚动接触的车轮组成。而
上轮配备轮胎，代表车轮，下轮代表相对的路面运动，表面光滑。上轮还配备了通过液压联轴器连接到制动杆的盘式制动系统，由小直流电机驱动紧固侧和紧固皮带轮。下轮连接到大平直流电动机，其任务是加速车轮。在制动阶段，其电源关闭。钢丝绳在其最大标称值的50％时产生强非线性和控制输入信号的限制。主要的系统非线性反映在复杂的制动力学特性上。除此之外，系统参数变化很大，许多外部干扰不能预先预测。这就是为什么滑模控制（SMC）方法似乎是ABS控制中的正确选择。
5案例分析
正交函数在ABS控制中的应用是基于工作区域内系统的线性化。 这些简化的模型并不代表完全的复杂性的真实系统，但它们足够充分地确定特定条件下的系统动态。 文献[23]证明ABS简化线性化模型可以用下面的传递函数来表示（输入 - 施加制动力，输出 - 车轮滑移）
本文提出的想法是记录系统的响应（车轮滑转值）在不同的工作区域，对于各种应用控制水平（制动
力）均匀地从可能值域中选择[24]。 基于这些响应，我们可以使用正交多项式对给定区域中的系统进行线性化，如第3节所述。对于这种情况，我们使用图1所示的Muuml;untz-Legendre类型的改进的可调节近似正交滤波器， 这导致所需的传递函数形式（18）。 建模后的结果见表1。
从表1我们可以看出，我们将制动力的整个工作范围划分为20个分区，步长为0.01（列制动力范围）。 为了建模的目的，作为输入，我们使用了每个范围的平均值（列 - 应用值）。 过滤器的参数
图2.简单的继电器控制
表2.过滤器的参数
表3.不同控制方法的比较分析
delta; = 1.002837在表2中给出。另外，可以注意到，表2中的参数c0非常接近零，因此可以忽略。 现在，对于每个线性化模型，我们应该设计合适的滑模控制器。 控制器之间的切换取决于输入信号（制动力），可以使用程序代码或Matlab中已开发的工具执行。
图3.正交滑动模式控制
为了使用所提出的方法来设计控制器，传递函数（18）必须被转换成修改的可控规范形式（8）。 在应用程序后，在第2节中描述，我们获得ABS的以下状态空间模型
对于系统（19）和使用（9）的给定形式，可以按照以下形式设计滑动模式控制
其中x1表示当前滑移值lambda;，其中lambda;ref选择为0.2 [25]。 参数alpha;根据滑动模式的到达和存在条件来选择.
6实验结果
为了进行比较，我们对继电器控制器进行了实验，并与其余制造商（Inteco）软件进行了演示，并对结果进行了比较与通过使用几乎正交滤波器的所提出的滑动模式控制获得的那些相比较。 实验结果如图1和2所示。 2和3分别。 在表3中，我们使用三个参数来评估两个控制器的质量。 第一个参数是Tz，它代表停车时间，即从制动过程开始到车辆完全停止的持续时间。 第二个参数是均方根误差， 第三个参数是N
图4.性能指标和控制器复杂性的依赖性
- 制动过程中控制水平的变化总数反映了ABS系统在工作期间的磨损。对于每种控制方法来说，显然所有三个参数都尽可能低。使用滑模控制的正交模型显着提高了受控系统的性能。如果我们引入一个全面的性能指标（表3中的J），就可以很好地看出这一点，该指标综合了上述所有三个相关参数，用于分析设计控制器的质量。该指数通过一个简单的公式得出：J = 2k1Tz k2E k3N其中可以调整系数k1，k2和k3以强调三个相关参数中的每一个对整体性能指数的重要性。通过选择k1 = 0.4684，k2 = 0.0867和k3 = 0.0126获得表3列J中的值。这些系数通过将归一化值加倍来突出车辆停车时间（安全性最重要的参数）的重要性来提供参数的标准化。所获得的指标值确定了基于正交模型的设计滑模控制性能的质量。最后，在图4中显示了线性化模型的数量如何影响所提出的控制方法的有效性。可以看出，随着模型数量
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