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表面张力梯度驱动对流在激光熔池中的影响：三维扰动模型
- L.Chan,J.Mazumderamp;M.M.Chen
机械和工业工程部，激光辅助材料加工实验室。
伊利诺斯州西绿街1206号，伊利诺伊大学厄巴那-香槟分校。
(1988年4月29日收到;1988年8月3日出版)
文中建立了一个在激光表面加热过程中，熔融区内热毛细流动的三维模型。这在物理上对应于固定的激光束在移动工件表面照射的过程。由表面张力梯度引起的再循环流比扫描运动快得多，这就允许一个扰动解。它的基本解对应于静态轴对称的情况，而扰动是基于一个小的扫描速度。寻求扰动解的优点是三维流是由两组二维方程建模的，这两组方程可能比原始的三维方程更容易处理。得到数值解后，固-液界面由迭代方案确定。在存在再循环流的情况下，热传递变成了热对流。被吸收的激光能量经横向对流就得到了一个更宽更浅的熔融区域，可以获得并呈现熔池形状。获得并讨论了各种操作参数（如激光功率、光束半径）对熔池形状的影响。再固化材料的冷却速度也被确定。介绍了流体粒子的轨迹，这提供了迄今为止所获得的激光熔解池中最真实的混合场景，也给出了关于溶质再分配机制的半定量理解。同时也考虑了合金元素的作用，这可能会改变其对温度的依赖。本文提出了一种反向循环涡流，并对其形状的影响进行了讨论。
- 引言
近年来，表面张力梯度驱动流被确定为在熔池中负责对流的主要因素之一，
它还负责焊接池的表面波纹形成。奥珀尔，伊格尔和斯泽克里开发了一个二维的对流模型，考虑了浮力、电磁和表面张力梯度力。这个公式基于一个指定的池配置文件。它被发现表面张力梯度在大多数情况下都是主导力量。然而，固-液界面是未知的。事实上，固-液界面池的形状，是模型应该能够预测的一段信息。激光表面融化池的二维瞬态自洽模型(固-液界面是解决方案的一部分)是由Chan, Mazumderamp; Chen首次开发出来的。在一个激光熔池中，表面张力驱动流是在没有洛伦兹力后占主导力。该模型预测了非均匀冷却速率，从而产生了非均匀的微观结构。还可以预测，再循环速度比扫描速度高1到2个数量级。该模型提供了在垂直于扫描方向的平面上的流场和热传递的细节。然而，前后运动及其对热传递的影响在物理过程中也起着重要作用，特别是由于循环速度比扫描速度快得多。
在假设锁孔的长度比它的直径大的情况下，Dowden，Davis和Kapadias使用流函数公式得到了一个热流和流体运动的解，因此，热传导和流体流动垂直于锁孔的轴线。Shankar 和 Gnanamuthu获得了激光熔化材料流动的传热模型，在求解隐式近似因子分解方案时，显式地处理动量和连续性方程。利用共轭热传递的方法，Kou和Wang开发出了一种三维模型。这种方法的缺点是，在粘度变化不连续的固液界面附近，尤其是当网格尺寸比较粗糙时，容易出现错误。Chan, Mazumder和 Chen在假设高斯分布在一个固定的环形激光束中的情况下在激光熔池中建立了一个三维轴对称模型。
本文中提出了一种基于移动激光热源的表面熔融过程中热毛细对流的三维模型。三维问题被一个扰动解简化了，因此，整个过程变成了寻求两组二维方程的解，而不是求复杂的三维方程解。这使得我们能够整合更精细的网格，从而提高精度。在表面和固-液界面中最重要的是解决这些区域内速度的快速变化。因此，目前的三维模型为速度抛面提供了更好的解决方案，进一步了解融水池内的对流和流体流动情况。该模型给出了三维速度和温度场的详细信息。因此，得到了一个更准确的池形状预测。详细的三维速度场不仅给出了熔池内混合过程机理的定量解释，还得到了一个更准确的冷却速率预测。
- 物理过程
提出了一种三维的分析方法，对一种具有高斯分布的圆形源激光束进行了建模，用该激光束照射厚度为W，厚度为D，长度为L，移动的不透明材料的表面（图1）。很小一部分激光束被反射，其余的被吸收。吸收的热量会升高温度并形成一个熔池。表面温度从中心向外呈放射状降低。因此，大多数金属的表面张力（温度的递减函数）从中心径向向外增加。正是这种表面张力梯度推动了流体的流动。随着流动的发展，能量传递机制变为对流，并且流体流动由表面张力梯度驱动。基本假设如下：
- 拟定的状态。
- 液态金属和固态金属的所有特性都是恒定的，不受温度的影响（除了表面张力）。这使得模型得以简化;但是，可以对可变属性进行轻微修改。表面张力对温度的依赖性和流体的驱动力被认为是线性的。
- 热传导率和密度在液体和固体阶段都是相同的。这些假设不会改变物理性质，但简化了计算。
- 在所有的计算中，熔化池的表面被认为是平的，以简化表面边界条件。
- 由于热影响区是非常局域化的，所以假设有一个半无限域。
- 假设有一个灰体辐射热损失。指定的热通量是反射后的激光功率。
图1 过程原理图
- 数学公式
恰当的控制方程是：连续性方程
（rur） = 0, (1)
Ur，Utheta;，Uz分别代表半径，角度和轴向速度。
动量方程：
rho;是密度，p是压强，v是运动粘度。
熔融池中的能量方程式
T是温度，而K是热扩散系数。
在固体区域
US是扫描速度。边界条件是：在表面
其中，q代表平均吸收的激光热流，q”是高斯分布的吸收通量。k是热导率，是动态粘度，#39;是表面张力系数, є是发射率，r0 是激光束在1/e2的半径，是Stefan-Boltzmann常数。
在固液界面：
g（r,theta;,z,）=C; Ur=Utheta;=Uz=0, T=Tm (8)
最后，在远处
r,z →infin;, T=Tinfin; (9)
Tm是熔化温度，Tinfin;是环境温度。
特别要指出的是,g(r,theta;,z,)= C定义了固液界面。这是要解决问题的一部分。这类问题通常被认为是文献中的斯蒂芬问题。
为了解决这个临界问题，开发了一个迭代方案。在方程式7中， #39;代表了表面张力的温度系数。对于大多数液态金属来说，它是负值。然而，在合金元素的存在下，它可能会变成正的。在方程式7中表达出了驱动力，表面应力的平衡和表面张力梯度。这是表面张力梯度产生作用的地方，在熔化池中引起运动。从这种平衡中可以得到循环流动的速度尺度特性。在qr0/k的情况下可以估计温度梯度。用束流半径r0作为z的长度刻度，r为速度标度，发现uc= #39; qr0/kmu;。对于典型的材料加工条件，us/uc的单位量为10-4 级。这表明再循环流的数量级比扫描运动要高。这个结果也使得参考文献6的结果被进一步加强。与典型的10mm/s扫描速度相比，在循环流中发现1-10米/s的速度。这允许通过扰动技术简化三维流。
基本的解决方案是，在轴向的情况下，将静止的激光光束在静止的工件上辐射，这已经在先前的论文中讨论过了。利用较小的扫描速度（相对于表面张力梯度的再循环流）对基本解进行扰动，得到了扰动。结果表明，扰动的角度依赖性是可分离的。这两组控制方程是推导出来的。这些方程首先是非维度的无量纲变量。
uc是特征速度刻度。
应该注意的是q是平均吸收的热量即单位面积的能量。对于一个被吸收的激光功率，Uc与r成反比。速度被分解为工件的扫描速度和再循环流，
通过扩大Us/Uc的功率来寻求循环流的渐近解：
零阶是轴对称的，而控制方程是连续性的
r-动量方程：
Re是雷诺氏数（见方程式31）
- 动量方程：
熔化区域内的能量方程式：
Ma是马朗戈尼数（见方程式31），下标l表示液体区域的温度。
固体区域的能量方程：
下标s表示固体区域的温度。适当的边界条件是：在表面上
RF辐射的因素(见方程式31),
沿着固-液界面:
定义T*=的表面，最后在无穷远时：
现在我们考虑一阶项，微扰解的角度依赖性是可分离的：
管理方程如下，它具有连续性
r的动量方程：
theta;的动量方程：
Z的动量方程：
熔化区域内的能量方程式：
固态区域内的能量方程式 ：
边界条件在自由曲面上变成了
在固液界面:
最后在较远距离：
因此，三维问题由两组二维方程表示。基本的解决方案是由系统方程（13）-（20）描述。这个扰动解是由系统方程（22）-（30）描述。然而，微扰模型仅限于扫描速度慢的情况下。
A.数值解
本文针对扰动模型的两维空间方程，寻求数值解。推导了有限差分方程、扩散项的中心差分和对流条件的迎风差（控制速度和温度）。在这个过程中使用了交错网格，通过标准的交替方向迭代（ADI）方法解决了由此产生的非线性代数方程。
计算过程如下， 对于存在固体和液体区域的特定温度场，界面首先使用能量方程来确定。 熔池内的速度迭代规定的迭代次数。 使用这个更新的速度场，接下来迭代能量方程。 因此，获得下一次全局迭代的温度场。 最初的猜测是基本解的稳态传导温度和零速度，以及摄动解的零温度和速度。 当每个方程的平均残差小于一个特定的小数时，通常为10-4，得到收敛解。
- 实验验证
为了验证数学模型，使用金相技术来确定池的形状和纵横比。图1显示了实验装置的原理图。使用一种功率为l0k W的连续激光器，所使用的材料是AISI 1016轻钢，钢条长150毫米，宽50毫米，厚6毫米。被激光照射的表面需要被研磨，在运行之前使用酒精清洁表面，以避免任何不必要的污染物。，
激光熔体截面的样品经过切割抛光，蚀刻在光学显微镜下。熔化区域被识别并且估计熔化区域的纵横比。表1列出了各种工艺参数，包括激光功率、光束直径和扫描速度。
表1 三维模型的无量纲参数值。
- 结果与讨论
给出了4种情况的数值解。所有这些结果都使用了100X 100的均匀间隔网格。由于网格大小对于解决速度和温度场的快速变化非常重要，所以使用了大量的节点。表2中列出了控制参数的值，为了使三维流体流动和对流形象化，结果以熟悉的笛卡尔坐标形式呈现，如图1所示，即使计算是在柱坐标下进行的。使用0.0001作为us/uc的值解决方案可以从方程式12中获得。表2还列出了案例1中的控制参数值。
表2 实验运行过程参数的数值
- 表面温度
图2给出了案例1地表温度的三维图，水平平面是曲面-;平面和纵轴是无维度的温度。温度分布与预期比较符合。温度在波束下方的中心达到最大值，并向外辐射。有趣的是,温度梯度的驱动力,有三个不同的地区。它的大小从中心上升到激光束的边缘，随着流体接近熔池的边缘，它逐渐减小，最后再次增加。第一个阶段，离中心很近，经历了由表面加热引起的温度梯度上升。由表面张力梯度驱动的流体流动在第二阶段变得很重要，因为对流冷却会使温度趋于平滑。最后，流体接近熔化池的边缘，并旋转。这种现象与在经济停滞点附近的热传递非常相似，因此产生了高温梯度。
图2 三维图的表面温度 Ma=1500，Pr=0.15，=0.25，RF=0.0
- 速度场
由表面加热引起的表面温度变化引起表面张力梯度，从而将熔融材料径向向外拉。熔池表面的速度场绘制在图3中。图4给出了在=0的垂直平面上的速度场。流场的一般模式是熔化的材料在表面呈放射状向外。当流体接近熔化池的边缘时，它会下降并转向。然后移动到中心并完成再循环模式。除此循环外，还有工件的运动。因此，材料从池的前部进入熔池并通过再循环模式，最终在后缘重新固化。
图3 平面上的速度场Ma=1500，Pr=0.15，=0.25，RF=0.0
图4 垂直面上的速度场 =0，Ma=1500，Pr=0.15，=0.25，RF=0.0
- 溶质再分配
为了帮助读者获得对溶质再分配机制的定性理解，图5中绘制了一个粒子轨迹图。这一轨迹以三个方面呈现前,侧和顶部。初始位置是（，，;）=（-2.97,0.423,0.01）;熔池之前非常接近表面和的点，粒子的再循环模式可以清晰地观察到。这种再循环模式意味着，粒子在进入固化的表面之前，会经过相当长的路径。因此，熔融材料可以很好地混合。因此，熔
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