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复合结构
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细丝缠绕应用于复杂形状心轴的统一方法
E.瓦尔加斯·罗哈斯a，D。沙佩尔a,uArr;，D。佩勒a，B。德洛贝尔b，F。锡博a
a弗朗什-孔泰大学（University of FEMTO-ST Institute），应用机械系，法国皮桑贝夫街24号，25000贝桑松，法国
bMAHYTEC SARL，法国凡尔登大街210号，杜尔39100
文章信息
文章历史：
可在线使用2014年6月20日
关键词：细丝缠绕数值分析
计算模型复合材料
摘 要
当设计复合结构的复杂几何形状时，细丝缠绕工艺面临有限的制造麻烦。甚至圆柱形心轴的完整覆盖 都需要引入与测地线轨迹的偏差。结果，开发了非大地路径的模型。本研究旨在基于集成策略建立， 求解和验证有助于复杂形状缠绕或解决常见的灯丝缠绕缺点的通用数学模型。尽管制造工艺存在局限 性，但这种所谓的统一方法仍然可以使通过细丝缠绕制成的复合结构受益。基于心轴几何形状的数学 描述，表面理论导致表达局部曲率。考虑到纤维束在表面上的滑移趋势，建立了包含心轴表面数学参 数的局部稳定性判据，并可以建立一般的纤维路径方程。开发了一种数值工具，并将其应用于预测放 置在两个轴对称几何形状（凸形和凹形）表面上的纤维束的细丝缠绕角度的演变。通过使用四轴长丝 缠绕机制造这些几何形状来进行实验验证。
copy;2014 Elsevier Ltd.保留所有权利。
- 介绍
这项研究的动机是需要研究通过缠绕长丝（即非圆柱形和非对称物体）制成的复合材料中复杂几何形状的发展。某些行业，例 如汽车，航空或海军，需要超越传统几何形状的特定解决方案， 例如圆柱体，半球或椭圆形。在这方面，法国汽车工业发起的HYPE [1]项目（储氢HYdrogegrave;ne高级PrEssion –高压氢储罐）旨在解决氢压缩存储技术在汽车应用中的一些缺点，例如体积大，客 户接受度高和成本，即与氢气行为和高压相关的安全问题。考虑 到这些标准，新一代的水库旨在利用汽车中的空闲空间，使其尽 可能轻便且不昂贵。主要结果是，随着III型（复合式包裹金属衬里）和IV型（复合式包裹聚合物衬里）储罐的几何演变，形成了 形状适合的储罐[2]，见图1。
author通讯作者。电话： 33（0）381666029。
电子邮件地址：david.chapelle@univ-fcomte.fr (D. Chapelle).
关于用灯丝缠绕工艺制造的其他高性能解决方案，最近的航空解决方案已经构建出封闭形状的结构[3,4]，例如单件机身，其优点包括成本更低，重量更轻，集成度更高，安全性，性能得到改 善，降低噪音，改善空气动力学特性和造型灵活性。对于一体式 机身，可以使用金属或复合材料。金属由于无法在一个步骤中制 造机身的所有组件而具有某些缺点。因此，复合材料对于一体式 机身的制造更有利，因为它们可以同时制造。
纤丝缠绕结构大部分是通过测地线（无摩擦）和非测地路径实现的。测地线的缠绕路径应视为天然纤维路径，即，纤维束中的 张力会导致长丝路径成为测地线，而与所需的纤维路径无关。测 地路径的使用简化了光纤路径的计算，但限制更大。只要选择了 初始位置和起始角度，就可以完美定义纤维轨迹。因此，大地测 量路径导致了复合材料叠层优化的障碍[5]。但是，可以通过使用一些精巧的方法改变心轴与细丝之间的摩擦来改变细丝路径
http://dx.doi.org/10.1016/j.compstruct.2014.06.009
0263-8223 /copy;2014 Elsevier Ltd.保留所有权利。
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命名法
F
fb,
纤维张力
横向力，摩擦力，法向力
kg，km，kn，kp测地线，子午线，法线，平行曲率
(u, v)
Xu
Lf
Lc Lm P M N
n n
O
R
s
S
弯曲长度（沉积纤维长度）；人的长度
el
凹凸形状的长度心轴的长度大地曲率法线曲率中心的C曲线中心的分析点
法线的u和v方向上的导数曲面曲率中心的矢量，弧段的半径
表面;描述心轴表面的向量函数表面u和v方向的导数
功能
z
a
(u, h)
C
广义曲线正交坐标；平行和子午线
基本系数X相对于u的导数机器旋转轴
相对于子午线的曲线方向（细丝缠绕角度） 广义曲线球极坐标，分别为平行线和子午线曲线;描述心轴上的曲线的向量函数
滑移趋势
凹面静摩擦系数凸圆柱
k
l ccv cvx cyl
Su,
如放置裁缝针，或使用高粘性树脂将细丝保持在适当位置，直到返回 的交叉细丝根据需要锁定先前的细丝[4]。可以采用其他方法，例如 使用非大地运动轨迹，其中在初始旋转之后，无需采取其他步骤即可 将丝束牵引固定在所需的角度[5-7]。
但是，即使简单的几何形状的制造也并不意味着所需的灯丝绕组图案是合适的，如[8]所示。在这种情况下，III型储罐的几何参数是由衬套的几何约束决定的，而不是由机械性能的计算或优化决定的。考虑到作者正在分析的储罐是具有椭圆形端部（或扁球形）的圆柱体， 并考虑到结构的机械强度，因此，圆柱体上的测地线路径的期望缠绕角应为55°。然而，基于对灯丝缠绕过程的顺序分析并考虑到测地线路径，如图2a所示，在圆柱部分上获得了42°角；如图2a所示。如图2b所示，当路径为非大地时，角度为43.92°。这主要是由于沿圆柱体 和椭圆形的轨迹之间的过渡角不连续，如图2c所示，因此应考虑非大地过渡。此外，瓶子的颈部的尺寸强加了纤维束进入椭圆形的入射角
（方位角，Az0）。
调节所放置光纤的所需细丝缠绕角度
在圆柱体上。因此，在先前的分析中，支撑衬里的几何形状强加了钢 筋的最终几何形状。
本文的范围是开发一种数值计算工具，即使轴对称的心轴在制造过程中更合适，该数值计算工具也可以使我们模拟纤丝缠绕过程，无 论心轴的几何形状如何。通过这样做，我们通过使用通用的绕线模型 设计，模拟和制造两个轴对称的几何形状，从而允许绕制复杂形状或 解决常见的绕线缠绕缺点，从而为绕线结构的开发做出了贡献。为了 实现这一目标，研究了凸凹几何形状，以提出更复杂的形状，以超越 传统的圆柱或半球形。两种形状都通过数学方式描述，因此可以定义 和求解测地线和非测地线。然后借助细丝缠绕机，对先前的复杂几何 形状进行粗化，并验证了数值预测，从而证实了先前的分析能力，以 确保可以根据需要对所提及的心轴进行包覆。这项工作是一项更完整 的研究的一部分，旨在定义一种优化方法：从对心轴的数学描述开始， 并了解机械载荷，一个人应该能够提出一个或多个合适的堆叠顺序， 以实现两个目标，重量减轻，机械强度高。
- 数学程序
在心轴表面上正确建立纤维的稳定性条件是获得控制的关键
图1.罐体（a）不锈钢衬里。（b）纤维缠绕制造[2]。
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图2.长丝缠绕仿真[9] ：( a）非大地过渡，（b）整个圆柱截面上的非大地路径，（c）大地路径之间的不连续性。
图3.沿纤维路径作用的力的示意图。
等式，定义了其表面上的方便曲线。轨迹的稳定性取决于纤维角 度的变化（或由于几何形状的变化）而引起的横向力fb之比。如 图3所示，法向力fn取决于沿纤维施加的纵向力F。假定静摩擦系 数为l，k为实数参数，其值属于到称为滑移趋势的间隔[-l，l]， 定义为侧向力fb与法向力fn之比。当k lt;l时，不会发生光纤打滑。或者当fb小于l与fn的乘积时，考虑库仑摩擦力（ff= lfn）。直接的结果是，在进行局部分析的假设下，先前的关系允许描述心轴 上的稳定轨迹，该条件由（1）定义：
jfb=fnjS l eth;1THORN;
在先前的工作[9]中，根据在表面S上绘制的曲线C的测地线kg和法 线kn曲率得出了相同的表达式：
jkg =knjfrac14; jkj eth;2THORN;
这里介绍的数学方法基于表面S的矢量建模，该表面S由映射S（u， v）描述为一组函数，取决于两个参数，通常为u和v；并在R3中将曲线的参数化表示为要放置在其上的函数C，以便方便地定义测地线和
稳定性标准（表达式2）中包含法向曲率。在考虑这种方法时，曲线 理论以及曲面理论起着重要作用[10,11]。
在图4a所示的自由力图中，连接在每个点P上的右手正交三元组由 单位切线t，单位主矢量p（指向曲率中心）和双法线b矢量形成。可 以将单位法向矢量n视为所引用的正交三元组的一部分，而不是p；但 是n在定义其方向时（即在P处向内或向外）会产生一定的不确定性。 n的意义很重要，因为与长丝缠绕相关的某些标准基于其意义，例如 纤维在具有局部凹面的心轴中桥接。根据De Carvalho
[5]和Scholliers [12]定义时考虑n朝外，因此乘积nfn6 0（不发生纤维桥接）。取决于n方向的其他标准是曲率矢量的方向，当n指向与 平面曲线的P相切的密接圆向内时被认为是正的[13]。从这个意义上 说，克雷泽格
[11]将法线向量的概念引入曲面而不是曲线。在该文件中，优选采用 已经在灯丝缠绕文献中使用的标准。
法向曲率是曲面和平面的相交曲线（法线截面）的曲率，该曲线穿过P处的曲线的切线和单位法向矢量n。法向曲率向量kn表示 为曲率向量k在单位法向向量n上的向量投影（3）。测地曲率向量kg是曲率向量k在双法线向量b上的向量投影（4）。在图4b中示出了两个曲率向量及其结果。
kn frac14; eth;k bull; nTHORN;n frac14; knn eth;3THORN;
kg frac14; eth;k bull; bTHORN;b frac14; kgn eth;4THORN;
有无数个穿过P的平面包含单位法向向量n，即有无数个穿过P的法 向截面。这些法向截面中的每一个在P处都具有特定的曲率。可以证 明，最大值和最小值值存在，并且与这些极限曲率相对应的切线方向 是正交的（也称为主方向）。通过在切线平面上绘制一个极坐标系， 其极点在P处，并且其极轴在一些任意选择的射线上，逆时针测量角 度a
从极轴开始可以绘制一个函数kn= f（a）。所以，对于每个
的值存在与该特定值相关的曲率
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图4.示意图：（a）曲线和曲面参考框架。（b）曲线相关向量。
k ij
正常部分该曲率kn是点S上表面a在方向a上的法向曲率，由（5）
给出，即欧拉定理[10,11]：
其中C 是第二类Christoffel符号，它们是E，F，G，Eu，Ev，Fu，
Fv，Gu，G（ v。测地曲率定义允许整合众所周知的Clairaut关系
kn frac14; k1
cos2eth;aTHORN;thorn; k2
sin2eth;aTHORN; eth;5THORN;
[15]以及测地线轨迹的评估。
通过将（7）和（8）代入（5），可获得kn的表达式，再将（9）
其中k1和k2是在P处的主曲率，a是在主方向上与k1相对应的切线之
间的夹角。等式（5）是一个重要的表达式，可以引入术语a作为曲线C相对于子午线的方向，
即旋转轴。因此，a是灯丝绕组
角度。现在，如果引入s参数（弧段的长度）来描述C：s＃S
（u（s），v（s）），即自然参数化，则法向曲率可以表示为
第一（E，F，G）和第二（L，M，N）基本系数，它们是u和v的连续函数；因此：
k eth;sTHORN;frac14; Lb2 thorn; 2Mbc thorn; Nc2 eth;6THORN;
n
其 中 b = du / ds，c = dv /
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