英语原文共 6 页
关于平面相机标定:一种通用算法，奇点，应用
Peter F. Sturm and Stephen J. Maybank
Computational Vision Group, Department of Computer Science, The University of Reading
Whiteknights, PO Box 225, Reading, RG6 6AY, United Kingdom P.F.Sturm, S.J.Maybank @reading.ac.uk
摘要
文中提出了一种基于平面的通用标定算法，该算法可以处理任意数量的视图和标定平面。该算法可以同时对具有可变本征参数的相机进行不同视角的标定，并且容易合并已知的本征参数值。对于一些极小的情况，我们描述了所有的奇点，命名了无法估计的参数。实验结果表明，该方法在非奇异条件下具有较好的奇异性，同时具有较好的性能。讨论了平面三维几何推理的几种应用。
1介绍
考虑用飞机校准相机的动机主要有两个方面。首先，就校准本身而言，平面校准模式成本低廉且易于生产，例如，对于不要求最高精度的应用程序，激光打印机的输出绝对足够。其次，平面表面补丁可能是最重要的二维“特征”:它们大量存在，至少在人造环境中是这样，如果已知它们的度量结构，它们所携带的信息已经足够决定相机的姿态，一般情况下，它们最多只能提供两种解决方案。平面越来越多地用于交互式建模或测量目的。
从平面物体的角度校准相机的可能性是众所周知的。然而，现有的工作在大多数情况下只考虑单个或两个平面和具有恒定校准的摄像机。此外，奇异情况的研究通常被忽略(除了在最简单的情况下，从一个平面的角度校准纵横比)，尽管它们存在于常见的配置中。
相机甚至可能self-calibrate平面视图的场景与未知的度量结构,然而几个观点需要和奇异性的“风险”应该从飞机相比更大的校准与已知的标准结构。
本文提出了一种适用于任意标定平面和摄像机视图的通用标定算法。校准基本上分两步完成。首先，计算平面标定对象在像面上的二维到二维投影。这些投影中的每一个都构成了一个包含本征参数的齐次线性方程组，因此很容易确定。因此，校准可以通过求解线性方程来实现，但当然可以通过后续的非线性优化来增强。
在2中，我们描述了我们的相机模型和平面物体的投影。第三，介绍了平面标定的原理。提出了一种通用的算法。奇异性在5中被揭示。实验结果在6中给出，一些应用在7中描述。
2背景
相机模型。我们用透视投影来模拟照相机。一个投影可由一个投影矩阵表示，该矩阵包括所谓的外在和内在摄影机参数:
(1)
这里，表示在非零尺度因子下相等，
为单位矩阵、表示相机方位的正交矩阵、表示相机位置的三向量，标定矩阵:
通常，我们区分了透视投影的5个内在参数:有效焦距、长宽比、主点和倾斜因子
表示非矩形像素。歪斜因子通常非常接近，我们在下面忽略它。
校准和绝对二次曲线。我们的目标是标定相机，即确定相机的固有参数或标定矩阵(后续的位姿估计相对简单)。不是直接决定，
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我们将尝试计算对称矩阵或其逆矩阵，从中可以用Cholesky分解[5]唯一地计算校准矩阵。这导致了简单的，特别是线性校准方程。进一步简化了标定问题奇异性的分析:矩阵
表示绝对二次曲线的图像，例如在[2]中，该绝对二次曲线与校准和度量场景重建的链接是公开的。这个几何视图帮助我们推导奇异构型(cf. 5)。
平面，同伦和校准。我们考虑使用一个或多个平面对象进行校准。当我们谈到校准平面时，我们指的是平面校准对象的支撑。透视投影对特定平面上的点(或线)的限制采用单应性的简单形式，单应性依赖于摄像机与平面的相对位置和cam时代的内在参数。在不失一般性的前提下，我们可以假设标定平面为平面。这样，通过去掉式(1)中的第三列，可以从投影矩阵中得到单应性:
(2)
单应性可以由四个或更多的点或线对应来估计。如式(2)所示，只有当平面的度规结构已知(达到尺度是充分的)，即计算所用的点和线的坐标在度规坐标系中给定时，才能合理分解。
由式(2)可知，对于任意尺度，8个系数(9 - 1)可以用来估计6个位姿参数，同时对标定仍有2个约束条件。这些约束条件允许我们根据标定平面的数量、图像的数量、要计算的内在参数的数量和奇点对相机进行部分或全部标定。
3平面标定原理
校准将通过确定绝对圆锥(IAC)的图像，使用平面同伦进行。如前所述，我们认为像素是矩形的，因此IAC的形式如下(经过适当的缩放):
(3)
由同音词引起的校准约束可以用几种方法表示和实现。例如，由式(2)可知:
相机位置未知，方程仅满足比例，我们可以提取两个不同的方程，证明是齐次线性的。
(4)
第n列。这是我们的基本校准方程。如果有多个标定平面可用，则只需将新方程包含到线性方程组中即可。如果校准是恒定的(下一节将放宽这一限制)，那么无论在同一视图中还是在多个视图中看到这些平面，还是在多个视图中看到相同的平面，都没有关系。方程组的形式是这样的，向量是未知数。后决定，本征参数提取方法为:
4一种通用的标定算法
现在，我们将描述如何以两种重要的方式扩展基本原则。首先，我们证明了内在参数的先验知识可以很容易地包含进去。其次，更重要的是，我们展示了如何应用该方案校准相机与可变的内在参数。
4.1内在参数的先验知识
设为上一节所述线性方程组设计矩阵的第n列。我们可以把方程组改写为:
如长宽比的先验知识，通过式(5)我们可以消去一个未知数，从而得到约简后的线性方程组:
先验知识可以用类似的方法处理。焦距的情况不同，由于式(5)的复杂性:先验知识只允许在其他参数已知的情况下消除未知数。然而，这并不是什么大问题——很少情况下焦距是事先知道的，而其他内在参数是未知的。
4.2变量内在参数
我们做了两个假设，这两个假设不是很严格，但是排除了一些无用的特殊情况。首先，我们考虑一个给定相机的长宽比是恒定的。第二，主点可能不同，但只与焦距有关。因此，我们考虑两种变化模式:只变化或同时变化。
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如果我们考虑由一个视图产生的校准方程，该视图的固有参数相对于前一个视图发生了变化(例如，由于缩放)，我们只需在其中引入额外的未知数和列。如果假定焦距已经改变，就需要一个新的未知数。如果假设主点发生了变化，我们还为and (cf.式(3))加上未知数。校准方程的相应系数必须放在hellip;的附加列中。
注意，考虑可变的内部参数并不意味着我们必须为所有视图假设不同的值，即可能有共享相同in-trinsics的视图，只共享高宽比和主点，或只共享高宽比。
4.3完成算法
完整的算法由以下步骤组成:1。从特征相关函数-计算平面同形
丹斯。
2. 根据3、4.1、4.2所示方向构造方程矩阵。
3.确保良好的数值调节(见下文)。4. 将方程组解成任意stan-的最小二乘
dard方法，从解中提取本征参数，如式(5)所示。
调节。我们可以通过对行和列[5]进行重新标度的标准技术来改善条件。在实践中，我们省略了行方向的重新缩放，原因如下所述。列被重新标度，例如具有相等的规范。为了得到原问题的解，需要对修正方程组解向量的系数进行相应的缩放。在我们的实验中，这种重新标定被证明是获得可靠结果的关键。
对于重新缩放行，在我们的例子中，这证明是很微妙的，因为偶尔会有所有系数都非常接近零的行。重新标定这些行会极大地放大噪声，导致不可靠的结果。
评论。所述标定算法主要要求单线性方程组的最小二乘解。当然，该解决方案可以随后使用非线性最小二乘技术进行优化。此优化应同时进行校准和位姿参数，可以从线性校准结果直接初始化。为了获得更高的精度，应该包括光学畸变参数的估计。
最小的情况下。校准对象的每个视图提供两个校准方程。因此，在没有奇异点的情况下，可以实现以下最小校准方案:对于单个平面的单一视图，我们可以校准长宽比和焦距
给出了主要观点。用一个平面的两个视图，或两个平面的一个视图，我们可以完全校准相机。一个单面的三个视图，由变焦相机拍摄，可以校准三个不同的焦距，以及恒定的长宽比和主点。
5奇点
任何算法的成功应用都需要对奇异性的认识。这有助于避免出现预期结果不可靠或将手头的问题限制在可解决的情况。我们在这里描述了从一个或两个平面进行校准的奇异性。
由于篇幅有限，我们只能给出推导的草图。首先要说明的是，对于奇点来说，只有平面和相机的相对方向是重要的，即位置和实际的内在参数不影响奇点的存在。第二个观察是，相互平行的平面提供的信息与方向相同的单个平面提供的信息完全相同(除了更多的特征对应可能在实践中提供更高的鲁棒性)。因此，对于两个标定平面的情况，我们省略了对平行平面的处理，而是参考一个平面的情况。
由于校准方程是线性的，奇点意味着IAC存在一个线性解族。因此，也存在退化二次曲线，即仅由两条直线上的点组成的二次曲线。让我们注意，任何满足校准方程(4)的二次曲线，都包含校准平面上圆形点的投影。当然，这也适用于。如果我们排除相互平行的平面(参见上面的讨论)，那么组成的两条线就是校准平面的消失线。还有一点需要考虑:由于我们考虑的是矩形像素，IAC的形式必须是(3)，即其系数为零。几何上，这等价于圆锥曲线在一条垂直线和一条水平线上是对称的(这在表2中称为“反射约束”)。基于这些考虑，推导出所有可能的奇点是一项相当机械的任务。
表1和表2描述了单平面和双平面校准以及不同先验知识水平的所有奇点。我们揭示了哪些内在参数可以/不能被唯一地估计。表中列有分别以水平和垂直像素尺寸测量的标定焦距的和表示标定焦距的。在某些情况下，可以计算，例如，但不能计算或单独计算。
一般的观察是，一个平行于像平面的平面，允许估计纵横比，但没有其他参数。一般来说，几何构型越规则，奇异点就越多。
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Prior None |
Position of calibration planes One plane is parallel to the image plane General case of planes satisfying reflection constraint (see caption) Both planes are parallel to the axis Same absolute incidence angle with respect to image plane Both planes are parallel to the axis Same absolute incidence angle with respect to image plane Vanishing lines intersect “above” the principal pt. i.e. at a point Vanishing lines intersect at a point Both planes are perpendicular to image (and satisfy reflection constraint) At least one plane is parallel to the image plane Both planes are perpendicular to the image (and satisfy reflection constr.) One plane is parallel to the image plane One plane is parallel to the image plane |
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cf. case of known - |
in table 1 - |
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- 资料编号：[5213]
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