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天线辐射模式和散射参数的参数化建模
IEEE资深成员：Ngoy Mutonkole, Elizabeth Rita Samuel, Dirk I. L. de Villiers
IEEE资深成员：Tom Dhaene
摘要：本文描述了一种基于数据驱动的方法，将天线的辐射模式(一个大的角区域)和天线的散射参数作为天线几何形状的函数。辐射模式模型由特征基函数模式(CBFPs)的线性组合构成，其中CBFPs的扩展系数是天线几何特征的函数。用参数化的状态空间矩阵对散射参数进行建模。所获得的模型可以快速评估，因此适合于需要进行多次模拟的设计活动。通过实例验证了该方法的有效性。
指标术语 -天线辐射模式、插值、建模、状态空间方法。
一、介绍
现代天线设计程序经常涉及设计空间探索、优化和灵敏度分析等活动。这些通常需要多个全波又或者渐近电磁(EM)分析不同几何参数值的天线，并且由于每个模拟的典型的大计算成本而变得昂贵。
基于模型的参数估计(MBPE)是Miller在[1]-[4]中描述的建模技术，可以总结如下。一些点用于在时间/频率或角度依赖上插值给定的响应，使用基于当前问题物理的基础函数(例如，在[3]中反射器天线的辐射模式的sinc函数)。
在MBPE方法之后，在[5]和[6]中描述了简单饲料(如偶极子)的辐射模式的模型。这些模型插入模式频率和宽角地区Omega;=(theta;,phi;)球面坐标系统。频率依赖被表示为Pade的有理函数，而模式的角变化则表示为[5]中的多项式或球面谐波[6]。在[7]中提出了另一种模式建模方法，其中的角变化也被表示为球面的谐波，而频率依赖则用斯氏模式展开来描述。这些技术可能不适合模型快速电大型天线的辐射方向与不同辐射模式的函数Omega;。由于贫乏插入的行为(精确匹配值之间振荡)，方法[6]和[7]表示的的高阶多项式模式或可能需要大量的膨胀系数。此外，[1]-[7]中的方法并不会立即适用于设计活动，因为模式模型并没有参数化与天线的物理尺寸(即:设计参数)。本文提出了一种全辐射模式的模型，并将其作为一种不同天线几何形状的函数。
最近在[8]中提出了一种插值辐射模式的方法，该方法通过将一个函数(如复指数或正交多项式)引入到物理问题的变化中。[8]中的方法是基于线性最小二乘回归技术，且强烈依赖于拟合函数的选择。此外，它还局限于一个单一参数。
天线的设计，应用于反射系统的馈电，需要对宽角区域的辐射模式的知识，以获得诸如光圈效率和交叉极化等性能指标。利用全辐射模式的参数模型，可以提高天线设计的效率(计算成本)。此外，天线的设计通常涉及到辐射性能和反射系数的表征。如果将全模式的参数模型与散射(s -参数)或导纳响应[9]-[13]的参数宏模型相结合，可以大大改善一般天线的设计周期，这样天线特性就可以从快速分析模型中完全设计出来。
本文提出了一种有效的参数化建模技术，对一般天线的辐射模式和反射系数进行了建模。辐射模式是通过一个宽的角区域，由一个完整的球体，作为天线几何形状的一个函数，考虑到多个不同的参数。在MBPE范式[1]的上下文中，所提出的技术属于波形域类，但有一种附加的能力，即提供对辐射模式的参数描述，作为天线几何形状的函数。请注意，没有试图对模式的角度变化进行插值，因为这部分问题可以用[1]和[4]中的方法分别处理。该方法将特征基函数模式[14][0]-[16]与参数化和插值步骤相结合，产生一个参数模型，可用于快速评估天线几何参数的不同组合的辐射特性。参数化的实现方式不同于[8]，通过使用一个普通的和条件良好的主矩阵，将扩展系数(从估计数据)投射到相同的子空间中。从这个正交投影得到的系数，在一个约束的多维空间设计空间中，具有平滑变化的参数依赖性，以及定义良好的轨迹。此外，为了提供天线的完整特性，利用矢量拟合(VF)方法，利用向量拟合(VF)方法对天线的s参数进行了合理的函数表示[17]。然后通过对有理函数的状态空间实现进行间接参数化，然后进行适当的相似变换，使状态空间矩阵的变化在设计空间上平滑[11]。参数模型是在考虑的天线的有限的电磁模拟中产生的。这些参数模型的组合可以用来有效地进行典型的天线设计活动，需要重复的EM模拟，例如优化，在这种情况下，代理模型可以用于正式的基于代理的优化(SBO)过程[18], [19]，以及敏感性分析。
本文组织如下。第二节给出了CBFP方法的简要描述，第三节描述了我们的主要贡献，即辐射模式的参数建模算法和天线的s参数。第四节给出了两个例子，说明了不同类型的天线模型的有效性，最后给出了第五节的结论。
- 特征基函数模式
在[14]中，将CBFP方法描述为一种有效地评估天线阵列辐射模式的方法。在[15]中首次应用于单波束反射器天线。在[14]和[15]的讨论之后，CBFP方法包括将辐射模式重构为几个基函数的线性组合。
（1）
Fr(Omega;,s)isin;CNptimes;1Omega;在一个频率方向模式近似象征fn(Omega;,s)isin;CNptimes;1，这可能表示一种基于物理CBFPs分析模式模型,或直接从他们获得模拟,或测量N表示CBFPs的数量。在本文中，我们将使用EM模拟的结果作为CBFPs。注意,Np = Ntheta;Nphi;，Ntheta;和Nphi;远场的数量分theta;,phi;方向,分别表示在标准的球面坐标系统上的极角theta;和方位角度phi;。CBFP方法的目的是从而求出当系数alpha;n(1),以确定一个未知模式Fr(Omega;,s)。
- 生成CBFPs
CBFPs是由EM模拟的有限集合的几何参数的天线。这个集合被称为估计集。这里的目标是生成一个最小的N CBFPs集合，以最有效的方式覆盖设计空间。通过设计空间填充规则或拉丁超立方体采样(LHS)[20]方法，将估计集生成为常规网格(对于低维的模型)，或者作为一个分散的网格(LHS)[0]方法。
B、求解模型系数
CBFP的方法主要是为了快速估计用于校准目的的模式[14], [15]。在这种背景下,系数alpha;n(1),得到了M的测量和Fr(Omega;,s)解决。由此产生的线性方程组直接利用Moore-Penrose伪逆或使正交化的基础功能,通过奇异值分解(计算),作为预处理步骤提高建模精度[21]。
让FM变成一个Nptimes;N矩阵的列(1)CBFPs。在应用奇异值分解,只有第一个NR(NR N)调频保留左奇异向量,用URisin;CNptimes;NR构成一套(可能)减少CBFPs,。这些向量对应于一个相对于最大奇异值[15]的特定阈值的FM的奇异值。然后给出每个频率s的模型系数。
（2）
其中的Omega;R是和NR截然不同的尚未确定模式的Fr(Omega;)的方向测量,上标 表示矩阵的伪逆。然后通过下列公式给出恢复的完整模式。
R(Omega;)isin;CNptimes;NR给出矩阵的列
（4）
其中sigma;k是Fm(Omega;)的第k个奇异值，Vk(Omega;)isin;CNtimes;1是相应V(Omega;)isin;CNtimes;NR的正确的奇异矩阵k列，这是来自于Fm(Omega;)的SVD。使用(2)解决扩张系数的一个优势是：对于每个Fr，alpha;visin;CNRtimes;1是独一无二的而且是非零项的。这是一个描述参数建模算法的关键属性。本文的主要目的是预测设计空间变量的函数值alpha;v，并且不带有Fr的先验知识,这个会出现在下面的段落中。注意，在本文的其余部分使用了NR = N。
- 参数化建模算法
该方法的目的是建立辐射模式的分析模型(在宽角区域)，以及天线的s参数作为其变量的函数，如几何尺寸或衬底特征。
- 辐射模式建模
手边的问题包括准确预测辐射模式对应于任意组xlowast;几何参数,在给定设计空间d中，CBFP方法是一种基于模型的模式预测方法,是有效的,因为它通常只有少量可解的参数。
最近，提出了一种基于矩阵投影的方法[16]，在不同频率的情况下，不显式地求解(1)，得到多个频率的膨胀权值。[8]和[16]的方法仅限于一维(1- d)参数变化。为了在实用的天线设计中更有用，辐射模式模型[8]需要扩展，以解释多重几何参数的变化。本文的主要贡献是对一般的n维参数化建模的扩展，这是在接下来的内容中提出的。
考虑一个有限的Q点估计集。
（5)
和相应的CBFPs集合。
(6)
xk表示一个向量的几何参数的天线,fe k(Omega;,s)是相应的辐射模式,和xisin;D。
从问基函数在(6)开始,Qtimes;Q矩阵W(sj)的膨胀系数为每个频率sj抽样生成的每个Q CBFPsOmega;s Q不同的点，解决(1)使用奇异值分解方法
(7)
Wk(sj)是一个列向量的对应解决方案(kisin;{ 1,2,hellip;,Q })的扩张系数k基函数。矢量工作(sj),(7),通过替换Fr(Omega;),(2),实际的基函数fe k(Omega;,s)s = sj和频率
(8)
其中UR是在IIB中解释的一列CBFPs的列叠加矩阵的SVD实现的左奇异矩阵。我们强调,重要的是,SVD会被用来获取每个Wk(sj),直接利用Moore-Penrose伪逆的微小的结果将产生W(sj),(7),是一个单位矩阵的顺序问:利用计算结果在每个工作(sj)是一个独特的向量没有零项,有效地将每一个独特的点估计设置为一个独特的膨胀系数向量,这对于参数化是必要的。
方程(8)实际上可以被解释为(6)中的辐射模式的正交投影，它是由矩阵W(7)的列张成的子空间。正交投影是用一个普通矩阵UR的估计点进行的。这导致了在子空间内的CBFP膨胀系数，在受约束的设计空间上有一个光滑的几何相关的变化，这样在设计空间的任意点上的膨胀系数可以通过(7)列的多变量插值得到，例如，单纯的方法。因此，(3a)重新表述为
(9)
解决了1-D参数化建模问题。
(10)
xlowast;设计空间中的一个点D辐射模式的评估。Txk象征代表了已知的插值节点的膨胀系数(7)，并且插值计算内核k(xlowast;)是一个标量属性函数。
例如,k(xlowast;)可以选择分段线性函数或者完整地实现在MATLAB[22]现成的三次样条。
对于n维参数建模的情况,alpha;v(xlowast;)可以表示为：
xlowast;=[xlowast;1,hellip;hellip;,xlowast;N]和内核函数ki(·)满足(11)。
- 的结果与[8]中的技术相似，差异在于计算的扩展系数的准确性依赖于你的良好条件，而不是一个适当的拟合函数的选择(参见图4中的iva)。在(12)中，多变量表示是我们的主要贡献，并在[8]中扩展了一维方法。
模式建模可以通过两套CBFPs完成:辐射的theta;组件组成的一个电动远场Festtheta;,和另一组由phi;组件的辐射远场Festphi;。建模的步骤(7)-(12)然后进行单独使用Festtheta;和Festphi;,分别产生的辐射远场可以获得b参数建模。
从电磁模拟一组得到的参数估计中的每个点(5)。由于点的数量估计集通常是小,统计建模技术如克里格、co-Kriging,或神经网络[18],[19],[23]不适合精确的模型参数变化对感兴趣的设计空间。相反，在本节中使用了参数宏指令方法。
为了完整性，在这里重复了参数宏指令技术的关键概念，在[9]-[13]和其中的参考文献中有更多的深入讨论。我们将把s参数建模的讨论限制在反射系数上。然而,宏模型技术可以方便地应用于模型整个Ptimes;散射矩阵,P是电气端口的数量。
考虑一组qs参数向量。
(13)
与每个hxi(s)是频率的函数和相应的输入向量的天线的反射系数xi;isin;x。
该算法的第一步是对每一个hxi(s)进行拟合，并使用该形式的频率相关的有理传递函数。
(14)
其中r0为直接耦合常数，rn为残基，zn为系统的极点，用VF[17]迭代确定，K为近似的阶数。注意r0、rn和锌依赖的设计空间点xi;估计设置(5)。(14)的表达式转换为状态空间实现[24],吉尔伯特的传递函数是
(15)
矩阵Axiisin;CKtimes;K是一个对角矩阵的极,Cxiisin;C1times;K是一个行向量的残留物,Bxiisin;NKtimes;1是一个统一的向量,而Dxiisin;R等于直接耦合项r0。
- 的表达式是从今以后称为根宏模型,所有xiisin;Xest的根宏模型Hxi(s)有相同的命令k。参数宏模型是通过插值的整数矩阵
获得的。Txk表示一个插值内核满足(11)整数矩阵(Axk,Bxk Cxk,或Dxk)和k(xlowast;)。
然而，Gilbert状态空间矩阵的插值可能会受到设计空间中状态空间矩阵的非光滑变化，这可能导致不准确的结果[11]。通过将(14)中的pol -残差传递函数转化为以重心形式[13]，得到一个更准确的参数macromodel。
(17)
其中频率相关的基函数的定义
(18)
系统的极点是固定的，独立于任何设计空间点xi。
通过施加Hb
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