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柔性涡轮机械的流体 - 结构相互作用分析
RL Campbell，EG Paterson
摘 要:开发并验证了一种可扩展叶轮泵的性能计算方法。 高度柔性泵叶轮的大变形导致叶轮和流体流之间的强耦合。 因此计算方法需要同时求解流体和结构响应。 OpenFOAM提供流动和网格运动解算器，并使用固定点迭代以紧密耦合的方式耦合到作者开发的结构求解器。 由于材料表现出应力松弛，结构变形与时间有关。 然而，松弛的时间常数非常大，因此允许准稳态模拟。 采用粘弹性水翼的水通道试验来验证求解器。 测试问题的仿真显示与实验结果非常吻合，并且证明即使对于准稳态模拟也需要解算器的几个子迭代。
- 介绍
用于生物医学应用的柔性涡轮机械近来获得了一些最近的专利（McBride等人，2008）和出版物（Bhavsar等人，2009年; Schmitz-Rode等人，2005; Throckmorton和Kishore，2009年; Throckmorton等人，2008）。 对于系统植入很重要的灵活性在大多数情况下通过由聚合物材料制造涡轮机械来实现。 这种材料所提供的灵活性是非常理想的，但不幸的是通过材料应力松弛引入了叶轮的随时间变化的变形。 应力松弛通常被视为所有聚合物材料所观察到的粘弹性效应，并且即使对于恒定的施加载荷，其本身也表现为时间依赖性变形。 依赖于时间的叶片灵活性引入了泵设计人员所需的与时间相关的泵性能，以确保满足设计标准。 可能导致的大变形通常足够大以修改定义叶轮载荷的流场。 叶片变形与流体表面应力之间的这种双向相互作用需要流体 - 结构相互作用（FSI）建模来评估泵的性能。
流体 - 结构相互作用建模试图描述沉浸在流体中和/或包含流体的可移动和/或可变形结构的相互作用。 结构的运动引起作用于结构的湿表面的uid应力的变化，这反过来导致结构运动的变化。 捕捉这种相互作用的模型必须使用双向耦合，其中流体运动影响结构的运动并且结构的运动影响流体的运动。
近年来流体 - 结构相互作用建模一直是一个非常活跃的研究领域，文献中有大量文献证明了这一点。 计算机容量的进步与流水成熟和结构建模同时进行，使得这些耦合模拟成为可能。 该领域研究的长期目标是进行FSI模拟在实际应用的设计和分析环境中很常见。 这种能力对许多行业来说都是非常有利的，包括生物医学行业对疾病的理解和治疗。 最近的文献中已经出现了几个这样的例子。 例如，Vierendeels等人。 （2000年）, 德哈特等。 （2003年）和其他人研究了人类心脏的心室栓塞过程以及作用于心脏瓣膜的流场和力，以改善人工瓣膜的设计，Wolters等人 （2005年）模拟主动脉壁压力的目的是预测腹主动脉瘤（AAA）的破裂风险，以及Wall和Rabczuk（2008） 模拟了患病和健康肺部的气道模式，通过更好地理解颗粒和气溶胶沉积来改善药物输送。 然而，目前，FSI解算器已开始商业化，但通常需要两台商业求解器和第三方耦合软件之间的耦合（Timperi等人，2006）。 在文献中的大多数情况下，使用定制求解器是因为商业求解器或者还不成熟或者其能力太有限。
绝大多数FSI研究报告采用了任意拉格朗日 - 欧拉（ALE）的分区FSI求解器（Hughes等人，1981）公式\该公式可以使uid网格响应结构变形而变形。 ALE方法的替代方案包括浸入式边界法（Lv等人， 2007; Song等，2011），ctitious域法（Baaijens，2001年）和砂浆有限元法（游泳和 Seshaiyer，2006年），所有这些在一定程度上涉及更一般的拉格朗日乘子法，并使用xed uid网格。Tezduyar等人。 （2008年）描述了ALE方法相对于xed-mesh替代方案的优点是能够在结构界面附近保持高质量的网格，从而在该区域产生更精确的uid机制。 ALE公式适用于这项工作中的FSI模拟。
与FSI模拟和涡轮机械相关的文献非常有限\已报道的FSI工作采用简化的流模型，简化的结构模型或仅限于稳态条件。林和林 (1996) 进行了最早的FSI船舶螺旋桨模拟之一，使用螺旋桨的壳单元和提升表面理论以及稳定的伯努利方程。 他们对提升表面理论的使用不包括桨叶厚度对流场的任何影响，螺旋桨材料被模拟为线性弹性。Gnesin和 Rzadkowski（2002）使用无粘流模型和结构的模态表示来研究涡轮机的摆动叶片排的气动弹性行为。 他们的方法采用线性弹性材料模型，并随时间改变模态系数来计算结构的响应。Benra（2006）使用商业软件和通过输出文件在界面处进行数据交换，研究了单叶片单级污水泵的流量引起的振荡。 这项工作采用单向耦合的UID压力结构，因为界面上的不同网格产生耦合困难。 Benra得出结论认为，这种模型需要双向耦合来提高与实验结果的一致性。 最后，Young（2008）采用复合材料船用螺旋桨的FSI模型来研究亚空泡和空泡行为中的水弹性行为。 该方法采用低阶边界元素模型（BEM）和uid的非商业求解器，并采用商业软件Abaqus进行结构分析。 结构变形通过更新BEM几何并在结构和流量求解器之间迭代直到系统收敛而被合并。 对于计算和测量的推力和空化模式进行稳态运行比较。
这里描述的工作的目标是实现和验证能够建模灵活涡轮机的时间依赖响应的FSI解算器。 感兴趣的涡轮机的复杂性妨碍了其用于FSI求解器的验证，因此单个水翼用于仿真和测试。 通过对应力 - 应变关系和泊松比的材料测试来表征粘弹性材料。 材料应力松弛（已知具有明显的批次间变化）通过使用经受弯曲变形的梁试验样本进行评估和修改。
2.理论表述
这里介绍的工作需要在流水线和高度灵活的结构之间进行耦合。 控制流动和结构变形的方程是定义的，接着是物理如何耦合的细节，以及最终解决方程的方法。
2.1治理方程式
uid和solid域的控制方程仅在其本构关系上有所不同，因此首先介绍连续介质力学的一般方程，然后介绍每个域的特征。
这些方程式是以ALE形式建立的，它提供了一个捕捉欧拉，拉格朗日或任意参考框架的非常通用的框架。
2.1.1连续体力学
要考虑的第一个方程是连续性方程
(1)
其中r是质量密度，v是（uid或固体）质点速度，而v\是网格点速度（在此工作中需要使uid网格变形以适应结构变形）。 对于拉格朗日实现，v\= V，对于欧拉实现，v\= 0.执行力平衡并利用连续性方程导致
遵循动量方程：
(2)
其中r是柯西应力张量，b是体力。
ALE方法的一个附加约束是网格速度满足几何守恒定律（GCL）（Kamakoti和Shyy，2004年; Nguyen，2010; Slon等人，2002; 托马斯和隆巴德，1979年):
(3)
其中CE是控制元素的音量。 GCL要求两个相邻时间步长之间的每个控制元素的体积变化等于时间步骤期间由单元边界扫过的体积。
本构关系的应用提供了控制方程的必要闭合。 接下来提供uid和solid域的本构关系和结果方程，接下来是用于在uid / solid界面G˚F= S处耦合这些域的过程以及实现的详细信息。
2.1.2流体力学
经历不可压缩流动的牛顿流体的模型通常使用下面的应力张量近似值：
(4)
其中p是热力学压力，m是绝对粘度，S是应变率张量Eq的替代（4）代入动量方程（方程（2））并使用2r-S = rv，得到Navier-Stokes方程：
2
(5)
其中n是运动粘度。
如前所述，使用ALE配方的分区FSI解算器正用于本工作。 ALE公式需要uid网格响应结构变形而变形，因此必须基于结构运动计算网格速度v\。 这项工作中使用的网格运动解算器的详细信息在中提供第2.3节.
2.1.3结构力学
结构求解器是用拉格朗日框架参考实现的，这意味着网格速度等于材料速度v\= V，因此连续性方程（方程（1））变为
(6)
并且动量方程（方程（2））变为：
(7)
其中u是材料位移（@ u = @ t = v）。
在引入结构的本构关系时可以找到这个方程的闭合。 各种本构关系通常用于结构力学问题，特别是当模型涉及弹性体材料时。 用于这项工作的本构模型是线性粘弹性的，并且被实现为对线性弹性模型的修改。 定义线性弹性固体的柯西应力张量如下：
（8）
其中m = E = 2,1 n）和l = nE = 1 n1,1-2n是拉梅常数，I是二阶单位张量，e是格林 - 拉格朗日应变张量。
将材料粘弹性引入线性材料模型需要非线性解决方案。 材料粘弹性采用时域方法进行建模，与商业软件Abaqus（参见Abaqus用户手册，Hibbitt等人，2006）使用的方法类似，Kaliske和Rothert（1997）也以类似的方式推导出了材料粘弹性。 该模型用于线性粘弹性材料，并不意味着材料的时间响应是线性的，而是在任何给定时间，应力都与应变成正比，其中c是一个常数（Findley等，1976） 并且使用剪切和体积行为是独立的近似值。 此外，粘弹性行为主要由材料变形的偏差部分决定，因此必须隔离剪切和体积项（Hibbitt et al。，2006; Kaliske and Rothert，1997）。
这种方法的基础材料模型是由Maxwell组成的广义Maxwell元素与胡克元件（即弹簧）平行的元件（即串联的弹簧和缓冲器）如图。1。 该图中所示的弹簧刚度m\表示在特定时间（即，在所有粘弹性力已减小到零之后）的材料刚度。由刚度m\和粘度Z\定义的每个麦克斯韦单元表示不同的时间尺度材料的反应，并包括在Prony系列材料的表示。
柯西应力的分解需要粘弹性模型仅影响剪切分量。 压力可以分解为静水和偏分量如下：
(9)
其中k是体积模量（对于线性弹性材料，k = 1 2m = 3）。 当前（n 1）时间步的材料应力张量的偏离部分则采用以下形式：
(10)
其中h\是来自所谓的遗传积分的内部应力变量
(11)
其中g\是归一化松弛常数，ti是弛豫时间，r0是与广义麦克斯韦元素的胡克元素相关的应力（图1）。1）。 松弛常数和时间通过使用这些参数构建的Prony系列对经验数据进行定义，通常使用最小平方误差方法。 将该积分分解成已知的部分（即时间段[0，t\]）和未知的（即时间段（t\，t\]），并使用\-r\= Dt，下一时间步的内应力变量近似如下：
(12)
其中Dt = t\-t\是时间步长。
2.2流体结构耦合
uid与结构的相互作用是通过将来自流体的结构和结构位移从流体结构传递到流体来完成的。\兼容性和无滑移条件的要求如下：
(13)
其中n是界面上的单位法线，r上的上标表示uid或solid域的压力。 请注意，此处开发的FSI实施是针对永久性类型的，这意味着没有uid分离（即，uid与结构保持接触）（Casadei和Halleux，1995年; Casadei等，2001）。 这个限制有帮助简化了问题，因为在仿真过程中不需要更新接口信息。 uid点将始终处于与结构节点相同的相对位置，反之亦然。
2.3网格运动
uid网格的运动通常被认为是否则是两场uid结构问题的第三个领域，因为它的解决方案不是微不足道的。 一般来说，网格运动使用三种方法之一来计算：（1）使用弹簧类比，其中所有点对点网格连接被弹簧代替（Blom，2000; Degand和Farhat，2002年，（2）将网格作为伪固体（Hron和Turek，2006年或者（3）用拉普拉斯算子模拟网格运动Jasak和Tukovic#39;（2006）。 Jasak和Tukovic#39;在开源软件OpenFOAM中实现了拉普拉斯网格运动。 该方法首先将OpenFOAM的任意多面体网格分解为四面体单元，然后根据拉普拉斯方程移动：
(14)
其中g是可以在整
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