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螺旋起重机构中的振动
Paolo Gallina
摘要
众所周知，在某些情况下，特别是在向下运动过程中，螺旋起重机构可能会发生振动。文献中已经提出了几种模型来解释由于系统不稳定性引起的这种振动现象。尽管如此，据我们所知，完整和准确的实验结果以前从未得出过。本文分析了由丝杆和螺母组成的机械系统。然后引入模型。特别是，该模型表明，当夹紧在丝杆自由端的质量惯性矩在两个边界值最小值和最大值之间的范围内时，系统是不稳定的：这些值取决于系统的机械特性。这个范围的存在是通过实验观察到的。另外，的最小理论值和最大理论值与实验值吻合很好。
从设计的角度来看，这项工作的第二个主要贡献在于提供一种简单而有效的方法来避免螺旋起重机构的不稳定性：为了防止机构振动（不稳定），将惯性质量块（如果允许的话）固定到丝杆的自由端就足够了。
1.导论
尽管螺旋起重机构在工业中已被广泛采用，但它们的动态行为依然是不知道的。特别是从设计的角度出发，了解避免振动的方法至关重要。事实上，人们可以找到许多可能发生振动的实际情况。振动不仅会产生巨大的噪音，还会损坏整个机构。
构建了一个模型来表示一个简单的螺旋起重机构，以便深入了解振动问题。他通过实验发现了一些可能导致振动的原因。但是，他没有提供这种现象的理论解释。
在某些情况下，螺旋起重机构中的振动现象是由所谓摩擦引起的，这已经被证明了。除了，也通过一个简单的模型，给出了一个完整的解释。他发现，在一种不可逆式螺旋起重机构中，是否稳定由螺母和丝杆的质量，摩擦系数和丝杆螺旋角的关系确定。
等人对这一理论进行了改进。通过引入模型并考虑到丝杆的轴向和扭转刚度。在这样的模型中，两个广义坐标是丝杆的垂直位移和螺母的扭转位移。他们发现的结果与给出的结论非常吻合。此外，从设计的角度来看，新的模型得到了一个重要的结论：保持稳定的条件是螺旋起重机构的轴向和扭转固有频率之间的比率不超过给定极限。通过这个模型，有可能消除剧院舞台的大平台（重量为吨）运行期间发生的振动。实际上，这是通过在混凝土梁的表面和板之间放置一层蜂窝橡胶，并且丝杆的顶部悬挂在该板上，这样可以使丝杆的轴向固有频率以及螺旋起重机构的轴向和扭转固有频率之间的比率减小，以此来消除振动。
在这项工作中，利用类似的模型表明，只需增加固定在丝杆自由端的质量块的惯性矩就可以避免振动。该解决方案与参考文献中提出的方案相比具有两个优点。首先，修改固定在丝杆自由端的质量块的惯性矩比提供给定的轴向刚度更容易; 其次，该解决方案不需要拆解整个系统。
在第节中，描述了模型。稳定性分析在第节中进行。最后，在第节中，通过实验结果验证模型。
2.2个自由度的模型
这里给出的模型在用图表示。
就扭转振动而言，可以通过引入丝杆的连续模型来分析机构。这种模型会使数学处理复杂化，因为会引入无限的自由度。因此，为了深入了解这个问题，这里的螺旋起重机构通过一个与质量为的螺母相连的等效刚性丝杆来表示：表示螺纹的平均半径。丝杆放置在垂直位置; 其长度为：丝杆的一端固定在框架上，另一端是自由的。螺母与丝杆的自由端接合。是螺旋角位置，而是沿着螺旋轴的螺旋轴向位移。
图1系统原理图
螺旋扭转弹性由刚度的扭转弹簧示意。同样，丝杆轴向弹性通过放置在丝杆和框架之间的弹簧刚度图示出来。根据圆截面轴的连续模型的理论，如果假定框架是完全刚性的，则扭转刚度和轴向刚度取值为
，
，
其中是刚性模量，是极惯性矩，是杨氏模量，是螺杆截面积。
为了简化数学模型，螺母和丝杆都假定为刚体。
质量块固定在在丝杆的自由端。它的惯性矩是:表示这个质量块具有稳定系统的功能。
假定螺母始终与丝杆接触。假设是螺母的角位移，是螺母的垂直位移。由于模型由两个相互作用的刚体组成，因此可以执行两个动力学方程。第一个涉及丝杆的无阻尼旋转运动方程
其中是螺母施加在丝杆上的扭矩。当逆时针方向（顶视图）时，扭矩被假定为正值。假设螺母逆时针旋转时向上移动（顶视图）。
表示等效螺钉的惯性矩。
丝杆沿其轴线的无阻尼运动平移方程为
其中是等效的螺旋质量，是重力加速度。是螺母施加在丝杆上的垂直载荷。螺母垂直位移；其角位移和丝杆的角位移必须满足以下运动关系：
，
其中是螺旋螺旋角，是螺距，是螺旋平均半径。完成模型的最后一个方程来自扭矩的表达式。
在这方面，必须强调的是，普通螺旋起重机构采用两种丝杆：方螺纹丝杆和螺纹丝杆。在这两种情况下，螺母都会在丝杆上施加垂直载荷。
案例1：方螺纹丝杆
通过在螺纹和斜面之间进行类比，可以获得螺母施加在螺栓上的扭矩。
其中是摩擦系数。表示螺钉和螺母之间的相对角速度。式可以通过将螺旋起重机构简化为一个楔子得到，其中螺母的旋转运动被等同的水平运动代替。
通过利用关系式；是摩擦角，方程变为
其中是螺母和螺纹之间的滑动速度的函数。因此，它可以写成
其中示滑动速度的绝对值。为了简单起见，假定摩擦系数仅取决于滑动速度的符号，但不取决于其值（库仑摩擦模型），因此关系式可以简化为:
其中是恒定的。
因此，当螺母逆时针旋转时，与螺母的速度相比，很小，可以被忽略不计，滑滑动速度为正值，螺母施加在丝杆上的扭矩为相反，当螺母顺时针旋转(螺母向下运动)时，扭矩为
案例2：三角螺纹丝杆（或螺纹丝杆）
这种情况更为复杂，因为有必要考虑垂直于螺旋线的正常截面上的角度。参考图，该平面是平均半径处的表面上线的一部分：为了清楚起见，给出了局部框架。
图2三角螺纹丝杆内的力的分布
该平面通过以和的角度倾斜的单位矢量和来定义; 分别用粗线表示的矢量是丝杆施加在螺母上的力。特别地，是丝杆和垂直于接触表面的螺母之间的接触力：是单位矢量在螺纹表面垂直方向的分力。是摩擦力，是螺母的运动方向。 由于和所以
丝杆施加在螺母上的全部力是
的第一个分量代表产生扭矩的力作用于螺母。
的第三个分量代表丝杆施加在螺母上的垂直载荷;因此，螺母施加在丝杆上的垂直载荷是
通过利用方程式和可以得到，螺母施加在丝杆上的扭矩和垂直载荷之间的关系是
其中，是螺母和螺纹之间的滑动速度的函数
假定摩擦系数仅取决于滑动速度的符号，但不取决于其值;因此，可以写成
其中是常数。
因此，在向上运动过程中，取值为:；而在向下运动时，它变成了
总之，两种情况下螺母施加在丝杆上的扭矩总结在表中。
在文献中，已经表明，只有在向下运动期间螺旋起重机构才会出现不稳定性。因此，下面只考虑向下运动。此外，为了分析更一般的情况，假设螺纹是三角形的。
螺母的垂直运动方程是
其中是螺母质量，是螺杆施加在螺母上的垂直载荷。方程的第二部分是通过推导方程得到的。并假定螺母速度是恒定的。然后，方程可以用方程替换。公式和形成以下方程组：
，
通过方程式使垂直负荷的值明确。方程组变成
，
使用矩阵符号，二阶线性微分方程组变成
或
，
这里可以回想一下，这个质量矩阵表示螺旋起重机构向下移动的情况。
表1
在向上或向下运动时，螺母在螺纹上施加的扭矩
备注：Upwards，向上运动；Downwards，向下运动；Square thread，方螺纹；V-thread，V型螺纹；
相反，在向上运动的时，质量矩阵式是
请注意，向上运动时的质量矩阵和向下运动时的质量矩阵不一样。而且，如果摩擦系数为零，则质量矩阵将是对称且唯一的。因此，该系统在稳定性较弱的意义上会保持稳定。我们得出结论，摩擦是造成不稳定的原因。
需要提醒的是，对于有限矩阵，刚度矩阵和惯性矩阵必须是对称的。
矩阵是有限矩阵，因此惯性矩阵由于摩擦系数不为零而不是对称的。这是可以理解的，因为库仑摩擦力不是内力。
矩阵可以通过预乘矩阵得到更好的形式
因此，矩阵变成
刚度矩阵的分量分别表示丝杆的自然扭转频率包括稳定质量和丝杆的自然轴向频率包括螺母的质量。
公式优于公式，因为从实验的角度来看，自然频率和比刚度和更容易测量。
3.稳定性分析
矩阵是一个有限的无阻尼线性矩阵，因为惯性矩阵是非对称的而且阻尼矩阵不存在。为了进行稳定性分析，将使用参考文献中提出的方法。这种方法给出了线性开放无阻尼矩阵在情况下（弱稳定性）稳定的充分必要条件。这种方法的主要特点是它不需要进行特征向量计算。该方法及其在矩阵中的应用将在附录中解释。
尤其是，它将显示系统稳定，当
，
，
系数，和是
，
，
总之，当条件不同时满足时，描述螺旋起重机构动态特性的公式变得不稳定，因为矩阵中要至少具有一个正实部的特征向量。作为结果，会发生轴向和扭转振动。这种现象可以通过一组加速度计记录下来。事实上，它会产生巨大的噪音。
4.实验结果
为了验证模型，建立了一个简单的实验装置（见左图）。它由固定在框架上的丝杆，质量为的圆柱形螺母和固定在丝杆自由端的质量为的机构组成：后者（见右图）由平行六面体两个螺丝位于对称位置。通过拧紧两个螺钉，可以改变质量为的惯性矩：手动操作螺母：通过逆时针旋转获得向下运动。
为了测量轴向和扭转振动，采用了两个加速度计（ 型）。它们的电压灵敏度为，重量为。加速度计固定在螺钉的自由端，以测量轴向振动。加速度计固定在离螺杆轴线处的质量块处，以测量扭转振动。
根据前一节的理论，为了预测不稳定性，三个值，和必须进行计算。特别是，由于这项工作的主要目的在于分析惯性矩对不稳定性的影响，所以由方程将相对于参数进行计算和绘图。
图3升降机构模型。螺母，丝杆和质量块m1与两个加速度计在左边;右边是质量块m1
备注：NUT，螺母；SCREW，丝杆；MASS m1，质量块m1；
ACCELEROMETER 1，加速度计1； ACCELEROMETER 2，加速度计2
表2
螺旋起重机构的相关的参数
由于系数，和取决于很多螺旋起重机构的机械参数，为了获得上述曲线图，有必要估算这些参数。
螺旋起重机构基本参数在表中给出。数据，，，和被直接给出，摩擦系数可以通过方程式和得到。事实上，给定已知的垂直载荷并测量可以移动螺母的最小扭矩，可以得到值。
一旦被知道，就可以通过方程式计算
方程中涉及的固有频率的估计方式如下。首先，根据圣维南理论，轴向和扭转刚度是
，
其中是刚性模量，是极坐标惯性矩，是杨氏模量，是剖面面积。
表3
丝杆材料特性
表给出了丝杆的材料特性。和是最难估计的参数。 事实上，正如第部分所解释的，为了简单起见，真正的丝杆被模拟成等效的刚性丝杆。这种丝杆的质量和惯性矩低于丝杆的总质量及其惯性矩。为了找到的值; 假定真实丝杆的第一轴向固有频率必须等于等效轴向固有频率。根据连续体系统振动理论，已知丝杆轴向振动的第一固有频率为
获得相同的频率必须考虑与框架连接的等效丝杆的质量和弹簧刚度，
通过比较方程和，质量结果如下
就扭转振动而言，遵循相同的推理方式，丝杆的扭转振动的第一固有频率是
获得相同的频率必须考虑与框架连接的等效丝杆的惯性矩和弹簧刚度
质量可以很容易地测量，。现在所有参数都包含在系数的表达式中; 和已经获得，这使研究系统的稳定性成为可能。
在实验中，已经考虑了三种不同的螺旋起重机构的配置：，，。对于每种配置，值，和是针对的不同值计算的：图和代表三种配置的和与的理论值。和的值总是大于零。因此，对于每个总是满足的前两个条件：
图的情况更有趣。它代表了三种配置的的值与的关系。让我们回想一下，当
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