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有约束条件下龙门起重机快速轨迹的高效生成
摘要：时间是运输业务的关键因素。 除了运输本身的时间外，货物的装卸也预计尽快完成，以节省宝贵的时间和金钱。 除此之外，对于集装箱通常通过船岸龙门起重机装载和卸载的集装箱船也是如此。 这种情况示例性地激发了本文中的调查。 提出了基于连接加载和卸载位置的几何路径来产生负载轨迹的不同方法。 由于路径通常在开始前就已知道，所以特别强调的是快速计算轨迹。 总体目标是在考虑门式起重机系统的约束条件下尽可能快地遍历几何路径。 由于所需的计算时间通常相当大，因此计算出最佳解决方案，并将其作为参考用于计算原因。 因此，为了快速计算轨迹而量身定制。 所有不同的方法都通过更新的测试路径进行评估和比较。
关键词：强化算法，高效算法，门式起重机，最短时间控制，最佳轨迹，轨迹规划。
1. 介绍
时间最优化的运动在许多工程领域和许多不同的问题中都是必需的。已经开发了大量用于寻找通用动力系统以及机器人和车辆等特定应用的运动的解决方案，例如参见Faulwasseretal。（2011）; Keerthi和Gilbert（1987）;Kondak和Hommel（2001）；Laumond（1998）；LaValle（2006）。不同的方法大致可以分为两类。一方面，除了系统约束之外，时间选择的imal轨迹只需满足一定的初始条件和终端条件，参见Knierim和Sawodny（2012）：VandenBroecketal。（2011年）。这意味着要优化的几何形式是免费的。另一方面，给出几何曲线，沿着该几何曲线必须进行时间选择运动，参见例如Bobrow等。（1985）; 康斯坦丁内斯库和克罗夫特（2000年）; Verscheure等人。（2009年）。 在下文中，没有临时信息的曲线也被称为路径。 本质上，解决方案需要在时间段内找到将路径转换为轨迹的路径。 一般而言，这两种方法也可以以轨迹的形式混合，几何预定的部分和几何部分是自由的部分，参见例如Bocketal。（2016）。在本文中，属于第二类的任务被考虑用于二维门式起重机。需要找到一条轨迹，以便尽可能快地将负载从初始配置（位置，速度）移动到沿着预定的，无磁路径的终端配置。 路径参数描述沿路径的位置。 它必须被确定为时间的函数解决任务。 除了在本文中考虑的应用之外，这项任务还涉及许多其他领域，例如机器人技术和无人机。 在存在例如干扰的情况下，用于跟踪所获得的轨迹的控制器的设计不在本工作的焦点之内。尽管如此，在标称情况下的轨迹跟踪的前馈控制可以容易地获得和使用，例如在两个自由度的控制结构内，参见图1。Astrom和Murray（2008）; Egretzberger等人（2012年）。文献中存在许多不同的方法来计算门式起重机的时间选择性轨迹。Auernig和Troger（1987）考虑了基于Pont ryagin的最大原理获得解析解的标准曲线。在Van Loock等人（2011）中，轨迹用B样条表示，并利用系统的平坦性。对于恒定的电缆长度，通过使用Bsplinecurves的凸包特性来确保某些约束的坐标。 采用等分离子方法寻找最短时间。在二分法的每次迭代中，线性可行性问题都必须解决。同样，Chenetal。（2016年）也将其调查结果命名为恒定电缆长度，并用B样条曲线对负载轨迹进行参数化。在Raczy和Jacob（1999）中考虑了在三维空间中的载荷运动。 考虑到各种系统变量的约束条件，其中包括有线电视的延长时间及其与时间的关系。 为了计算沿给定路径的时间选择轨迹，提出了多重迭代策略。 粗略地说，只考虑一个约束变量并找到适当的轨迹。 后来，检查剩余的约束条件并确定轨迹必须在哪里进行校正。 重复该过程直到满足所有约束条件。本文提出的解决方案策略不依赖于恒定的电缆长度h。考虑几个不同系统变量的约束条件。对于开发的解决方案而言，负载不一定必须位于指令开始和结束时的平衡位置。此外，还特别强调了所提出的算法的实时可行性，这在文献中经常被忽略。 从实际的角度来看，这意味着计算轨迹所需的时间必须比实际穿越它所需的时间小得多。其中，他的挑战是通过使用分段多项式对路径参数的定制表示来解决。第2部分更详细地介绍了门式起重机系统和所考虑的轨迹生成任务。第3节概述了计算最优解的方法。第4节以主要结果的形式介绍了用于获得快速轨迹的高效（按计算时间）算法。第5部分对所有不同的方法进行了评估和比较。
2. 问题的表述
本文中的所有后续调查均针对在二维空间中移动负载的门式起重机量身定制。这个系统，它的数学模型以及相应的约束变量在2.1节中给出。第2.2节描述了尽可能快地寻找传输负载轨迹的任务。
2.1 门式起重机
图1描述了门式起重机的草图。在二维空间中的载荷位置由PL = [xL yL]T给出。 负载挂在一个可以在手推车上缠绕的电缆上。 假定电缆连同负载一起可以模拟成一个垫子血型摆。 从小车到负载的电缆长度由SHlt;0表示。通过使用这种惯例，较大的SH值对于电缆的相关角位移theta;需要较大的YL值。 电缆以固定的高度YT = 48m和水平距离XT旋转，描述滚球的位置。 一切选择的尺寸与用于装卸货船的集装箱起重机的尺寸相似。
假定激励的自由度：xT和sH配备有XT和VH =SH 。 通常情况下，这些控制器可以将它们视为理想的。因此，（通常改变）负载的质量以及激励自由度的摩擦与整个系统的数学模型不再相关。特别是对于这些从属控制器来说，轨道VT和绞盘VH的速度以及相应的加速度aT=VT和aH=VH受到箱体约束
类似地，角度theta;必须满足
它可以通过图像处理确定theta;的动力，并且负载必须保持在相机的视场内。
如2.2节详细描述，必须确定轨迹PL（t）。众所周知的是，带有速度控制器的门式起重机构成了一个扁平系统，参见Fliess et al.（1995年）。 负载PL的位置是一个平坦的输出，这意味着所有的系统变量都可以根据PL和其有限数量的时间导数来参数化。 因此（1）中的常量数量和表格中也可以使用这种参数化方法
这对解决轨迹生成有用。特别是关于小车和绞盘的从属速度控制器，如果VH，aH，VT和aT是连续的时间函数是有利的。 因此，要求获得的PL轨迹是连续四次不同的（C4）。
图1.门式起重机。
2.2 任务说明
在给定的起始位置PSTART处，负载（其可以是容器）由起重机拾起并且必须移动到预定的终点位置，为了获得连接PSTART和PEND的合适的轨迹使用程序。首先，必须找到一条从PSTART时到终点的适当路径并避免出现障碍。 其次，必须确定路径的时间参数化。根据第2.1节，负载的最终轨迹必须是C4的元素，这意味着同样的路径和时间参数必须保持不变。为了找到路径，点Pw i,i= 0,1，hellip;，我应该以这样的方式给予他们，使他们有足够的距离去潜在的障碍，例如货船上的集装箱。为了简洁，起点和终点也是一样包括作为第一个和最后一个航点Pw，0 =PSTART时和Pw,l= PEND， 连续可微路径P1通过将直线与直线连接并在拐角处插入圆弧而生成。接着，用sigma;e和sigma;egt;sigma;s对应的路径参数，用连续不同的四个B-spline曲线重复P1到起点和终点。 因此最终的路径结果。 为了方便起见，假设P（至少近似）被参数化按弧长。
图2.从起始到终点的路径，l=5。
要解决的任务通过找到时间参数 T表示轨迹所需的总时间，也称为轨迹时间。 为此必需的是
（1）和
（2）以和的式来指定速度和轨迹的末端，
（3）间T尽可能小，
（4）得到满足，并且
（5）算的计算时间Tcpu尽可能小，特别是Tcpulaquo;T。
期望的载荷轨迹结果为。
从经济角度来看，最重要的要求是第三项。 但是，通常轨迹的计算必须在遍历之前完成。因此完成整个任务所需的时间由Tcpu T激励第五项给出。自然第三和第五项总是矛盾的。因此解决第4节中提出的任务的方法接受了这两个要求之间的某种折中，以便在合理的计算时间内计算出快速轨迹。
3.最佳解决方案
为了评估第4节中的解决方案及其实现的轨迹时间，本节介绍了计算最优解（即实际最小时间轨迹）的一种方法，而不考虑所需的计算时间。为此提出解决最优控制问题
与状态和人工输入。积分链（3b）确保最佳时间参数化为C4。约束条件（1）通过（3d）与函数相关
和此外，， ，和类似的表达式对于PL(3)和PL(4)必须插入到（4）中的psi;中。
对于第5节的结果，通过离散水平[O，T]并使用离散点处的和u的值作为优化变量来获得（3）的解。通过梯形法则和离散点处的（3d）的评估的（3b）的附加近似导致有限维静态优化问题，其用SNOPT解决，参见Gill等人（2002年）。他获得的解决方案被认为是最优解。
4.高效的解决方案
第5节表明，最佳时间参数计算需要相当长的计算时间TCPU。 因此，本节的目标是开发以更大的代价实现Tcpulaquo;T的方法轨迹时间。然而，Tcpu T的总和仍然比第3节中的方法小得多，这意味着整个问题可以在更短的时间内完成。其基本思想是使用4.1节中介绍的分段多项式来限制函数的形状。 他减少了自由度，有利地用于第4.2节为了减少所需的计算时间，制定一个定制的优化问题以及一个有效的解决方案算法。
4-1路径参数等代表
考虑到要解决的任务，的参数化被选择为使得沿路径的可能移动不受限制。为了达到他的目的，整个路径由 分成l段。第i个分段i = 1,2，...，l包括路径参数的区间，其中和，参见图2。转换点 被确定为尽可能接近圆弧中心（形成P1）在航点。
根据这个定义，每个段的路径重新组合一条直线和相邻圆弧段。 如果只有一条直线，则时间最优运动大致由加速阶段，最大速度阶段和减速阶段组成。基于这个想法为每个段定义了表示路径参数的相应分段多项式。通过组合所有细分，整体分段多项式结果。 具有持续时间Ti的根据图3的第i个分段由九个子部分j = 1,2，...，9。他们有持续时间与 允许定义点
与和 ，参见图3.在每个子部分开始时，和具有初始值和，者对于j = 1，5，9分节，沿路径的速度是不变的，
图3.第i段中的分段多项式sigma;p
子部分j = 3，7由常数表征加速形式
为了使sigma;p连续四次不同，子部分j = 2,4,6,8包括形式的多项式
sigma;p的两倍仍然是连续可微，为了简洁省略了和sigma;p（t）。 对于所有功能（6）-（8）式中，T1包含在区间内的除了i=j=1的。第2.2节中对P的一个（近似）自然参数化的要求源于这种情况，并且选择的路径参数表示是合理的并且可以执行。 例如，如果并且不是一个常数，那么对于sigma;来说，一个恒定的值不会沿着路径产生恒定的速度。
所有片段和子部分的sigma;p（t）的整体自由度由下式给出：以及和
其中j = 2,3，...，9，因为不会发生。 自然他们不能自由选择，但必须履行许多条件。首先必须确保细分市场的连续性，
对于j = 2,3，...，9，相似的，加速度的六个约束
与和保持自由。其次，各部分之间的连续性得到保证
对于i = 1,2，...，l-1。这样的条件对于来说不是必需的，因为它在每个段的开始和结束处是零（6c）。 第三，必须满足整个启动和过渡的条件
第四通过苛刻的条件
这些部分与路线对准。条件（9）-（12）有效地将sigma;p（t）的自由度的次数减少到10l-1。
这些实际的自由度被选择为
稍后会有动力。数量 在过渡速度段之间。为了完全确定sigma;p（t），关系式
其中对于 和这些条件来说都是最合适的。
4-2静态优化问题和有效解决方案
变量Y用于制定量身定制的统计优化问题，旨在最小化轨迹时间。 为此，有两种可能的方法建议。首先整个目标，即所有分段，可以一次优化。其次，有限的数量以的形式存在可以被考虑。这条轨迹只是为了达到目的而进行了优化。在下文中，只有第二种方法被描述为第一种被包括在和中。
为了找到最佳的运输工具，必须遵守约束条件（1）。这是通过屏障功能来实现的。因此，为了能够应用数字优化算法，可行的轨迹行为作为起始解决方案是必需的。这开
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