Kinematic and dynamic synthesis of a parallel kinematic high speed
drilling machine
Abstract
Typically, the termlsquo;lsquo;high speed drillingrsquo;rsquo; is related to spindle capability of high cutting speeds. The suggested high speed drilling machine (HSDM) extends this term to include very fast and accurate point-to-point motions. The new HSDM is composed of a planar parallel mechanism with two linear motors as the inputs. The paper is focused on the kinematic and dynamic synthesis of this parallel kinematic machine (PKM). The kinematic synthesis introduces a new methodology of input motion planning for ideal drilling operation and accurate point-to-point positioning. The dynamic synthesis aims at reducing the input power of the PKM using a spring element.
Keywords: Parallel kinematic machine; High speed drilling; Kinematic and dynamic synthesis
1. Introduction
High-speed machining is an advanced manufacturing technology, different from the traditional processing methods. The spindle speed, cutting feed rate, cutting a small amount of units within the time of removal of material has increased three to six times. With high efficiency, high precision and high quality surface as the basic characteristics of the automobile industry, aerospace, mold manufacturing and instrumentation industry, such as access to a wide range of applications, has made significant economic benefits, is the contemporary importance of advanced manufacturing technology. For a long time, people die on the processing has been using a grinding or milling EDM (EDM) processing, grinding, polishing methods. Although the high hardness of the EDM machine parts, but the lower the productivity of its application is limited. With the development of high-speed processing technology, used to replace high-speed cutting, grinding and polishing process to die processing has become possible. To shorten the processing cycle, processing and reliable quality assurance, lower processing costs.
During the recent years, a large variety of PKMs were introduced by research institutes and by industries. Most, but not all, of these machines were based on the well-known Stewart platform [1] configuration. The advantages of these parallel structures are high nominal load to weight ratio, good positional accuracy and a rigid structure [2]. The main disadvantages of Stewart type PKMs are the small workspace relative to the overall size of the machine and relatively slow operation speed [3,4]. Workspace of a machine tool is defined as the volume where the tip of the tool can move and cut material. The design of a planar Stewart platform was mentioned in [5] as an affordable way of retrofitting non-CNC machines required for plastic moulds machining. The design of the PKM [5] allowed adjustable geometry that could have been optimally reconfigured for any prescribed path. Typically, changing the length of one or more links in a controlled sequence does the adjustment of PKM geometry.
The application of the PKMs with lsquo;lsquo;constant-length linksrsquo;rsquo; for the design of machine tools is less common than the type with lsquo;lsquo;varying-length linksrsquo;rsquo;. An excellent example of a lsquo;lsquo;constant-length linksrsquo;rsquo; type of machine is shown in [6]. Renault-Automation Comau has built the machine named lsquo;lsquo;Urane SXrsquo;rsquo;. The HSDM described herein utilizes a parallel mechanism with constant-length links.
Drilling operations are well introduced in the literature [7]. An extensive experimental study of highspeed drilling operations for the automotive industry is reported in [8]. Data was collected fromhundreds controlled drilling experiments in order to specify the parameters required for quality drilling. Ideal drilling motions and guidelines for performing high quality drilling were presented in [9] through theoretical and experimental studies. In the synthesis of the suggested PKM, we follow the suggestions in [9].
The detailed mechanical structures of the proposed new PKM were introduced in [10,11]. One possible configuration of the machine is shown in Fig. 1; it has large workspace, highspeed point-to-point motion and very high drilling speed. The parallel mechanism provides Y, and Z axes motions. The X axis motion is provided by the table. For achieving highspeed performance, two linear motors are used for driving
the mechanism and a highspeed spindle is used for drilling. The purpose of this paper is to describe new kinematic and dynamic synthesis methods that are developed for improving the performance of the machine. Through input motion planning for drilling and point-to-point positioning, the machining error will be reduced and the quality of the finished holes can be greatly improved. By adding a well-tuned spring element to the PKM, the input power can be minimized so that the size the machine and the energy consumption can be reduced. Numerical simulations verify the correctness and effectiveness of the methods presented in this paper.
2. Kinematic and dynamic equations of motion of the PKM module
The schematic diagram of the PKM module is shown in Fig. 2. In consistent with the machine tool conventions, the z-axis is along the direction of tool movement. The PKM module has two inputs (two linear motors) indicated as part 1 and part 6, and one output motion of the tool. The positioning and drilling motion of the PKM module in this application is characterized by (y axis motion for point-to-point positioning) and (z axis motion for drilling). Motion equations for both rigid body and elastic body PKM module are developed. The rigid body equations are used for the synthesis of input motion planning of drilling and input power reduction. The elastic body equations are used for residual vibration control after point-to-point positioning of the tool.
2.1. Equations of motion of the PKM module with rigid links
Using c
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高速钻床的动力学分析
摘要
通常情况下，术语“高速钻床”就是指具有较高切削速率的钻床。高速钻床(HSDM)也是指具有非常快的和正确的点到点运动的钻床。新的HSDM是由带有两个直线电动机的平面并联机构组成。本文主要就是对并联机器(PKM)的动力学分析。运动合成是为了介绍一种新方法，它能够完善钻孔操作和点到点定位的准确性。动态合成旨在减少因使用弹簧机械时PKM的输入功率。
关键词: 并联运动机床; 高速钻床; 动力学的合成
- 介绍
高速切削加工是一种先进制造技术，不同于传统加工方式。它的主轴转速高、切削进给速度高、切削量小，单位时间内的材料切除量却增加3～6 倍。它以高效率、高精度和高表面质量为基本特征，在汽车工业、航空航天、模具制造和仪器仪表等行业中获得了广泛的应用，取得了重大的经济效益，是当代先进制造技术的重要应用。长期以来，人们对模具的加工一直采用铣削一磨削或者电火花(EDM)加工、打磨、抛光的方法。虽然电火花可加工硬度很高的工件，但较低的生产率使它的应用受到制。随着高速加工技术的发展，采用高速切削取代磨削抛光和电加工进行模具加工已成为可能。使加工周期大为缩短，加工质量得到可靠保证，加工成本降低。
在最近的几年里，研究所和工业协会介绍了各式各样的PKM。其中大部分（但不是所有）,以众所周知的斯图尔特月台[1]为基础结构。这一做法的好处是高公称的负载重量比，良好的位置精度和结构刚性[2]。斯图尔特式PKM的主要缺点是相对小的工作空间和相对慢的操作速度 [3,4]。机床刀具的工作空间是指刀尖能够移动和切削材料所需要的容积。平面的斯图尔特月台的设计在[5]中被提到，像是对无CNC机器作翻新改进的方法需要塑料的铸模机制一样。PKM[5]的设计允许可以调整几何学已经被规定了的最佳的再配置的任何路径。 一般的，改变一根或较多连杆的长度是以PKM受约束的顺序来做几何学的调整。
在机床设计中，“定长度连杆”的PKM应用比“不定长度连杆”的共同点要少的多。一个优秀“定长度连杆”型的机器例子被显示在[6]。Renault-Automation Comau已经建造叫做“Urane SX”的机器。在此HSDM被描述成是一个采用“定长度连杆”组成的并联机械装置。
钻床操作在文学[7]中被很好的介绍了。汽车工业中，一项关于高速钻孔的操作的广泛的实验研究在[8]中被报告。数据从数百个钻床控制实验上收集起来，是为了具体指定钻床质量所必须的参数。理想的钻床运动和制造高质量钻床的指导方针通过理论和实验的研究被呈现在[9]中。在被建议的PKM综合中，我们遵循[9]中的结论。
新推出的PKM的详细机械结构在[10,11]被介绍，机器的大致结构显示在图1中；它有很大的工作空间，点到点的高速运动和非常高的钻速。并联的机械装置提供给了Y和Z轴的动作，X轴动作是由工作台提供的。为了达成高速的运转，用了两个线性马达来驱驶机械装置和用一个高速的主轴来钻孔。这篇文章的目的就是描述新的运动学的和动力学合成的方法的发展，为了改良机器的运转。通过输入运动，规划钻井和点对点定位，机器的误差将会被减少，而且完成孔的质量能被极大的提高。通过增加一个弹簧机械要素到PKM，输入动力就能被最小，以便机器的尺寸和能量损耗降低。数字模拟的正确查证和热交换率的方法呈现在这篇文章中。
2.PKM模型的运动学和动力学的运动方程式
PKM模型的概要线图在图2中被显示。由于机床刀具库的一致，Z轴是沿着工具运动的方向的。PKM模型有部分1和部分6二个输入指示(二个线性电机)，和一个刀具的输出动作。在PKM模型应用中，定位和钻孔运动分别通过 ( y 轴动作相对点到点的定位)和 (z轴动作相对钻孔)表示。刚体和柔性体的PKM模型运动方程式都被发展了。刚体方程式被用于合成输入钻床的动作计划和输入力量还原。柔性体方程式被用来在刀具点到点定位之后的剩余振动控制。
2.1.刚性连杆的PKM模型的运动方程式
机械装置[12]的特点是使用了数字集成,刀具设备(含工作台，主轴和刀具3部份)。它的运动学方程式的发展依下列各项。刀具的变位是
且
其中b是点B和点C之间的距离,r是连杆AB的长度(连杆AB、CD和CE的长度是相等的)。刀具的速度是
其中
刀具的加速度是
其中
PKM模型的动力学方程式的发展如方程（7）所示，使用了拉格朗日的第二个类型的方程式[13]。
其中t是系统的总动能；和是总坐标值和速度值;是总力对应到的的值。k是坐标系中总的独立数目。在这里,k=2，q1= y1和q2=y6，引出之后，公式(7)可被表达成
其中n是移动连杆的数目；是连杆i的大量惯性矩；是连杆i的质量中心坐标；是PKM模型中连杆i的旋转角。总力的值通过（9）决定
其中V是势能， 是没有势能的力。为了对PKM模型的钻孔操作，我们有
其中是切削力, F1和F6是线性马达在PKM上输入的力。情绪商数。公式(1)到公式(10)构成了刚性连杆PKM模型的运动学和动力学方程式。
2.2.柔性连杆的PKM模型的动作方程式
顺从的机械装置的动微分方程式能用有限的机械要素方法和以下的公式得到
其中[M]、[C]和[K]分别是系统质量，阻尼和刚性母体；{D}是在全球同等坐标系中的每个机械要素平移和旋转变形表现的总坐标值；{R}是总外力值，与{D}保持一致；n是坐标的总数目值(机械装置的柔性自由度)。在我们的FEA模型中，我们使用在图3中被显示的机械要素结构，其中EIe是弯曲刚性(E是材料的柔性系数,Ie是惯性矩),rho;是物质的密度,le是
机械要素的最初长度。是(x,y)坐标系统中表现的结点变位。机械要素的大众基地和刚性基地将会是66个对称的矩阵，能从动能和应变能中得到，表达在公式（12）和（13）中
其中t是动能，U是机械要素的应变能；是机械要素基本坐标系中线性的123456和角变形节。详细的推论能在[14]被发现。典型地，在有限的机械要素分析中，一个顺从的机械装置是被离散成许多个机械要素的。每个机械要素与一个质量和一个刚性母体有关。每个机械要素有它自己的基本坐标系。我们结合机械要素质量和所有机械要素的刚性矩阵运行坐标转换时，必须把机械要素的基本坐标系转换成世界坐标系，这就提供了系统质量[M]和刚性[K]矩阵。在一个顺从的系统中捕获阻尼特性不是这么顺利的。即使, 在许多应用中，阻尼可能很小，但是它能作用在系统安全性和动力的频率响应中，尤其在共振区域中,可能是重要的。阻尼基地[C]能被写做一种质量和刚性矩阵[15]的线性结合，构成比例阻尼[C]如下式表达所示
其中alpha;和beta;是二个通常由实验决定的正系数。一个表现阻尼基地的交互方法[16] 表达成[C]如下
机械要素[C]被定义为,其中,和是[K]和[M]的机械要素, zeta;是材料的阻尼比。
机械要素结构中的总力被定义为
其中和是的外力和力矩，包括在上动作的机械要素的惯性力和力矩,m 是在机械要素上动作的外力数目。机械要素的总力,组合构成了系统总力{R}。系统动作的第二次序普通微分方程式，如公式(11), 用一个数字能直接被整合的方法,就像是Runge- Kutta的方法那样。对于我们研究的PKM,每个连杆被分离成15个机械要素结构。Matlab和ADAMS软件都被用来规划和解决这些方程式。
3.为钻床输入动作计划
假如我们知道钻床理想的动作功能。高质量钻床的关键是如何决定输入电动机动作以便刀具的理想动作能被了解。创建明白的输入动作功能时也为机器控制提供了必需的数据。依照研究在[9]中所做的,钻孔的过程能分为三个时期: 入口期,中间期和出口期。为了增加生产能力和钻孔的质量，许多操作限制，例如最小刀具的寿命限制，孔位置误差限制,退出毛边限制,钻头扭转破坏限制等等，一定要考虑而且要满意。在这些条件之下，刀具的补给速度在入口期应该是慢的，以减少孔位置的误差。刀具的速度在出口期也应该是慢的，以减少出口毛边。在中央期,刀具的钻速应该很快速并且保持持续。刀具在完成钻孔之后的退回应该被做的尽可能的快，以增加生产能力。基于这些考虑, 我们采取了公式（17）中得到的理想钻床和刀具的退回速度。
其中是最大的钻孔速度，T1、T2和T3是分别对应入口期，中间期和出口期的时间。vT2是退回的最大速度。T4 、T5和T6对应的分别是加速的，持续的速度,和缩回操作时减速的时间。是一个单一钻孔的周期。用一个数字为例,我们打算利用钻一个25.4mm(1 在)深的孔，0.3s用来钻孔，0.1s用来刀具退回。设定T1=T3=0.06s,T4=T6=0.03s。在这些条件下，。图4显示了理想刀具运动的图解式。如果PKM中连杆长度r=500mm，在钻孔出发点时的角beta; =53 °，与理想刀具动作相关的对应输入电动机的速度显示在图5中。一般的，曲线装配方法能用来产生输入运动的函数，但是依照图5中显示的曲线形状，我们创建的线性马达速度函数详尽的显示在公式(18)中
其中。当按公式（18）计画速度曲线时,没有不同的曲线能被发现，通过图（5）中显示的曲线。公式(18)由四个旋轮线的函数和两个线性函数共六个函数组成。假如我们像公式（18）中描述的那样控制两个线性电动机就会有相同的动作,那么刀具钻孔和退回的速度将几乎是与在图4中显示的相同。 在理想的和真正的刀具速度之间的绝对误差在图6中被显示,图中最大的误差不足8mm/s,相对误差不足1.5%，在钻孔的开始和结束的位置,误差是等于零的。这
些小的绝对和相对的误差说明了输入动作的产生并且容易接受。这些已知的函数能非常简单被整合进PKM的控制运算法则里。
4.输入点到点的定位动作计划
为了在整个的钻孔过程中达到快速的和正确的定位运动,应该适当地计划输入动作，以便刀具尖端的剩余振动能被最小化。照惯例加速度运动函数在机床中能被普遍用来驱动轴的运动。虽然这种动作函数很容易被控制, 但是由于它在加速度中的突然变化可能引起系统的柔性振动。举个早先使用相同的PKM例子来说。 一个FEA模型是通过有机械要素结构的ADMAS建造起来的。定位动作是Y轴的动作, 也就是在同一方向上通过两个线性电动机的运动实现的。
假如在二个孔之间的定位距离是75mm,等加速度是3g(接近30m/ssup2;)。等加速度和减速度的线性电动机的输入动作在图7中被显示,其中最大的速度是 1500mm/s，定位时间为0.1s。 假定材料的阻尼率为0.01,则刀具尖端的剩余振动显示在图8中。
为了要减少剩余振动和定位动作的平稳,建了一个输入动作的六次多元函数如(19)所示
其中系数Ci必须是由刀具尖端的最小剩余振动决定的设计变数。选择接口条件为，时，其中是点到点的定位时间，就产生了最初六个系数如下：
合乎逻辑地,设立最佳目的如下
其中C6是独立的设计变数，是刀具尖端在点到点定位之后的剩余振动的最大变动。设定
并从C6=0开始计算，最佳导致C6=-10mm/s。因
此 。可以看见最佳化计算使得变数C6的设计到了极限。如果给c6深层的释放极限,那么目的将会在价值中连续减少,但是输入动作的加速度的最大价值将会变成太大。最佳化后的最佳输入动作在图9中被显示。对应的刀具尖端的剩余振动在图10中被显示。比较图8和图10，可以看到，在最佳化之后，振幅和刀具尖端的剩余振动被减少到了30次。较小的剩余振动将会对增加定位精度非常有用。这里应当注意，只有柔性连杆被包含在上述的计算之中。剩余振动在最佳化后将会仍然非常小，如果柔度是来自其他的来源，如压力和驱动系统，会比在图10中显示的结果高的10倍。
5.通过增加弹簧机械要素减少输入动力
减少输入动力是机床刀具设计中的众多考虑之一。对于我们研究的PKM,两个线性马达是使PKM模型做钻孔运动和定位运动的输入设备。在选择一个线性马达时要考虑的一个因数就是它需要的最大动力。PKM模型的输入动力是由输入力乘以二个线性的电动机输入速度决定的。省略接触处的磨擦, 输入力是通过平衡钻削力和连杆与主轴设备的惯性力决定的。增加一个能量储存的机械要素，例如加一个弹簧到PKM上，如果弹簧的刚性和最初的(自由的) 长度被适当地选择，或许能够减少输入动力。减小最大输入动力导致用比较小的线性电动机驱动PKM模
型。这将会依次减少能量的损失和机床的结构尺寸。一个线性的弹簧可以被把加到二个连杆的中央如图11(a)所示，或者在B点和C点加入两个减震弹簧如图11（b）所示。我们将会像举例子一样讨论线性弹簧来说明设计程序。公式（10）中的总力有以下形式：
其中和 k 是线性弹簧的初始长度和弹性模量。 线性马达的输入动力取决于
为了要减少输入动力，我们依下列各项设定最佳数值:
其中v是一个设计变数的矢量，包括弹簧长度和弹性模量。
对于我们研究的PKM模型,大量的数值在表1中被列出。 设计变数的初始数值被设定为。设计变数的范围被设定为，。PKM模型是通过公式（18）描述的输入动作函数驱动的。经过数值(24)的最小化，最佳的弹簧参数和k=14.99N/mm被得到。有优化弹簧的线性电动机
和没有优化弹簧的线性电动机的输入动力如图12所示,图中实线表示没有弹簧的
输入动力，虚线表示用了优化弹簧的输入动力。从结果中可以看出，
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