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Piezoelectric buckled beams for random vibration energy harvesting
用于随机振动能量采集的弯曲梁式压电俘能器
摘要
压电俘能器系统能够将振动能转化为电能，这一系统有着输出功率低、相应频率带宽窄等等的缺点，而对压电俘能器的局限最大的则是在于，在实际工作中的振动往往有着时间上随机多变频率上也是多变偏低的特点。而非线性的振动能量采集器则是具有相对更宽的响应带宽，并且可以灵活的改变其固有相应频率，能更高效地进行能量转换，特别是它在随机激励下的振动条件下的整体性能更高，因此比起传统的线性压电俘能器更具有吸引力。本文研究的是压电悬臂梁同时受到轴向压力作用下的情景，在这种情况下不会产生动力学中双稳态的磁力。我们进行了压电薄梁在宽带随机振动条件下进行轴向加载的情况进行了理论建模并进行了仿真研究。在研究中发现，压电梁在屈曲状态下在电阻负载大的情况下表现除了优越的发电性能，比未屈曲状态下的压电梁相比高出10倍以上，并且理论数值与仿真实验结果具有较好定性的一致性。(本文中部分内容可能只在网上期刊以彩色形式出现)
一、简介
因为超低功耗电子技术取得的突破，现在我们可以将环境中各种分散的能量转化为小型设备可用的电能进行供电。在各种各样的可再生能源之中，机械振动中的能量因为它具有功率密度大、在实际工作环境中非常丰富、通用性很强的特点被认为是最有前途的新能源之一。很多研究人员都研究过压电材料的振动能—电能转换[1-4]，这种材料可以以非常紧凑的大小规模来提供很高的输出电压。除此之外，压电俘能器不需要外部的电压源，可以适用在微机电系统（MEMS）上。但是在另一方面，传统的振动俘能器是基于线型的谐振器来工作的，它被局限在固有共振频率上下工作才能够得到最大的输出功率。要扩宽其相应频率带，最简单的方法就是增加阻尼，但是这种方法同时也会降低俘能器的最大功率。除此之外，如果将俘能器的尺寸缩小至几毫米时，其共振频率会达到千赫以上。因此，与微机电系统配套的线性俘能器在实际工作中的效率非常低[5-8]。在实际的工作环境中，振动的频率经常在几百赫兹一下，并且强度多变带宽宽。目前研制的智能俘能器能够在大频率间隔中具有高响应、自我校正的特性，并且能适应振动的可变加速度。一些研究小组研究了了将振荡器扩展为阵列，使它们的响应重叠来覆盖更广的频率范围的方法[9-11]。这种方法虽然使得俘能器的频谱扩宽了，但是却降低了能量密度。为了克服小小型振荡器的共振调谐问题，Leland和Wright[12]提出了一种可以利用轴向加载进行压缩来降低共振频率的可调谐压电振动能量采集器（VEH）。而其他的研究小组采用的方法则是进行频率转换[13，14]，这一方法可以通过各种方式实现，比如对机械结构进行频率校正或使用特定的磁耦合系统，但这些方法都存在这各自的缺点，例如频率依赖性与耦合损耗等各种问题。近些年来人们都着力于开发更加复杂的非线性系统来提高能量采集系统在各种不同应用场合与环境下的适用性。Jung等人[15]在提高通用性这一方面提出了一种有趣的新型能量采集器，这一采集器使用附着在细长弯曲梁上的共振悬臂梁。压电悬臂梁在屈曲后的两个平衡位置发生共振，即使输入的激励的频率不为共振频率，也能够使悬臂梁在固有频率下产生共振。Burrow和Clare[16]提出了一种非线性的电磁俘能器。最后本文作者研究了压电非线性Duffing振子在能量收集中的应用[17，18]，通过在压电悬臂梁上添加相反的永磁体来实现双稳态。其他的研究小组已经正式，双稳态的俘能器在周期激励[19，20]与远离共振频率的宽频带振动下能够表现出更好的输出性能[21]。如果加速度足够大时，惯性尖端质量就会在两个稳定位置之间来回跳跃，而线性构型会增强这种振荡。在双稳态结构中，振荡器按照这一特性有向更高能量的轨道运行的趋势。和线性的排列方式相比，在电阻负载中耗散的电功率放大了四倍以上，在特定的势垒高度下，出功率能达到最大值。该势垒高度取决于相反永磁体之间的距离与输入的振动的强度。在文章[18]中我们还进行了关于Duffing振荡器的讨论，并且由Erturk和Inmann[22]来进行测试，他们通过实验成功验证了相对于线性的共振结构，非共振压磁弹性悬臂梁具有更好的性能。此外，Stanton等人[23]还证明了可以通过装设有永磁体的压电梁在二次势场中产生的软化或硬化效应来增强宽带相应。目前的大多数Duffing型俘能器都是添加了永磁体的。然而在一些无线传感器网络的应用中，永磁体的磁场与传感器节点处电子器件之间会产生非常强烈的相互作用。除此之外，在微观纳米尺度下，俘能器内很难集成永磁体。因此无需外加磁场的双稳态能量采集器更为理想。Maurini等人[24]和Giannopoulos等人[25] 先前对压电弯曲梁进行了理论分析。本文的研究与他们的研究不同，主要的研究方向在于静态驱动工作模式上，而不去考虑随机的振动。Casals Terre等人[26]也研究了不涉及压电材料的双稳态快动作的微型系统。
在本项工作中，我们对压电弯曲梁的机械能-电能转化的响应做了研究，采用了屈曲结构成功实现了磁自由振动能量采集器的双稳态。本文通过理论和实验研究比较了这种压电股质量在线型与非线性动力区间的输出响应。
2、理论框架
2.1. 建模分析
我们设计的俘能器基于两端固定在振动台上受到垂直激励的压电梁，夹持两端的两个夹钳一个固定，另一个可以随着测微台一起移动。图1为压电弯曲梁的结构示意图。在这一示例中，压电梁由一块薄钢梁来支撑，压电材料粘结层宽度为b，每一处粘结有一层或两层压电材料，实验中我们假设这些压电材料尽在z轴方向上产生极化。如果要改变系统的动力学相应，可以在梁的中心增加一个惯性质量。在梁的两个表面上放置有两个电极，这些电极负责收集电流然后将电流送往负载。假设夹钳的支架只发生垂直振动，梁的总挠度为w（x，t），在第一近似中沿垂直方向电场主要来源于与梁的水平应变相关的机电耦合。因此，压电效应的本构方程如下[27]：
其中Tx和Sx分别表示机械应力和应变，Ez和Dz分别表示沿z轴的电场分量和电位移，表示恒定电场下压电陶瓷层的弹性刚度，和分别表示零应变下的压电耦合常数和介电常数。该结构的初始状态为夹持的一端不动，另一端向固定的一端移动适宜的距离L进行压缩。我们通过逐渐改变压缩距离L来探索从单稳态到双稳态的系统电动力学。
系统的分析模型根据Reddy[28]的一阶复合板理论来推导，在推导中认为压电梁是均匀的，并且在整个结构上具有恒定的惯性矩和刚度。为了推导梁的横向挠度运动方程，我们首先按拉格朗日函数计算。当夹钳所在的底座相对于地面以振幅y振动时，梁的总动能为钢垫片的能量与n个压电层的能量之和：
为了计算简单，假设对称双晶片压电梁Lp=L，w（x，t）是沿z轴的中面挠度，和分别表示钢垫片和压电材料密度，其截面积分别等于As和Ap。实际上，实验装置中压电层在x轴方向上不是连续的。在梁的中间部分留有一个间隙用来添加额外的惯性质量M0。最后一项为其动能，文献[29]对这一方程进行了综合分析。此外，电极仅在梁的两侧之一并联，长度Lelt;L。因此，在下文中，我们将不考虑自抵消机电耦合系数。沿x轴的应变，分别与沿x轴和z轴的中面位移场（u，w）相关，使用von Karm`an非线性关系计算[28]：
其中，应变方程中第一项与表示轴向面内力，第二项表示由弯矩引起的曲率。由于存在机电耦合，复合材料层合板的总势能包括弯曲能、对感应电场所做的功和外力所做的功。因此，总势能表示为
式中，V是组合梁的整个区域，W是施加在活动端部的外部压缩力P所做的功，由
式中，w表示挠度相对于x的导数。仅在后屈曲的情况下，上述最后一个积分非零。压缩荷载总是取大于临界荷载的Pgt;Pcr来实现屈曲。表示与临界荷载Pcr对应的侧壁压力的收缩长度。通过引入以下关系简化了方程（4）的操作：
其中Q（k）是平面内第k层应力折减刚度矩阵的第一个元素，对应于各向同性材料的杨氏模量。Np和Mp分别是压电耦合作用下的面内力和弯矩。第k层的位置由Zk表示。通过代入（4）中的方程（1）和方程（3）并使用方程（6）的结果
包含B的项在对称层合板的情况下消失，如这里所假设的。注意，应力硬化效应是由外部压缩力和残余压电应力Nr=A-Np引起的。对于细长梁，纵向运动与横向运动相比很小因此也可以忽略不计，可近似如下：
考虑到压电层为两层时计算方程（6）的结果为
式中，Is和Ip分别表示钢垫片和压电层的第二个惯性矩，用磁通链的时间导数来表示电场，在有源层串联的情况下，Ez=－－lambda;/˙2hp。压电弯曲梁的拉格朗日函数为：
在进行欧拉-拉格朗日控制方程的演算之前，我们有必要对振型的试函数作一些假设。首先是作为主导的系统在第一个屈曲模态周围的动态响应。梁相对于夹钳的底座的总挠度的定义为
式中，为梁的初始平衡形状挠度，=w（L/2，0）为t=0时中心点的高度，而v（x，t）为初始形状周围的与时间相关的挠度。根据Galerkin离散化，v（x，t）可展开为N个正交基函数的叠加
式中，ri（t）是模态配置的时间相关膨胀系数。因此，通过替换将等式（12）中的v（x,t）带入等式（11）并保留第一个模式，总挠度的方程可表示为
在等式（13）中，r1（t）表示初始屈曲形状附近夹紧-夹紧梁中点的随时间变化的位移。我们用阶梯函数处理压电梁的不连续性，以认为在每个均匀梁截面的边界处都具有连续性和相容性为条件，由此可得出固支梁的边界条件为w（0，t）=0，w（L，0）=0，part;w（0，t）/part;x=0和part;w（L，t）/part;x=0，振型函数取自先前的工作文献[28，30，31]。
如果只考虑第一种模式，并且将等式（13）带入拉格朗日函数（10）就可以得到得到：
其中带有上标点的表示关于时间的导数，如果将第六项用压电梁的等效电容Cp=lp/hp重写，并且用m，eta;，k0，k1，k2和k3分别表示有效质量，惯性力因子，压电耦合因子，面内压电力因子，梁的线性刚度和非线性刚度。可以得到这些参数的计算方法如下：
在等式（15）中，与时间相关的第一模态可以表示为：
，其中初始屈曲形状函数导致=（1-cos（2pi;x/L））/2。
在此阶段，可通过在（14）应用欧拉-拉格朗日方程来计算在单自由度情况下梁的中点垂直挠度的运动方程：
在式（16）中能量收集电路中的广义力和电流分别用F（t）和I（t）来表示。与（16）等效的电流将通过欧姆定律I（t）=--lambda;/RL来表示与有效电负载RL的相关。根据这一条件来计算（16）就能给出两个二阶非线性微分方程，中点的运动与电阻负载上的输出电压就能使用这两个方程联系起来得到式（17）：
粘性阻尼可以通过第一个方程中的第二项来进行计算。这里，我们可以注意到，与时间相关的变量并非完全分离的。当k1等于零时，方程可以简化为非线性压电悬臂梁的方程（见[22，17，19]）。除此之外此模型中的保偏力为Duffing型，而线性刚度参数取得是输出电压的函数。我们假设整条梁上都覆盖有有一个连续的压电层，则刚度参数k0可忽略。但是在我们实际上使用的实验模型中，压电梁上的电极只在梁的一侧进行连接，并且长度为Lelt;L。按照该模型参数k0和k1的取值范围是从0到Le。修正后在式（15）所有系数重新计算为
本文中一个重要的目的目的是对收缩长度为1L的随机基础激励的动力学方程进行求解，这一方程在实验中的未知压缩载荷P可以使用以下关系式用1L表示：
我们可以更进一步的用初始中点高度h0和屈曲位移db来表示1L，但是用这种表示方法显然只适用于梁后屈曲情况。Reddy[28]对这种固支梁的临界荷载进行了反向推演。在下面的章节中，我们将使用数值方法来求解后屈曲配置（17）中的运动方程，以便将它们与实验结果进行比较。
2.2. 势能分析
在这一小节中，我们设计了一个分析系统，这个系统类似于实验装置，主要是用来对屈曲梁在随机噪声激励下的主要动力学行为进行研究。在进行实际实验的系统中我们还会对系统的几何参数做进一步修正，这一修正将在第3节中进行论述。在表1中我们总结了实验与模拟中用到的主要模型的各项参数。我们首先考虑开路的情况，相对于中点的垂直坐标q的有效势能可以降至四次函数，并且由下方的式（20）确定：
我们把梁增加1L，相当于加载横向荷载P时，梁就会被压缩，使得刚度参数k2变为负值，势能的函数图像也就从一个接近平坦的抛物线变为双阱函数的图像。实验结果如同我们的预期，系统中表现为k2ge;0的Duffing振荡器，当压缩力较小（Ple;Pcr）或着张力方向相反即Plt;0时，双稳态振荡器（Pgt;Pcr）表现为k2lt;0。如图2所示，这一结果非常明显的表示了P-Pcr（或k2）改变自身的正负符号时，就会发生超临界分差。当k2ge;0且q=0时，系统以自然频率omega;20=（1/m）500 /q=0=k2/m进行振动。当k2lt;0时，四次电位会产生两个分别对应于稳定位置q-=－（| k2 |/k3）－1/2和q =（| k2 |/k3）－1/2的局部极小值。函数双井之间的势垒高度hb的值等于k22/2k3。系统的振荡取决于振动噪声强度，趋向于其极小值，并且不是会随着克莱默跃迁速率跳过障碍[32]。
在实际的实验模拟环境中，动态情况下的刚度系数k2主要取决于输出电压，系统的势能随着时间进行变化。另一个模拟实验与实际实验不同点是实际实验时梁只有一个压电层，此时表达式（7）中的B项非零，引起势能不对称，不过这种不对称性对电力输出性能的定性比较并不关键故不考虑。lt;
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