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起重机起升机构的动力学特性
L. CVETICANIN
技术科学学院，V. Vlahovica 3, 21000 Novi Sad，塞尔维亚
(1992年6月3日收到;1993年6月7日订正表格;收稿待1993年8月4日出版)
摘要:在现在这一篇论文中，我们考虑了起重机械起升机构的运动。这篇论文分析了当起升机构的质量不同时吊篮卸载载荷的过程。由于起升机构质量的不同，在吊篮卸载载荷的时候可能会出现反作用力。这篇论文研究调查了反作用力对于起升机构运动的影响。起升机构的力学模型是一个有可变质量和可变长度的单摆。这篇论文也考虑了一些特殊的案例：(i) 相对质量变化率是恒定的； (ii) 阻尼不同并且相关的长度变化率是恒定的而且存在风力。除了可能出现的常规的或非常规的运动，得到了机构参数的取值。这篇论文应用了梅尔尼科夫方法。
简介
运输机械的基本工作元件，例如起重机的基本工作元件，是起升机构。起升机构包含一个吊篮和一根绳子。起升机构提升或下降载荷。与吊篮和吊篮承载的载荷的质量相比，绳子的质量可以忽略不计。吊篮中的质量围绕着绳子的垂直稳定位置振动。振动是由质量的变化或绳子的长度变化或两者同时变化引起的，这取决于工作条件。对振动特性的研究对于该机构的适当工作具有根本意义:它需要消除弦的振动。
起升机构的力学模型是一个简单的变质量变长度的单摆。（见图1）
图1 起升机构模型
振动摆一直是许多学者研究的课题。本文[1]对这一领域的研究现状进行了综述。本文考虑两组摆:常参数摆和变参数摆。在论文的[2-4]考虑了变长摆的线性模型，在论文的 [5] 考虑了变质量摆的线性模型。这样考虑的缺点是线性化的模型与实际模型不一致。博戈卢博夫和莫雷普罗斯基[6]、内费和莫克[7]对缓慢变化质量和长度的摆的非线性振动进行了研究。他们研究出了获得具有小非线性和慢变参数的二阶微分方程解的渐近方法。很明显，在实际的起升机构中，不仅存在小的运动，而且存在大的运动。本文考虑了规则的和不规则的大运动。
在以前的论文中，大都假设质量变化没有影响，并且系统中的反作用力等于零。在一般情况下，质量变化会产生影响，并且反作用力是存在的。本文 [8] 将反作用力力引入到变质量单摆的运动分析中。假定反作用力力的大小很小。尽管反作用力的强度很小，但反作用力对系统的运动有重要的影响，并且不容忽视。正因为如此，在这篇论文中反作用力也被纳入考虑范畴中。值得指出的是，在实际起升机构的动力学分析中，往往忽略了吊篮的质量变化和绳子的长度变化。本文考虑了吊篮的质量变化和绳子的长度变化的影响。
起升机构的数学模型
时间变质量系统的运动微分方程为[8]
(1)
是系统的动能, 是系统的势能,是广义坐标(绳子和铅锤位置之间的角度), () ，为反作用力，Q为广义力，t为时间，d*/dt为对时间的微分过程，但是质量为常数。对于机构模型，运动的稳定平衡微分方程为:
(2)
其中l为绳子的可变长度，m为吊篮的质量，g为重力加速度。
由质量变化引起的反作用力为[5]
(3)
其中u是分离或附加质量的绝对速度，(u- v)是它的相对速度。
我们假设从基本质量中分离出来的质量的绝对速度u是竖直向下的。反作用力为:
(4)
风力和阻尼是影响起重机工作性能的重要因素。所以，相应的广义力是:
(5)
其中q(t)为长度单位的均布力，为阻尼系数。我们假设风力和单摆在同一平面内。所以，分析只是平面的。将(3)-(5)式代入(13)式，其运动微分方程如下所示:
(6)
为了简单起见，让我们引入无量纲参数:
(7)
l是绳子的初始长度，m是初始质量。其变换后的运动微分方程为:
(8)
在这其中 (
它是一个具有时变参数的二阶非线性微分方程。该方程的解给出了有关系统动态行为的答案。在一般情况下，众所周知，具有时变参数的二阶非线性微分方程是不可能找到具有解析形式的解的。只有在某些特殊情况下，这个方程才能得到解析解。让我们来考虑一下这些特殊情况。
很明显，是质量和长度的变化引起了系统运动的扰动。我们根据这些变化，来分析可能存在的运动类型是很有必要的。在起升机构工作的过程中最精细的工序是吊篮卸载载荷的时候。这样做的目的是使卸载尽可能正确。这意味着在卸载载荷的过程中，吊篮没有移动，即，变化是在衰减的。此外，卸载必须足够快。
起重机吊篮卸载载荷
通常有两种卸载方式:
(A)吊篮被一根绳子吊到较低的水平，然后卸载载荷。
(B)吊篮在下降的同时卸载载荷。让我们考虑一下这两种情况。
(A)起升机构用固定长度的绳子卸载载荷
用一根绳子把吊篮降低到一个较低的水平，然后开始卸载载荷。在那个时刻，绳子的长度是恒定的，但是质量是变化的。
忽略阻尼:让我们考虑忽略阻尼的情况。描述运动的微分方程是:
(9)
当质量变化是如下所示的情况时:
(10)
运动是:
(11)
其中和是初始条件。运动是非周期性的。在图2中，我们绘制了不同U值的0 - T图。从图中我们可以看到，振动幅值有增大的趋势:当速度U越大时，运动增大的速度反而越慢。
阻尼力起作用:让我们来考虑阻尼发生作用时的情况。假设阻尼是一个时变函数，并且满足如以下所示的公式所表示的关系:
(12)
对于质量变化而言:
(13)
在这个关系式中H是常数，为慢无量纲时间，E为小参数，然后式(8)经过变换成为:
(14)
让我们来考虑一下关系式(14)所描述的运动。首先，我们必须分析运动未受干扰的情况。由此可以得到同斜轨道和周期轨道。但是轨道会受到扰动。我们利用梅尔尼可夫准则就可以判断规则运动旁边是否存在不规则运动。
图2 不同卸载速度的O-T图
非微扰的情况:对于忽略摄动(c = 0)的情况，其运动微分方程为:
(15)
它对应于具有常数参数的摆的数学模型。同样值得指出的是，当质量分离相对速度为零(质量变化对起升机构无冲击)时，起升机构的运动与质量恒定时相同。关系式式(15)在很多文献中被广泛考虑。然后我们得到了系统的能量积分(参见参考文献[9])。
(16)
其中h为定义运动的常数:对于h gt; 2的情况，运动存在连续的旋转；对于h lt; 2的情况，运动存在关于悬挂稳定状态的振荡(图3)。振荡具有很强的周期性。众所周知，运动依赖于起始条件，即，位移的初始值及其时间导数，这两者共同定义了一个独特的轨迹。在图4中我们绘制了相平面图。从图中可以看出，分离曲线将振荡与旋转分离开来。该曲线可以表示为以下公式所定义的一对同宿轨道：
(17)
其中 v 。
显而易见，周期轨道存在于同斜轨道内。无扰动系统的周期轨道可以满足这种关系:
(18)
这些闭合的水平曲线是用椭圆函数来表示的，如下所示：
(19)
在上面所示的关系式中sn和dn为雅可比椭圆函数。
这种未扰动闭曲线的周期为:
(20)
在上面所示的未扰动闭曲线的周期关系式中，，或者如以下公式所示：
(21)
其中K(k)是第一类完全椭圆积分。
图3 一个单摆的振幅-时间图，它的质量在不同的起始条件下是变化的而不受影响
平面同斜轨道的摄动：应用基于同斜轨道摄动的梅尔尼科夫方法，我们得到了不规则运动出现的参数。关系式(14)的梅尔尼科夫函数为：
M= (22)
我们将关系式(18)代入关系式(22）：
(23)
在较低的轨道上：
(23)
如果梅尔尼科夫函数具有简单的零点并且独立于，那么对于当足够小的情况时，稳定和不稳定流形横向相交于[10]。它代表了混沌运动和小马蹄形曲线存在的一个条件。这个函数有一个简单的零点：
(24)
梅尔尼科夫函数具有简单的零点并且独立于是混沌运动和小马蹄形曲线产生的必要条件，但是仅仅满足这一条件还不够。
图4 质量不受冲击而变化的摆的相位轨迹
对于这一结果的讨论，我们得出的结论与肯海默和赫尔姆斯[10]关于弱恒转矩和阻尼的平面摆的论文相同。正如这二位学者的论文中所提到的那样，上同宿轨道存在于U = 0处同宿分歧点上一条与直线(20)相切的唯一曲线上。
在图5 中我们可以看到，不同U值的曲线被绘制出来。对于在图中位于曲线上方的参数值来说，它们可能导致起升机构的力学模型，即单摆，在运动时存在出现混沌运动的概率。
次谐波轨道的扰动。继上文所提到的非微扰时运动轨道的情况，接下来我们要探讨的问题是，是否有其它不变曲线在扰动存在的情况下，其自身可以保持不变。周期轨道由上文所列出的关系式(19)来描述。接下来给这个周期轨道引入扰动。我们建立了微扰系统的次谐波梅尔尼科夫函数：
M= (25)
利用上文的关系式(18)，这一次谐波梅尔尼科夫函数积分可以改写成为：
M= (26)
其中E(k)是第二类完全积分。(参见参考文献[11，12])。
图5 不同U值的曲线
对于h=2，关系式(26)可化为关系式(23)。对于这一结果的讨论，我们得出的结论与肯海默和赫尔姆斯[10]关于弱恒转矩和阻尼的平面摆的论文也是相同的。这意味着对于所有的U gt; 2都会存在一个h值，从而使得M(g, l, U, h) 恒等于零。由这一结果我们可以推断，扰动系统(14)也具有周期为Th的次谐波轨道。
图6 、以及的相位平面图
对于分离质量的绝对速度为零的情况，起升机构的动力学模型为：
(27)
是一个分岔值。在图6和图7中，我们绘制了、以及的相位-平面和振幅-时间图。
图7 、以及的振幅-时间图
当阻尼力是一个随时间变换而变化的函数时：让我们来假设阻尼是根据如下所示的关系式关系变化的：
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