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集装箱起重机的动力学：三维建模，全面实验和识别
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a罗马大学结构与岩土工程系 b谢菲尔德大学机械工程系
摘要
提出了承受风荷载的集装箱起重机的三维模型，并进行了全面的实验测试，系统识别和模型验证。将集装箱建模为一个刚体，该刚体从吊车上弹性悬挂下来，并沿着吊臂和大梁顶部的轨道运行。讨论了关于约束模型的差异，在约束模型中，电缆是不可拉伸的。在大型集装箱起重机上进行了实验研究，并将模态特性与阻尼系数一起确定为集装箱高度的函数。此外，在数值模拟和实验测试的背景下，都突出了由涉及了某些模式的大振幅振荡引起的非线性。通过将预测与实验结果进行比较，可以采用时间积分来验证机械模型。在研究三维起重机响应时，考虑了典型的工作机动以及风荷载的影响。
关键词
集装箱起重机 起重电缆弹性 3D集装箱振动 全面实验 起重机阻尼识别
1 介绍
集装箱起重机通常是在港口转运枢纽中用于货物运输的强大机器，其效率直接关系到起重机的有效速度，极大地影响了整个码头的生产率。为了在最小化工作时间方面优化起重机性能，在升降操作阶段对集装箱动态响应的准确表示是必不可少的。此外，港口通常位于多风地区，其特征是：阵风锋面的出现会影响起重机的工作效率，有时会危及工人的安全。因此，需要考虑风荷载对集装箱动力学的影响。如图1所示，集装箱起重机由一个铁路驱动的钢架塔组成，在其顶部支撑着一个吊杆和一个横梁，在整个码头上横梁的长度都可以变化。手动控制的推车可以沿着起重机吊臂上的导轨移动，并通过直接连接吊索和滑轮系统来操纵有效载荷（集装箱）进出停靠的船舶，而吊索和滑轮系统则位于集装箱顶部的吊架上。
图1 卡利亚里（意大利撒丁岛）的卡利亚里国际集装箱码头（CICT）的码头集装箱起重机
在文献中，关于集装箱起重机动力学的一些研究是可用的，并且提出了不同的建模方法（例如，具有弹性/刚性提升电缆的平面或三维模型）来研究其行为。在[1]中给出了这些模型的全面分类，并讨论了不同理论的应用和局限性。
轻阻尼集装箱起重机系统的动态行为可能很复杂，并且可能具有三维（3D）集装箱运动，在风荷载作用下还涉及偏航分量。其他激励方案可以通过不利地运行动作来表示，这会引起平面内和平面外的大振幅摆动运动。因此，基于平面运动假设，文献中经常采用的分析模型可能不足以描述集装箱起重机的真正3D动力学。而且，由于光阻尼，可能会在不同模式之间出现自参共振，从而导致不稳定的平面摆动运动变为更复杂的3D运动。因此，有效载荷的大振幅振荡必须在进行进一步的工作操作之前迅速衰减，因为这种情况可能会导致起重机自身结构损坏或对环境造成危害。
为了研究集装箱起重机的动态行为，近年来已经开发了几种模型，并提出了控制策略来克服由于不受控制的大振幅振荡而引起的潜在问题。最早在[2]中进行了集装箱起重机摆动的研究，其研究了简单悬挂物体的动力学行为，并对提出的理论进行了广泛的探讨。在同一工作中，提出了一种基于小车加/减速阶段运动编程的控制策略，并将数值结果与在比例模型上进行的实验结果进行了比较。
如在船用起重机中一样，还可能会因海浪运动而激发有效载荷振荡，海浪运动会引起船舶振荡，进而引起悬浮集装箱的振荡。在[3]中描述了波浪引起的振荡，其中研究了单一自由度（1-dof）的集装箱起重机模型的平面运动，并提出了一种延迟位置反馈控制器。还提供了可用的实验数据以验证数值结果。
在文献中大量采用的一维摆动模型不适用于描述集装箱起重机系统的复杂动力学，也不适合描述由起重系统引起的并影响集装箱运动的几何非线性。在[4，5]中提出了一种更精细的平面模型，其中提出了双摆，二维（2D）模型，并在笛卡尔坐标中提供了完全非线性的运动方程。通过在[6]中的一种非经典减振器，在[7]中的主动开环方法和在[8]中的使用可变桁架几何形状的模糊控制，平面摆式起重机模型也被用于研究有效载荷的振动控制。
在[9]中，解决了集装箱起重机中的间隔较大的电缆绕线配置的几何延伸问题，这种现象导致电缆拉伸分布不均匀和张力不均匀。在[10]中提出了对典型的多电缆悬架系统运动学的理论研究，其中展示了所有平移和旋转位移分量的完整分析推导。在[11]中，同一位作者说明了对橡胶轮胎式龙门起重机的动力学建模的必要步骤，并通过强调所选坐标之间非线性耦合的重要性来讨论了各种建模准则。[12]开发了一个悬浮集装箱的3D模型，其中描述了集装箱的运动，尽管没有提供关于风激励模型的详细信息，但也解释了提升缆线的可变形性以及侧风和集装箱重心不平衡等引起的干扰。
在[13]中进行了旨在研究由机械摩擦和空气阻力引起的非线性影响的数值模拟，并通过实验验证了结果。在[14，15]中，提出了各种摆式结构（例如龙门起重机）的建模方法，并通过强调模型对控制实现的计算意义来彻底检验了合适的控制策略。一种龙门起重机的1/10实验室规模模型在[14]中用于测试反馈线性化控制方法的性能，而在[15]中，对龙门起重机的单缆和多缆模型进行了讨论。
当起重臂的柔韧性有可能影响有效载荷振荡或无法忽略地震激励时，应考虑起重机结构（即支撑框架和起重臂）的动力学特性。在[16]中，还考虑了起重机结构的灵活性，研究了龙门起重机的动态行为；在[17]中，开发了六自由度分析模型来研究地震激励下集装箱起重机的行为。通过比例模型上的实验验证了数值结果。在[18]中建立了岸边起重机的有限元模型来研究起重机的动力学并确定其模态特性，表明对于特定的起重机配置，对集装箱振动的分析应考虑动臂的可变形性。在[19]中，通过对一台1/150起重机比例模型进行风洞试验，研究了集装箱起重机的风致振荡。在实验中，通过假设均匀的流动条件并考虑不同的风向来模拟位于港口的集装箱起重机附近的风环境。
在目前的工作中，提出了描述集装箱起重机动力学的六自由度模型。通过Euler-Lagrange方程[20]，获得了完全非线性的运动方程，其中考虑了台车引起的运动和提升电缆的长度变化（与典型的工作机动有关）以及风引起的激励。深入研究了涉及偏心载荷和初始条件激发的平面外模式的集装箱起重机的动态行为。首先在卡利亚里港的一台集装箱起重机上进行了全面试验，以确定主要的系统参数，例如起重机的整体阻尼，并进一步验证了线性和非线性特征方面的理论/数值预测。
2 非线性参数建模
在这项工作中提出的方法忽略了起重机支撑结构和悬挂式集装箱之间的相互作用。因此，集装箱运动仅受提升缆线的弹性几何特性、它们的几何形状和集装箱尺寸的影响。这种类型的建模的理由是动臂频率比有效载荷（集装箱）频率高得多。对于大多数集装箱起重机的配置，通常会发生这种情况。在非常特殊的条件下，可能会出现集装箱与动臂振动之间非线性相互作用的可能性。
如图1所示，岸边集装箱起重机是由垂直框架组成的结构，这些框架可以沿指定的方向在直轨上移动，在其顶部有一个桁架梁，该桁架梁可以相对于框架移动并改变其悬臂的长度，其悬臂是用来支撑悬挂集装箱的手推车的。动臂的长度，有效载荷（集装箱）质量及其在动臂上的位置控制着桁架梁在垂直平面上的动态行为。由于其几何特性，桁架梁在水平面内的变形可忽略不计。然而，尽管其频率与集装箱的摆动模式的频率可以很好地区分，但其在垂直平面中的可变形性较高。
在接下来的部分中，将获得非线性方程组，该非线性方程组控制受风激发的集装箱的动力学。将该集装箱建模为一个刚体，该刚体通过提升缆线弹性悬挂在可以沿导轨移动的小车上。该离散系统的刚度由几何部分和弹性部分组成，两者均取决于电缆的长度。在详细描述了用来定义集装箱运动的运动学参数之后，获得了系统的拉格朗日方程，并将其引入到欧拉-拉格朗日方程中。通过引入适当的约束，可以得到一个忽略电缆弹性的简化模型。与弹性支撑模型进行了系统比较。
2.1 三维有限运动学
通过考虑图2中给出的示意图，固定笛卡尔坐标系的原点()于吊臂的左端，与起重机未变形的动臂中心线共线，而指向向上的垂直方向。点和（i=1,2,3,4）分别表示手推车和吊具滑轮上的滑轮，以及它们相对于手推车中点（对于每个）和相对于集装箱质心（对于每个）的位置（见图3a），分别由向量和给出，定义如下：
其中体坐标()和()有他们各自的起点和。
图2 集装箱门式起重机的平面表示
图3 （a）集装箱起重机的参考配置和（b）当前配置
凭借在的起点，框架()在起重机的整体运动中是与坐标系框架共线的，滑轮位置矢量，其表示方法由等式（1）给出，可以写成，上述提到的向量组成部分和可以从表1中记录的手推车和吊具（参见图3a）的几何特性中得出。
表1 滑轮位置矢量的分量
集装箱起重机系统的当前配置，如图3b所示，在时间 中可以描述为集装箱质心的位置矢量和给出手推车中点的位置的向量。这些向量在坐标系（）中表示为:
其中代表手推车沿起重机吊臂轴运动的非平衡分量。根据图2和图3中报告的示意性模型，在代表初始条件时间处的手推车和集装箱位置假定为
因此，滑轮的位置和（i=1,2,3,4）可以分别表示如下：，。
为了确定集装箱刚体运动的转动，代表坐标（）方向变化的正交张量被引入。坐标的有限旋转可以通过不同的旋转顺序来参数化，例如，在刚体动力学研究中通常采用适当的欧拉角。但是，在目前的工作中，确定的旋转角度和被选出以获得旋转矩阵，其在附录中给出。
所选旋转角度（j=1，2，3）的直接结果是集装箱角速度矢量的分量，写作
其中满足关系（=1,2,3），并且虚线表示相对于时间的差异。
2.2 集装箱运动的另一种参数化
基于双摆系统中通常采用的自然参数化，可以引入一组不同的广义坐标。随后的运动学描述特别适合研究集装箱起重机系统的本质特征。
因此，自然坐标被选择用来获得导致特征问题公式化的线性化方程。
如图4所示，是手推车中点与吊具中点之间的距离，而和分别代表方向和垂直方向之间的在平面(）和（）上的角。因此单位向量和（）之间的关系由以下等式给出
通过引入向量和，公式以组成形式定义坐标的变化，变为
图4 起重机运动学的另一种参数化
2.3 运动方程
与有效载荷重量和动能K相关的势能V定义为
其中g是重力加速度，M是集装箱质量，在其体积中均匀分布，并且是第二质量矩的张量，其非平凡对角分量（=1，2，3）是相对于局部坐标轴计算出的第二质量矩。
假设提升缆索为笔直的弹性弹簧元件，则总存储能量可表示为
其中是第条电缆的张力，E是电缆的杨氏模量，A是横截面积并且每个电缆伸长量的非线性表达式可以写为
可以通过规定撑杆的垂直位置估算在时间处第条电缆的长度
因此系统的拉格朗日L可以写为
为了考虑非保守（耗散）力的影响，通过以下表达式考虑了与集装箱平移和角速度成比例的线性阻尼项
其中是阻尼比，而和是分别与平移和旋转分量相关联的第模式的自然圆频率。因此，通过引入广义坐标的向量，可以从以下公式获得六个运动方程
其中，对于时，，对于时，。
2.4 不可伸缩的起重电缆的约束模型
通过忽略提升缆线的弹性，集装箱的运动方程可以简化为文献中已知的形式（请参见[1，21，22]）。为此，将悬架元件建模为刚性杆，其在集装箱运动期间引起的张力作为反作用力引入运动方程。为了研究具有不可伸展提升缆索的集装箱的运动，引入了所谓的系统增强拉格朗日。通过让（=1，hellip;，4）表示被引入的以解决运动学约束（对应于电缆的不可拉伸性）的拉格朗日乘数，可将增强拉格朗日写为
其中的表达式
它代表了所给出的第条电缆的变形长度平方和初始电缆长度平方之差。
因此，可以通过相对于广义坐标微分增广的拉格朗日函数来获得刚性约束模型的六个运动方程,而四个约束方程记为 =1（对应于=0由等式（17）给出）可以通过区分La得出关于拉格朗日乘数，从而获得以下方程式：
等式（18），（19）代表十个未知变量（ =1，hellip;，6）和（=1，hellip;，4）中十个方程的微分代数系统（DAE），这些未知变量控制着集装箱的运动。
为了克服一些与DAE系统集成有关的数值问题[22]，对导致=0的代数约束方程（19）相对于时间微分两次，以得到由四个二阶常微分方程（ODE）组成的以下系统：
此过程实质上允许一个目标通过标准的时间积分算法去处理未知变量中的一个ODEs的系统。此外，受约束模型运动方程的微分代数性质要承担在时间=0时满足约束方程（17）的兼容初始配置的需要。因此，拉格朗日乘数的初始值可以通过从等式（18），（19）中得到的平衡方程来确定，并使用兼容的初始条件进行计算。
3 风荷载
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