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实用轻量化设计中混合材料的拓扑优化
Daozhong Li1 · Il Yong Kim1
Received: 12 June 2017 / Revised: 5 February 2018 / Accepted: 14 February 2018
copy; Springer-Verlag GmbH Germany, part of Springer Nature 2018
摘要
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现如今拓扑优化是进行轻量化设计的最有效方法之一，应用于各个行业以增强产品的可开发性能。典型的拓扑优化问题指出：当我们将设计空间限制为假定的体积分数时，将能够最大限度地减少系统的合规性。从传统单一材料的合规性问题到混合材料的合规性问题，不仅仅是增加了设计自由度,更多的是能够发掘潜在的有利解决方案。然而，合规性最小化对于实用轻量化设计有其局限性，因为合规性缺乏实用的物理意义，而且在工业中从来都不是参照标准来设计。此外，传统的合规性最小化问题提出要先推测出可选择体积分数约束；然而，设计师不知道材料之间的优化平衡。本文提出了一种更实用的混合材料的拓扑优化方法来克服了这些局限性。该方法通过在满足性能约束的同时能够最大限度地减少总重量， 以寻求材料之间的最佳平衡。本文还比较了权重最小化方法对合规性最小化的影响，通过几个数值例子证明了权重最小化的合理性以及它与合规最小化相比的存在的优势。 关键词：拓扑优化，混合材料，轻量化，质量最小化，刚度约束，SIMP(固体各向同性材料惩罚模型。SIMP：Solid Isotropic Microstructures with Penalization是一种常用的密度-刚度插值模型。 |
第一部分 绪论
结构拓扑优化(TO)是计算力学的一个快速发展领域，在2003年之前对这一领域的调查, 读者可参考Eschenauer和Olhoff的评论论文以及Bendsoslash;e和Sigmund的专著。Eschenauer和Olhoff概述了材料技术和几何技术的发展, 特别侧重于线性——弹性的二维和三维连续体的优化拓扑结构。Bendsoslash;e和Sigmund则统一介绍了连续体和离散结构的拓扑、形状和材料优化设计方法, 重点介绍了其技术和应用。Deaton和Grandhi最近进行的一项新的调查总结了2000年至2012年期间基于有限元的结构拓扑优化的新发展、改进和应用。
Bendsoslash;e和Kikuchi将结构拓扑优化问题转化为用均质化方法分析的“多孔”结构布局的问题。“均质化”这一概念的提出包含了多个方向的发展, 包括密度、水平集、拓扑导数、相位场、进化方法等。基于SIMP插值模型的固体各向同性材料的单材料拓扑优化 (SMTO)的技术已经成熟, 并能够适用于各种工业设计中所存在的问题。Cristello和kim同时考虑了碰撞过程中的质量、减速和可制造性,设计出用于零排放车辆先进的梯子框架底盘。Li和Kim分别进行了拓扑、形状和尺寸优化, 以减轻汽车发动机支架和横梁的重量。Kim 等人通过拓扑优化的方法来完善壳体结构中的优化阻尼布局。为了减少计算费用, 他们提出了一种新的有效收敛准则: 可重构设计变量法。Kim和Kwak提出了一种数值设计延续方法, 以改善优化过程中的设计空间。还有很多关SMTO的水平集方法的论文，Guo等人采用XFEM(扩展有限元法)的水平集方法解决SMTO应力相关的问题。Luo 等人将半隐式方案应用于水平集方法,来避免任意时间步长的限制, 并通过添加耗时的初始化过程, 降低收敛到局部最小值的概率。尽管采用了水平集算法的等高线对几何图形进行清晰、明确的定义, 但仍有一些问题需要解决，例如：收敛速度慢、振荡、局部极小值和初始猜测的依赖性。
与SMTO不同, 混合材料拓扑优化 (MMTO) 是一个活跃的研究领域。MMTO中的一个典型的SIMP材料模型则考虑了三种材料: 两个实心的和一个空心的。Hvejsel和Lund提出的广义SIMP材料插值方案, 则适用于具有给定特性的任意数量的预定材料。这种混合材料MIMP方法作为离散材料优化(DMO)方法的进一步扩展，以及设计具有极端热膨胀和体积模量的材料。Sig-mund 通过解决重量限制的最小合规性问题, 将DMO应用于多物理场执行器的设计，DMO方法也可用于层压复合材料结构或吸能结构的设计。Stolpe和 Stegmann采用牛顿方法来解决混合材料的最小合规性问题。最近, 通过对混合材料SIMP方法进行了改进,解决了连续体中几种双模量材料的布局优化问题。Li和Kim将对汽车轻量化的研究从SMTO扩展到MTTO，为了能够用密度方法减少MTTO中的设计变量的数量，Gao等人提出了一种双值编码参数化方案。Yin和Ananthasuresh利用峰函数来表示具有峰值的不同材料； Zuo和Saitou采用有序SIMP插值的方法对具有分段函数的偏振材料进行了插值。Bruyneel也提出了一种新的基于形状函数的参数化方法。
除密度方法之外,水平集方法也可应用于MMTO。Guo等人介绍了MMTO的基于水平集的一个解决方案框架，Wang等人提出了拓扑结构和形状优化的混合材料水平集模型。Wang提出了一种多相材料方法, 即“颜色”级集, 通过创建M级集函数来表示2M材料相的结构, 从而消除了材料插值或相位混合方案中的问题。Hilchenbach和Ramm研究了多相结构损伤中的非线性材料行为，Zhuang等人用水平集方法解决了MMTO的热传导问题，Wang等人将多相调平方法应用于弹性材料和热弹性材料使之进行优化，Vermaak利用水平集方法研究了单调和非单调性质变化的材料界面。Ramani提出了一种基于伪灵敏度的混合材料插值和水平集方的离散变量方法, 该方法采用有限差分近似计算的伪传感器,并不分解频率矩阵。基于相域方法的MMTO论文比采用密度法和水平集方法的研究要少一些。相位场方法是基于Cahn-Hilliard方程，Zhou 和Wang介绍了多相材料的一般方法，Tavakoli和Mohseni在115行 matlab代码中针对多材料问题实施了另一种活性相 Algo-rithm。相位场方法的主要缺点是收敛速度慢，即使对于简单的学术模型, 通常也需要数千个叠代来找到合适的拓扑结构。
大多数TO论文(密度法和水平集方法)都采用了符合性最小化方法, 因为它具有良好的数值性能而且可以简单的实现。SMTO合规性最小化问题在于（1）以及 MMTO合规性最小化问题在于（2）。
（1）（2）
其中C是合规性；f是外力矢量；u是位移向量；Ve是e-th元素的体积；Vmacr;j 是材料的体积分数限制；M材料完全是M约束；K是全局刚度矩阵。如问题（1）和问题（2）所示, 最小合规性问题的约束将与材料的数量成正比，对于优化问题, Vmacr;j也是至关重要的限制，优化的解决方案在很大程度上取决于这些重要常量的选择。传统的合规性最小化概率问题要求先推测出可选择体积分数约束；然而, 设计师们并不了解材料之间的选择平衡。从实际设计的角度来看,合规性也缺乏有用的物理意义。行业中很少有公司 (如果有的话) 会把合规性作为设计标准。相反, 他们希望最大限度地减少重量。通常情况下,工业中把重量作为微型化的标准目标函数，同时受刚度约束。对重量最小化的MMTO的研究是有限的。只有一些关于SIMP MMTO的论文, 最大限度地减少重量: 例如,Mirzendehdel等人将合规性和权重都视为两个相互冲突的目标, 并应用Pareto优化的方法来找到最佳的设计方案。据我们所知，目前还没有能够通过水平集方法来求解MMTO权重最小化的问题，在基于密度的拓扑优化研究中,将MMTO重量最小化与MMTO合规性最小化作比较。
因此, 本文的任务是：1）以最小重量为目标函数, 以位移为约束。2）证明在实际应用中, 最小权重优于合规性最小化。在权重最小化和合规性最小化的比较中,选择了刚度约束, 以便优化后的结构在两个问题声明中具有相同的符合性值 (相同的全局刚度)。在比较中,权重最小化可以提供更轻(或相等)的设计, 这一点在本文的数值研究中得到了证明。此外,通过比较MMTO和SMTO在相同的刚度约束下的重量最小化，因为MMTO有更多的设计自由度，所以MMTO从来没有设计出比SMTO更重的结构。
第2部分解释了混合材料插值理论。第3部分定义了权重最小化的问题，推导了响应和灵敏度。然后,在第4部分中比较了不同的棋盘滤波器,并对无棋盘解决方案进行了改进。第5部分介绍了使用MMA(移动不对称方法)的数值例子,以证明MMTO权重最小化方法相对于SMTO和合规性最小化的好处。最后，第6部分总结了MMTO权重最小化方法。
第二部分 混合材料插值理论
在密度方法中, 设计变量 (即所谓密度)使用插值函数确定“多孔”材料属性。我们所了解的SIMP方法则采用功率函数作为关系式（3）
E(1,2)(rho;1) = (rho;1)pE1 (1 minus; (rho;1)p)E （3）
其中rho;1 isin; (0, 1]是人工密度；E(1,2)是两种材料的插值弹性模量；E1和E2是两种材料的原始弹性模量；p是惩罚中间密度的惩罚因素。特别地，SMTO使用E2 = 0,
W 2 = 0来表示空。公式（3）可以扩展到三种材料：
（4）
M材料的SIMP方法要求(M-1)的设计变量(void被认为是一种特殊材料)，也就是说,材料模型是(M-1)维向量的标量函数。SIMP 中M材料的有效弹性模量可表示为（5）。
（5）
其中E(j) 是J-th材料的原始弹性模量；E(1,··· ,M) 是插值弹性模量。M材料SIMP重量插值方程用（6）表示：
（6）
其中的rho;j 是J-th的标称密度；W(j) 是用J-th材料填充的元素的原始重量, 它是通过元素体积和J-th材料的物理密度的乘法获得的；W(1,··· ,M) 是插值元素的重量, q是像 p一样的惩罚因素。虽然qgt; 1可以用于(6)中用来惩罚中间密度, 但许多论文以及我们的数值和例子可以证明q=1也是足够的。因为在大多数情况下,中间密度的元素数量很少。因此在本文中, 默认情况下,我们把q=1用于权重。
图1说明了三种材料(两个实心的和一个空心的)的杨氏模量和重量的插值，这种混合材料插值理论是更新材料性能的基本技术。通过材料插值，可以计算出MMTO问题的目标、约束和灵敏度，从而通过优化算法解决MMTO问题。
图1 传统的MMTO SIMP方法元素的杨氏模量图和重量密度图
a）杨氏模量 (MPa) 和 b）重量密度 (kg/mm3)。在计算中, p = 3，E1 = 210 Gpa，E2 = 70 GPa， W 1 = 7.8 times; 10minus;6 kg/mm3，W 2 = 2.7 times; 10minus;6 kg/mm3
第三部分 MMTO（混合材料的拓扑优化）问题
在本节中, 我们首先定义权重最小化问题, 然后从一般表达式中推导出响应和灵敏度。
3.1 重量最小化问题的定义
位移是典型的刚度指标之一。在（7）中定义了受一个位移约束的总重量最小化。
（7）
其中W是总重量；We是e-th元素的插值权重； rho;包含所有设计变量 (标称密度)；rho;e 包括 e-th元素的设计变量 (标称密度)；um 是一个位移分量；umacr; m是相应的极限,始终是设计的规范。
与（1）和（2）不同的是,重量最小化问题（7）不需要体积 (或质量) 分数限制。其次,问题（7）的制约因素不会随着
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