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未知环境下的机器人力跟踪阻抗控制
摘要：在这篇论文中，一种新颖简单稳定的力跟踪阻抗控制框架被提出，它据有跟踪一个特定的期望力的能力而且能适应未知的环境未知和刚度而且同样适用于基于机器人动力学模型的阻抗控制。通过鲁棒性的未知控制算法来补偿机器人动力学的不确定性。在机器人与环境接触后，在力的可控方向，新的阻抗控制方程的实现是基于一个期望力、环境刚度和一个位置偏差。新的阻抗方程是简单而稳定的。力误差通过用一种自适应技术来使它最小化。通过执行一个稳定的力跟踪来分析自适应算法的稳定性和收敛性。使用三连杆旋转机器人操纵器的模拟研究证明了在机器人动力学中不确定性下所提出方案的鲁棒性，以及对环境位置和环境刚度未知。实验结果用以确认所提出的控制器的性能。
关键词—力跟踪、阻抗控制、鲁棒机器人控制、不确定性、未知环境
1简介
力控制是现在已知的一种用机器人去操纵其他物体的复杂控制算法。特别地是，当机器人和环境交互时，在跟踪目标轨迹时期望力应该被维持。典型的力控制应用是在孔操作，去毛刺，研磨，人机交互等等。即使应用力控制技术的需求在持续增加，很多问题仍需被解决。
阻抗控制是具有混合力位控制的文献中的主要力控制算法之一。阻抗函数通过力和位置/速度误差之间的关系实现的[1]-[4]。经过Hogan的阻抗控制的开拓性工作之后[5]，阻抗控制的几个主要的研究问题需要被解决。第一，由于未知的机器人动力学模型的不确定性，位置跟踪误差应该使他最小。第二，为了有力跟踪的能力，期望力应该直接被控制。第三，控制器必须具有足够的鲁棒性去处理未知环境刚度和位置。那些不确定性的发生主要是因为不精确的机器人动力学模型和未知环境特性诸如位置的位置和环境刚度。
在阻抗控制架构中，付出了很多努力去解决这些问题。为了稳定的任务执行，接触稳定性已经有所分析[6],[7]。基于线性模型分析力控制[8],[9]。除了这些努力，各种控制算法已经被提出。Lasky和Hsia[10]提出内外环控制组合,其中机器人动力学不确定性通过一种鲁棒位置控制算法在内环中补偿掉，同时估计的环境位置通过运用一种对力跟踪误差积分控制来改善。提出了考虑位置误差和力误差之间的一般动态关系以处理未知环境刚度的广义阻抗控制[11]。力跟踪误差的自适应技术已经被提出
用以估计环境刚度或调整控制器增益来补偿未知的环境刚度[12]-[14]。作者提出一种简单轨迹改善架构用在机器人控制器上去补偿机器人动力学不确定性如[10]并且环境刚度被接触力信息取代[15]。随后的分析显示总是不能保证精确的力跟踪总是不能保证，除非估计环境位置的准确度在某一界限内[16]。有学者进一步研究提出一种智能力控制算法运用了神经网络算法来补偿不确定性[17]-[19]。模糊神经网络技术也被应用在对未知物体的力控制中[20]，[21]。自适应技术用在使力误差直接减到最小[22]。
本文的目的是提出一种针对力跟踪阻抗控制算法简单的解决办法，它是对机器人动力学模型、环境位置和刚度的不确定性是鲁棒的。主要的想法在跟踪未知环境时通过运用一个简单的自适应系数直接使力误差最小化。该算法不需要环境刚度信息。提出的控制规则很简单所以能轻松地运用在实际机器人控制系统中。
所提出控制算法的稳定性和收敛性都经过了分析。对执行稳定力跟踪的自适应系数的界限已找到。仿真分析结果证明理论分析。对三自由度机器人的控制扩展仿真研究的实施证明在不确定的机器人动力学，环境位置和刚度下的鲁棒性。通过PUMA560机器人的实验结果证实了控制框架的性能。
2阻抗控制
自由度控制器在关节空间坐标下动力学方程的描述是：
其中向量分别是关节角度，关节角速度，和关节角角速度；是对称正定惯性矩阵；是科氏离心力向量；是重力力矩向量；是的驱动关节力矩向量；是外部干扰力矩向量。
为了简化，我们让所以可以被写成：
相当与笛卡尔空间下的：
其中，和 和 是雅克比矩阵而且必须是方阵和可逆的。
在大多数实际情况中，准确的 是未知的。因此只有名义上估计出的机器人模型可以应用于控制器的设计。
基础的阻抗控制概念是通过设定阻抗参数的适当增益来调节力和位置的关系。对与 的阻抗控制律表示为
其中和是对 和，是和环境的接触力。
控制的输入 表示为
其中 是分别是的期望惯性、阻尼和刚度增益的对角对称正定矩阵。是参考末端点轨迹，它决定于环境位置、刚度和期望的接触力。
结合-得出闭环控制跟踪误差的等式
其中，， 。在理想情况下，而且，同时参考轨迹是已知的，闭环机器人满足目标阻抗关系
其中是等价与期望力的。由于总是存在不确定性在机器人动力学模型中的理想目标阻抗关系一般不能实现。因此，基于力的阻抗控制在实践中是不具有鲁棒性的。
另一个问题是为了我们设计参考轨迹以实现期望的接触力而提前精确地知道环境刚度的困难。这些困难会在下一章的力跟踪阻抗控制中解决。
3力跟踪阻抗控制
所提出的控制流程图如图 1所示。
图 1力控制和鲁棒位置控制算法
将中替换为，从其中中减去期望力可以得到新的阻抗控制方程
其中当时 ，是环境位置。
为了简化，我们认为力只施加在一个方向上。用分别代替，因此变成了
其中。
我们提出一个分为两种情况的控制算法：第一种情况是自由空间控制，当机器人去靠近环境时；第二种是接触空间即当机器人的末端执行器和环境已经接触的情况。在自由空间下由于可以得出控制律：
我们注意到如果期望力在被设置成零，当环境位置是已知时，机器人会恰好和环境接触。期望力在中用作使机器人能够对环境施加力的驱动力。
在接触空间，对阻抗控制细致的调查研究表明使刚度系数为0会满足理想稳定的情况在对于任意的。所以提出的控制律是在刚好接触时设置刚度增益在控制的力方向上，那样会得出
然而，刚度增益将不会在位置的控制方向上改变。通过代入可以得出接触空间下的阻抗定律
我们可以看出是逐渐稳定的。即使在实际中是不知道的，合适的增益基于大致的可以选择出来承受中一个良好的瞬态反应。因此，我们提出的阻抗控制方程是简单的，稳定的而且鲁棒的在未知环境刚度的情况下跟踪力。
4自适应阻抗力控制
考虑到实际情况下我们会面临一个不准确的环境位置的估计值 然后令其中是不确定的。定义，那么将替代在和中得出
（free space）
（contact space）
其中是环境位置的不准确性，它可以通过控制设计者定义。对于自用空间运动，我们之前的分析已经显示当时机器人控制器可能不一定和环境产生接触[16]。另一方面，当时机器人和环境肯定接触。因此，我们应该总是过估计环境位置 使去确保接触。
在接触空间，我们能轻松显示实现了准确的力跟踪，如果环境是一个平面，其中是一个常量而也是一个常量且满足，在这种情况下可以表示
因此，稳定情形下。然而当是随时间变化的，力跟踪误差会出现。例如，当和/或是一个斜坡函数时，力跟踪误差会是有限的稳定的；和/或是一个抛物线函数时，力跟踪误差会变成无限大。
所以，我们提出新的自适应阻抗控制公式
（contact space）
这里，是通过力误差在线调整的。提出的简单的自适应规则去补偿
其中是更新律，是控制器的采样周期。
在接下来的章节中，我们会显示阻抗控制算法和是稳定的而且力跟踪误差是0。
5自适应控制策略的稳定性和收敛性
当自适应规则被应用于控制环，需要确保新的控制规则是稳定的。结合和得出
由于，我们可以表达
减去 后的瞬间力误差公式
定义，并重新表示
考虑Omega;的k个元素
我们假设初始Omega;是0，所以 。结合和得出
定义力出现的原因是估计的环境位置即。那么，变成
其中。
对拉氏变换后
这里有一个延迟 ，稳定的系统能通过的方程的特征保证
如果，其中 并且k被假设为一个很大的数，那一系列的加和可以表示为
将代入得出
当采样很快时即，延迟期可以被估计为 通过泰勒展开。通过泰勒展开得到新的
为了稳定性，构造Routh-Hurwitz数组
然后找到了以下的条件：
由于 。
为了满足稳定的条件， 应该满足以下约束条件
为了收敛，我们研究了的稳态误差
当输入是一个阶跃函数 。这意味着输入阶跃信号时会变为0
因此，当。实际的力会向期望力收敛。
6鲁棒位置控制算法
鲁棒位置控制基本的思想是用前面的信息去抵消高度复杂的不确定性[23]。我们写出机器人的动力学方程
其中 和是估计的。
选择控制律
通过，能写成
这个想法不能实际应用，然而由于和的数值是不可取的在时间t。所以建议使用延迟的采样和。新的估计值定义为：
延迟采样的和能轻松地存储在每个采样周期。
现在，控制律变成
和
其中，是雅可比矩阵。
通过阻抗控制律， 可以通过下式得到
控制律变成
对于鲁棒性位置控制算法的稳定性，我们定义控制延迟采样时间造成的输入误差来自和：
其中。从式和控制输入误差在接触空间在闭环函数中有以下关系：
由于定义了力误差系统的左边部分是趋于稳定的通过前面章节的结果。只有一个概念对稳定性就是的边界是是有界的。由于是有界的，BIBO稳定性可以达成，如果误差能显示如同文献[23]中证明的稳定性。
利用和，我们得到
其中
代到中得出
整理得
在离散的情况下可以写成
其中，被看作一个力的
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