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简单直钢丝绳的有限元模型
机械工程系，生物医学工程系，阿克伦大学，阿克伦，OH 44325-0302，美国
摘要
提出了一种简单的直线钢丝绳的单元模型，其允许研究所有的可能的线间运动。 接触条件在纯轴向载荷和轴向载荷作用下的作用弯曲研究。 与实验和理论数据对比，该模型证明是可靠的。 看起来，线间枢转和线间滑动分别控制电缆响应轴向和弯曲载荷。 此外，枢转可以被认为是自由的。 最后，弯曲对线张力的影响研究。 2000年Civil-Comp有限公司和Elsevier科学有限公司保留所有权利。
关键词：有限元模型；简单直链；线间运动；牵引；弯曲
1.引言
钢缆在1836年在哈茨山脉的德国矿山中使用。从那时起，它们已经广泛应用于许多不同的应用，特别是桥梁和预应力结构。 这就是为什么他们构成土木工程的自然研究。 例如在法国，使用两种主要类型的电缆：螺旋线（图1），其由缠绕在直芯上的几层螺旋线组成，并且平行线束（图2），它们是平行绞线组[1]。 前者特别适用于悬索桥后者专用于斜拉桥和预应力结构。 所有这些电缆的基本元素是一个简单的直线，由芯和一层螺旋线制成。
除了负载下电缆的响应，对电缆设计至关重要的一个标准是疲劳性能，由电线之间的接触和摩擦条件密切地影响。 磨损现象是已知的驱动电线中裂纹的起始阶段，这个阶段代表了电缆的大部分寿命[2,3]。 进行得很好循环实验是获得关于电缆疲劳特性的可靠数据的通常方法，但它们采用
许多时间和它们的成本，在许多情况下是很困难的。
由于对预测电缆行为的日益增长的需求，已经建立了电缆的几个理论模型。Hruska的开拓性工作[4plusmn;7]可以追溯到早期的经验。作者为钢丝绳制定了一个简单的理论张力和扭转，考虑到线仅经受纯拉力并忽略夹紧条件。因此，他没有处理实际接触应力。从那时起，许多作者（Costello [8]，后来，Utting和Jones [9,10]）采用了一种更基本的方法，这种方法来自Love-Kirchho的理论[11]。它们将每根电缆作为螺旋弯曲的杆，但是相对于电缆几何形状或线间接触做出了不同的假设。事实上，Utting和Jones的分析包括接触变形和摩擦效应，而在科斯特洛的这种现象被忽视。不同的理论产生的结果，仍然接近实验值提出的Utting和Jones[9,10]，但实际相对位移和电缆内的力仍然是打开的。
图1。螺旋链（从参考文献[ 1 ]）。
考虑多层股线，Hobbs和Raoof [12]引入了一种相当不同的方法每个层的特性，包括内摩擦现象，均匀化。 在这个有趣的观点，线层被建模为正交各向异性的圆柱形片，其在每层中需要大量的线，这是为什么这个模型特别适合多层股线，而不像弯曲杆模型那样精确预测简单直线的行为，如7线股[13]
在七十年代初，Carlson和Kasper使用有限元法来研究电缆[14]，他们构建了铠装电缆的简化模型。然后，Cutchins et al[15]讨论了阻尼的研究隔离器和Chiang [16]模型的一个小长度的单股电缆的几何优化目的。这些模型使用标准体积有限元，这不适合于研究所有的线间运动（旋转和位移），并且由于电缆的精确建模需要大量的元件，计算成本昂贵。为了降低计算成本，Jiang et al[17]提出了一个简明的有限元模型用于使用三维实心砖元件的电缆，其从结构和负载对称性中获益。该模型考虑了张力，剪切，弯曲，扭转，接触，摩擦和局部塑料的组合效应在轴向加载的简单直线中屈服，但不能归纳到弯曲的情况或更复杂的情况装载。为了扩展有限元模型的应用范围，Durville [18]设计了一个特定的有限元元件用于具有线间摩擦和线横截面变形的大扰动中的电缆。但是，在作者的认知里，没有实验验证的模型是可用的。
对于弯曲的特定情况，现有模型或多或少基于简化的假设。 一般来说，轴向和弯曲问题是分离的，除了确定线间压力的事实通过轴向加载。 在大多数研究[8,19,20]，虽然这样的假设应限于弯曲在滑轮上的电缆，出于简单的原因考虑圆形弯曲。 此外，整个电缆弯曲常数取为每根构成线的弯曲刚度的总和[8,21]。 虽然有几种类型在整个文献中研究了负荷，从终点[8]到均匀静水压[22]全局和局部行为预测仍然是一个开放的问题[13]。
令人遗憾的是，与简单直钢丝绳绳索的测试相关的实验值很少在文献中报道，除了Utting和Jones的论文[9,10]。 这样的数据将是非常感兴趣的检查数值程序。
图2。平行线束（从参考文献[ 1 ]）
在这种情况下，我们开发了一个特定的有限元模型，其中考虑了每一个可能的线间运动。研究电缆的疲劳寿命，接触力和线间运动的知识确实可以作为起点。 由于我们认为实验验证是必不可少的，我们已经限制了我们的有限元模型的应用到文献中可用的简单实验。 然而，复杂显然可以使用经过彻底测试的有限元模型来研究载荷。
本文的组织结构如下：首先，我们提出我们的电缆建模，其中每个线被单独研究。所有可能的线间接触情况被列举和研究，如滑动，滚动和枢转可能发生。我们将详细说明如何考虑它们。一个变分，然后一个元素（FE）公式的问题提出。其次，解决了轴向载荷的问题。线间相关性的分析通过数值测试来进行接触情况，以便预测哪个线间运动真正驱动绞线行为。然后我们将我们的结果与理论和实验数据进行比较，以便得出一些结论简单直链在轴向负载的响应。在第三部分，我们将研究经受轴向的股线加载和弯曲。将研究驱动电缆在弯曲中的行为的线间运动。最后，将分析关于在端子处的电线中的拉伸力的分布上的弯曲的不确定性。
2.符号
1.向量可以用粗体符号表示或者用｛···｝，矩阵可以用粗体符号表示
或者[···]
2. MT表示M的转置矩阵.
3.二阶张量用双重杆表示
4.交叉乘积用and;表示，标量积用表示
5.函数的导数f与它对应的变量x用df/dx或者fx表示。一份文章不同变量用不同的符号来定义。
3.链模型
3.1. 线条几何：假设
本文所研究的电缆是一种简单的直的钢丝绳股绳，由一层圆形的钢丝组成半径Rw螺旋地缠绕在半径为Rc的中心圆形直线（芯）上（参见图3）。 研究是基于以下假设：
（a）只讨论电缆的静态特性。
（b）位移和应变应小。 这个假设被认为是合理的：Velinsky [23]表明线性和非线性理论的结果在通常的实际负载范围内非常接近。
图3。简单直股钢丝绳
（c）线材由均质，各向同性和线性弹性材料制成。
（d）对于每根导线，最初垂直于导线中心线的截面在变形后保持平面。 这个假设是真的，特别是远离终止的时候。
（e）忽略线径和接触变形的减少。 Utting和Jones已经证明了这一点在轴向负载中，电缆延伸增加约2％，并且当效率增加时旋转几乎不变考虑了泊松比和导线拉伸[9,10]。
（f）外部线不彼此接触，这通常是设计标准，以便使摩擦效应最小化。此外Huang [24]已经表明，即使螺旋线在未变形状态下接触，它们也趋向于在装载时分开，只要芯和外部线由相同的材料制成。
（g）线间运动没有摩擦，这是建立有限元模型的初始假设
3.2。理论背景
初步说明：直铁芯可以被认为是螺旋线的特殊情况。 然后所有的电线以相的方式建模。 这就是为什么我们将只讨论本节中螺旋线的研究。在下文中，线被认为是类似于螺旋梁，其中剪切变形的影响被吸收帐户。 使用笛卡尔等参数公式用基于位移的梁元件建模线[25,26]。 在处理FE公式之前，每个需要的理论工具（位移，应力状态，本构法律）以及接触问题的变分公式。
3.2.1。螺旋线：线的虚拟工作
如图4所示，螺旋线的中心线形成半径为Rh 10的直的单螺旋。Rh=Rc Rw和捻角alpha;（当螺旋线是右手时，alpha;是正的）。 令G是中心线的点。笛卡尔坐标中表示为
(1)
图4。螺旋线中心线
其中是极角。 矢量t，n，b是沿着螺旋线的切向，正常和二元正则单位矢量
它们在R0中的分量
（2）
让我们考虑一个G中心的导线部分，并根据这个经典的杆的理论把M作为这个部分的一个点，我们使用圣维南位移定理
， （3）
其中u G和分别表示G处的位移矢量和横截面的旋转矢量。 在里面
同样的理论框架，我们利用线性化的格拉登拉格朗日张力变形
（4）
采用应力反平面状态，这意味着应力张量矩阵plusmn;框架 T；N；B是
（5）
假设材料是均匀的和各向同性的
（6）
其中E和m分别为电缆材料的杨氏模量和泊松比。我们写的应力应变法在这简化（7）
应变的虚拟工作可以表示如下
（8）
其中 是应变能密度。
3.2.2。互连接触
我们必须在这里处理外部电线和芯之间的接触问题。 接触线是螺旋（图5）
半径Rc和捻角，其中tan=Rc/Rh，tanalpha;如图6所示。运动在和是分别定义为Q处的相对位移矢量和相对旋转矢量在螺旋线和芯之间。
图5 芯线和一根螺旋线之间的接触线
为了探索在影响钢丝绳之间运动Q；我们将研究所有可能的情况钢丝绳之间接触，即一种滑动、滚动和旋转。滑动是相对位移切平面零，滚动沿的相对转动、旋转沿的相对转动。无滑动条件为。
不滚动条件，不旋转条件。我们也要注意，两个条件是必要的，以确保永久联系螺旋线和铁芯。这些条件是和。
描述了缺乏相对正常位移和在局部线性接触中的相对二次正交旋转。 作为第一近似，给定运动被假定为自由（零摩擦）或完全防止。 真正的反应受这两个极限条件影响。最后，可能以简单直链形式出现的八个接触情况总结在表1中，其中R代表滚动，S代表滑动，P代表枢转。
图6 螺旋线中心线的捻角和接触线的捻角之间的关系
表1
3.2.3。变分公式
通过上述初步建立，我们现在可以写出问题的变分公式。 通过拉格朗日乘子引入线间接触条件，其表示接触力和时刻。 我们选择了这种方法，因为它使我们能够精确地表示线间力时刻。 如果体力被忽略，虚拟工作原理[27]具有以下方程：（9）
DS是元素表面，W
ε是应变能密度，V是运动矢量，LD是给定的外部
负荷，是导线上的接触力，是接触边界上的相对运动矢量。
3.3。有限元制定
电缆的每根导线用4节点等参数元件离散化。 用于测量和位移的形状函数是三次拉格朗日多项式。 每个节点具有六个自由度（dof），其中在框架R0中的三个平移和三个旋转。令G是元素e的中心线的点。 令M是中心G的截面的点：M是这样的
（10）
eta;和zeta;isin;[-1；1]，然后，如果eta;是描述线中心线的自然坐标
（11）
在上面的表达式中，
函数是拉格朗日多项式，使得
（12）
x,y,z是元素E中点M的笛卡尔坐标,
是节点i的笛卡尔坐标,
是节点i处的正常单位向量ni的R0中的分量，
是节点i处的二次正规单位向量bi的R0中的分量。
元素E点M的位移矢量可以写成如下
（13）
是点M处的位移矢量的R0中的分量，
是节点i处的位移矢量的R 0中的分量
theta;ix,theta;iy,theta;iz是节点i处的旋转矢量的R 0中的分量
经过多次操作，我们可以计算出m的应变-位移关系
（14）
（15）
（16）
通过使用高斯公式的数值积分获得元素的刚度矩阵。 避免锁定的风险，虽然几个测试证明了FE的可靠性，即使有四个高斯点，对点我们使用三个高斯点。对于-和-积分，我们分别使用两个和七个高斯点。 节点力矢量也被数值地（在身体或表面力的情况下）。
图7。带节点和次级接触节点的钢绞线截面。
导线之间的接触方程的书写要求的二次接触节点的[ 27 ]的定义为如图7所示。事实上，有明显的接触没有物理线节点，为钢丝中心线是不相交的接触线。在每对次级接触节点上实施接触条件。我们在特殊情况下这是已知的接触面积（半径rc接触螺旋线和捻角alpha;0）。作为钢丝股和位移被假定为小，外部导线和芯之间的相对运动可以被认为是也小了。然后，感觉更新的点的位置的接触是没有必要的。然而，迭代测试为每个潜在的接触点执行，以检查是否要释放接触。对边界条件，这取决于所施加的负载的类型，我们认为，在任何情况下，在横截面电缆的两个末端表现的像刚体。这意味着导线和芯外部之间不允许有相对运动。
我们可以最终建立从公式得到的有限元公式从方程（9）。
（17）
其中K是总体刚度矩阵，R是接触和边界条件的全局刚度矩阵，U是节点
位移矢量，K是全局拉格朗日乘数矢量，F是全局节点力矢量。
4。纯轴向荷载下简单直链的数值研究
4.1。线间运动分析
已经设计了计算机程序以实现在前面部分中描述的股模型。 我们有进行一系列数字测试，以识别线间运动（存在或不存在滑
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