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并联机构运动学优化设计的一种新方法
摘要
本文讨论了并联机构优化运动设计的一般问题。优化设计是该领域最具挑战性的问题之一。为了理想地解决设计问题，一个人应该解决的困难可以归结为：（a）减少设计参数的数量；（b）合理地指定每个参数的界限；（c）定义一个参数设计空间，在这个空间中可以逻辑地实现最佳运动设计；（d）提供所有可能的最佳结果。本文提出了一种适用于线性参数小于五个参数的并联机构的优化运动设计方法，即基于性能图的设计方法（PCBDM）。该方法中的一些步骤也有助于基于目标函数的优化设计。本文的研究成果对开发并联机构的计算机辅助设计系统具有一定的参考价值。所提出的设计方法也可应用于串并联机器人或其他机构。
关键词：并联机构；优化设计；性能指标；性能图
- 介绍
近二十年来，并联机构因其相对优势，如高灵敏度、高负载能力、低运动惯量等，在工业应用中，尤其是在机床领域，越来越受到研究者的关注。为此，提出了越来越多的具有特定数量和自由度类型的并联机构。然而，光学运动学设计一直是该领域最具挑战性的问题之一。
缩写：PFNM，参数精确归一化方法；DOF，自由度；GE，大于或等于；R，旋转关节；P，棱柱关节；S，球形关节；U，万向节；CL，特征长度；NL，自然长度；PDS，参数设计空间；GCMIW，状态良好的最大内接工作空间；SM（S），相似性力学ism；BSM，基本相似机制；LCI，局部条件指数；GCI，全局条件指数；GCW，良好条件工作空间；MIC，最大内接圆；MIW，最大内接工作空间；PCbDM，基于性能图的设计方法。
为了优化并联机构的运动设计，大多数方法首先建立一个目标函数，然后用数值方法和算法[1-3]得出结果。这些方法有着共同的优点，即目标函数是高度非线性的，并且过程是迭代和耗时的。它们可能提供最佳结果；但是，用户无法知道结果的最佳程度。在机器设计领域，最合理的设计之一是通过比较实现的。这种方法需要使用性能图，这在经典设计和大多数设计手册中都得到了广泛的应用。使用性能图表，可以在全球范围内识别多个标准的对立。一个机制通常有几个设计参数，每个参数，特别是链接长度，可以在零和有限之间有任何值。为了在有限的空间内呈现性能图，有必要对所涉及的设计参数进行规范化。最常用的标准化方法是将所有参数除以其中一个参数[4,5]。然而，这种归一化不能确保归一化参数是有限的。因此，开发的设计空间不能用于绘制性能图。本文介绍了一种显著的非标准化技术，即参数非标准化方法（PFNM）。这种归一化不仅确保归一化参数是有限的，而且所有参数的总和也是恒定的。本文的分析表明，归一化因子不会改变机构性能的相似性。这实际上是运动学设计中最重要的一点。当应用于具有线性参数的机构时，该方法具有以下优点：（1）减少参数个数；（2）完全研究一类机构；（3）保持机构的性能相似性；（4）在有限参数空间内实现最优运动设计。这对于性能图的表示和不同机制的性能比较非常有用。利用这种归一化技术，可以开发出用于分析机构性能和实现机构优化设计的参数设计空间。基于机构的归一化方法和机构的性能相似性，提出了一种新的优化设计方法。
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- 术语
我们将使用术语“一种机构”来表示具有特定运动结构的机构，并使用“一种机构”来表示每个参数都指定了特定值的机构类型。例如，5R 2自由度对称并联机构是一种机构。该机构具有三个线性特征参数L1、L2和L3。这种L1=15 mm、L2=12 mm、L3=13 mm的机构称为一种机构。
如果每个参数都被指定了一个特定的值，那么这组n个参数被定义为一个组合。每种组合都对应一种机制。
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- 表示
n 机构的特征参数
Li 带维数的线性参数
li Li的归一化参数
Cn = (L1, L2,..., Ln) 具有n个参数的尺寸机构的组合
cn = (l1, l2,..., ln) 无量纲（归一化）机构与n个参数的组合
维度机制空间
无量纲（归一化）机构空间
2．并联机构设计中存在的相关问题
为了执行特定的任务，通常应该优化并行机制的参数。由于每个参数的值都可以在0到5之间，性能标准通常是对立的，因此优化设计是该领域最具挑战性的问题之一。假设一个机构有n个特征线性参数，每个参数都表示为Li（1le; i le; n）。这些n个参数包含在机构的雅可比矩阵j中。因此，雅可比矩阵与参数密切相关。运动学、工作空间、奇异性、动力学等性能也与之密切相关。机构的最佳运动设计实际上是根据规定的规格确定这些参数。值得注意的是，由于输入参数最终不会包含在雅可比矩阵中，因此本文没有将其定义为设计参数。这将在第5.1节中详细解释。
由于优化设计是并联机构领域中最重要和最具挑战性的问题之一，因此越来越受到研究者的关注[1-6]。提出了许多设计特殊机构的方法。最常用的方法是基于目标函数的优化设计。该方法首先建立具有特定约束的目标函数，然后使用优化算法搜索结果。该方法耗时长，且由于各参数的不确定性、多准则的对立性以及初始值的分配等原因，难以达到全局最优目标。另一种方法是使用性能图（Atlas），这在经典设计和大多数设计手册中被广泛使用。性能图表可以在有限的空间内以全局和可视的方式显示性能索引和相关设计参数之间的关系。然后，性能图表可以显示所涉及的标准是多么的对立。因此，该方法是一种理想的方法。与基于目标函数的方法得到的结果相比，最优结果是模糊的。但由于优化设计方法不能为设计问题提供唯一的解决方案，使得该方法更加灵活。这意味着设计师可以根据自己的设计条件适当地调整最佳结果。基于性能图的优化设计最重要的是性能图的表示。众所周知，一个机制的每个参数都可以有介于零和有限之间的任何值。这实际上是设计方法中最大的问题，因为我们无法在内部空间中演示图表。
因此，如果使用性能图，则在并联机构的运动设计中，参数是最麻烦的问题。由此产生的问题可以概括为：（a）如何减少设计参数个数；（b）如何合理地指定每个参数的界限；（c）如何定义一个参数设计空间，在该空间中可以逻辑地实现最佳运动设计；（d）如果有这样的设计空间，如何处理两者之间的关系具有内部和内部参数的机制。
3.建议的解决方案
为了解决第2节中提到的问题，我们应该首先找到一种技术，从逻辑上定义每个线性参数的极限，同时保持机构的性能相似性。参数归一化技术是解决这些问题的一种方法。参数归一化的关键问题是归一化因子的选择。为了分析四杆机构的性能，杨[7]提出了一种归一化方法。为了解决雅可比矩阵中非齐次物理单元的问题，引入了“特征长度（CL）”和“自然长度（NL）”的概念[8-10]。归一化方法实际上是建立在相关线性参数的平均值上的。CL和NL用于规范化Jacobian矩阵中的维元素，但由于它们不是所有维元素的平均值，因此无法使元素紧密结合。事实上，对于我们的问题来说，精确性是非常重要的，对于这样一种规范化来说是不必要的。总之，生成归一化因子的杨的思想对我们有帮助。在这里，我们将这个想法扩展到一个一般案例。假设一个机构中有n个特征参数，表示为Li（i=1，2，hellip;，n）。 让
(1)
其中d可以是任何正数。这里，参数d被定义为机制的标准化因子。通过以下方法可以得到n个无量纲参数li：
li =Li/D (2)
因此,
（3）
它不仅将参数个数从n减少到n-1，而且给出了每一个归一化参数li的界，即：
（4）
并且
0le; li le;d （5）
值得注意的是，在某些情况下，由于参数li（i=1，2，hellip;，n）应用于建立机制并使其发挥作用，因此这些参数上还存在其他条件。公式（3）和（5）加上这些条件，实际上确定了（n-1）维的有限空间。这种空间被定义为参数设计空间（PDS）。
从公式.（3）和（5）可以看出，PDS的极限取决于d的值。为了方便地规定每个规范化参数的界限并在有限的空间中表示PDS，尽管参数d可以是任何正数，但我们通常将其指定为整数，通常是数字1或n。值得注意的是，选择f参数d仅决定PDS的大小，但不会影响PDS的形状和最终结果。如果d=1，D是所有特征参数的总和。当d=n时，D是所有参数的平均值。无论参数d是什么，使用公式。（1）–（5），机构可以从有尺寸的机构改为无尺寸的机构。最重要的是，这项技术还将一个n维问题变为一个（n-1维问题），同时确定每个规范化参数的限制。这是对机制最重要的贡献之一。因此，该方法被称为参数精确归一化方法（PFNM）。
我们可以看到，Dli机制的大小与 li 机制的大小相似。不同的机制有不同的种类。这里，Dli的机制（不同的d）被定义为相似机制（SMs），而 li 的机制被定义为基本相似机制（BSM）。所有短消息在特征参数Dli之间具有相同的比率。这一比率也与李的比率相同。值得注意的是，参数d的选择并不影响比率。例如，考虑到L1=6 mm和L2=4 mm的机构，如果d=1，则l1/l2=0.6/0.4=1.5。如果d=5，则l1/l2=3/2=1.5。因此，参数d的选择不会影响PFNM在机构分析和设计中的应用和结果。
机构的特征参数 Li = Dli 构成了n维空间。由于每个参数的值都可以介于零和有限之间，因此该空间是有限的。因此, 维度机制空间 是一个有限的空间并且组合 Cn = (L1, L2,..., Ln) 包括在这样一个有限空间里。由于所有参数li都是有限的，归一化机制空间 （实际上是PDS）是有限的，组合c=（l1，l2，hellip;，ln）是有限空间中的一个元素。因此，PFNM建立了有限空间和有限空间中元素之间的关系。内部空间prod;中的每一个组合都可以在内部空间pi;中找到其独特的对应元素。但是，内部空间中的一个元素对应于内部空间中的一个内部元素数量。定义的SMs在空间prod;中，而BSM存在于空间pi;中，即PDS。
参数值影响机构的运动设计。在这里，基于PFNM，我们给出了一些不同参数数的例子。在以下示例中，d=1
3.1. n = 1
案例n=1意味着机构中只有一个特征参数l1。例如，如图1（a）和（b）所示的PRRRP 2自由度并联机构和RPRPR 2自由度并联机构分别如图所示。
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