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基于李雅普诺夫理论的复杂非线性不确定机械系统鲁棒控制
Hyun Cheol Cho1 , Jin Woo Lee1 , Young Jin Lee2 and Kwon Soon Lee1
【摘要】本文提出了一种三自由度非线性不确定吊车系统的鲁棒控制方法。
我们面对的是一种桥式起重机的小车位于顶部移动到X轴和Y轴独立。我们首先
通过反馈线性化逼近非线性系统模型构造PD控制，然后设计一个鲁棒控制偏差进行补偿，切实发生因控制系统建模实践中的误差或系统扰动。利用Lyapunov稳定性分析自适应控制规则。由给定系统摄动界的理论，我们完成数值模拟来评估所提出的方法，并与传统的控制策略进行了比较，论证了其优越性。
【关键词】：起重机系统；鲁棒控制；系统摄动；Lyapunov理论
1. 简介
起重机是工业中一种重要的机械系统，用于将重物运到所需的位置，目前已开发出几种起重机系统，并成功地应用于实际，并研究了这些机械系统的先进控制策略，以提高其控制性能。
在[ 1 ]中，作者开发了一种桥式起重机系统的时间尺度分离的控制方法，用线性模型来描述动态误差。在[ 2 ]中，作者提出了一种饱和控制方法的基础上的一个线性化的起重机模型保证控制成本。Martindale等人。在3中，研究建立近似吊车系统建模的精确模型信息和设计自适应控制器。Moustafa和奥贝德开发一个桥式起重机系统的非线性动态模型和基于线性状态空间方程[ 4 ]应用线性反馈控制。李用一种新的摆角定义和一种解耦线性化动态特性的防摆控制方法研究了桥式起重机系统的非线性建模[ 5 ]。近年来，对起重机系统非线性动力学的研究也越来越深入。在6中，作者提出了一种基于能量控制的欠驱动起重机系统的无源控制器。方等人。研究了一种基于能量的架空系统控制方法，其中附加的非线性项被注入控制器，以增加龙门架和有效载荷位置之间的耦合[ 7 ]。这种方法导致瞬态响应显著改善。Hekman和singhose开发了电机控制系统的最佳时机，随后打开/关闭电机命令减轻载荷摆动的反馈控制方法，它适用于工业桥式起重机[ 8 ]。
大多数工程研究人员通常将复杂的非线性系统模型线性化，以便在实践中简单地构造可用的控制方案。然而，这种近似通常是由于系统建模误差在实时实现中引起的。此外，由于起重机的不确定性大大降低了控制性能，需要更有效的控制策略来克服这一问题。
我们研究了一种基于三自由度框架的复杂非线性起重机的自适应和鲁棒控制。动态运动用复杂的非线性微分方程进行数学表示。首先，我们的线性化系统模型的反馈线性化的转变，在以前的研究中进行的，然后得到一个名义上的线性控制使用线性系统模型。其次，辅助控制方案还建立了补偿系统误差由于基于模型参考自适应控制算法的近似，我们也嵌入鲁棒性不确定性的起重机采用Lyapunov稳定性理论[ 9 ]。总控制输入是线性组成的名义和纠正控制输入。通过计算机仿真验证了所提出的控制方法，并与标称控制方法进行了比较，验证了该控制方法的优越性。同时，我们证明了它对随机扰动的鲁棒性。
本文的结构如下：第2节提供了起重机系统平衡方程及其线性化模型，我们在第3节提出了一种自适应和鲁棒的起重机控制方法。计算机模拟和定性比较分别在第4和第5节中提供。最后，第6节给出了结论和今后的工作。
2. 起重机建模与线性化
我们考虑一个三维吊车系统如图1所示，在其顶部小车携带连接绳，两外力FX，FY用于移动小车X和Y轴与分别。由于该有效载荷摆动，两个摆动角度theta;X，Y是theta;在绳上发生相应的。在这个系统中，负载连接在摊铺机在控制执行器位于它减少摆动和控制输入的UX和UY应用。绳子L也被认为是一个动态变量。
我们使用拉格朗日建模[ 5 ]来表示图1中的起重机系统的动态式。
其中，mx=mX ml，my=my mx ml,且m是一个有效载荷质量，ml是绳子质量，dx，dy和dl是阻尼系数，Eq.（1）代表了小车相对于x轴的运动方程，并用（2）表示了该运动的有效载荷的动力学。同样，对轴的动力学是在（3）和（4）分别与Eq.（5）提供了关于绳动力学运动方程。外部输入Fx和Fy响应的小车，和控制输入的UX和UY从摊铺机产生的。因此，本起重机系统包括两种输入：一个是针对起重机控制及消除其振幅。
直观地说，这个运动方程。在（1）-（5）有些复杂，所以很少使用这种模型来设计控制器。然而，为了简单起见，在控制设计的第一步，我们通过反馈线性化方法近似系统方程。我们在[ 5 ]中提到了这种系统模型的逼近律，得到了一个线性化系统模型。
图1.三自由度起重机系统的几何模型
同样的，Eqs。（6）和（7）线性表示X轴的小车和负载的动态方程（8）和（9）涉及Y轴方向的动态，和Eq.（10）近似为钢丝绳的动态。显然，这两个方程在结构上是相同的，但它们的动态线性模型是独立的对方。这意味着每一个动态互不影响，但这是不合理的从实际的角度来看。因此，我们必须补偿由于这种近似而引起的控制误差。
3. 起重机控制系统
本节描述线性化系统模型第2节中所述的控制系统的设计过程。首先，我们推导了标称控制，然后用辅助控制来补偿实际控制误差。
3.1标称控制系统的设计
用反馈线性化方法设计了（6）-（10）线性模型的标称控制。为了利用这个方法，我们用向量形式重写（6）-（9）
其本身和输入向量和状态向量由下式给出
其中
基于反馈线性化方法，将控制向量f定义为
如果一个新的控制输入u是由一个PD结构给出的，那就是
其中R是一个参考向量和矩阵控制参数Kp，KDisin;R4*4对角。代入（13）到（12），我们有
并应用（14）到（11），系统Eq.被扩展为
这是一个典型的二阶微分方程，因此我们可以改写为变量分离的状态空间模型：
从线性系统理论，我们注意到它的特征方程是由下式得来
其中
最后，我们得到
我们简单地确定控制参数的线性系统理论给出了控制规范。
3.2不确定系统模型
如上所述，由于近似控制模型可能发生实时控制误差，因此必须通过有效控制来克服这种影响，并提出了辅助控制以提高不确定系统的控制性能。通过定义参数摄动来实现不确定系统模型，我们考虑（11）中的矩阵M、d和g包含不确定因素，使得不确定系统模型用下式表示
在∆m，∆D，和∆G表示相应的不确定矩阵，分别将不确定矩阵的系统输入向量定义为
其中，PD控制输入u由标称PD控制和辅助控制输入组成。运用∆U标称控制律（13），我们有
或者干脆是
其中
应用（22）到（21），最后将不确定系统模型表示为
同样，我们重写（25）到状态空间模型
其中
3.3模型参考自适应控制设计
我们使用的模型参考自适应控制的方法来获得一个辅助控制对不确定系统的模型。这个马克旨在得到控制法∆U（26）的不确定系统（26）如下定义的参考模型。
其中v是常数向量，Ad和Bd的大小分别等于（27）中的A和B。一个矩阵的广告必须是Hurwitz（即所有特征值的实部为负）和（Ad、Bd）是可控的。在现有的系统（26）中，遵循（27）中的参考模型得到了控制规律。也就是说，这些动态之间的误差由下式表现
应采用适当的控制规则最小化∆u。我们利用李雅普诺夫稳定性理论推导出这样一个目标的控制律。李雅普诺夫函数候选定义为
正方形矩阵p应该是正定的，v大于0。它的导数简单地计算为
其中
通过替换（31）到（30），我们得到
最后，将李雅普诺夫函数的导数简单地运用
其中
我们注意到，从李雅普诺夫稳定性理论来看，标量V应该是负收敛的。我们得到两个获得v的充分条件如下：
条件1：ATd H P Ad = -Q
其中Q 是正定或简单的一个恒等矩阵。
条件2：eT P [Adq - （Aq B ∆ Rrq - ∆） Bd ] lt; 0 (35)
我们得到的∆u满足这两个条件控制法。对于前者，由于AD是稳定的，我们适当地选择p gt; 0。对于后者，我们分析的定义∆u满足条件2，但是关于扰动信息不完全，所以它不是简单的寻找独特的解决∆u我们假设其绑定是在设计过程中定义的，在实践中这是一个合理的考虑。
4.计算机模拟
我们进行计算机模拟表明所提出的控制方法，通过与传统控制相比其优越性的可靠性。copy;利用MATLAB数值分析求解微分方程（1）-（5）嵌入我们的控制器，我们定义MX =MY= 32公斤，M = 160公斤。分别考虑三个模拟场景，系统响应依次绘制。第一个模拟涉及标称PD控制系统，第二个包括PD控制和我们的控制方法对摄动吊车系统的比较。最后，我们对所提出的控制激励随机扰动对起重机的鲁棒性进行了测试。我们解决参考值，rx = 4米，ry= 2米，控制时间间隔为10秒。绳的最大长度为1.5米，其动态与位置x（t）的定义为
我们的控制目标是，在应用随机干扰时，稳态误差应为零或接近零，系统响应在暂态区域不应超调，最小上升和稳定时间。
案例1：我们根据第3节的设计准则，对线性化吊车系统进行名义PD控制。我们应用线性系统理论来确定PD控制的最优参数值，以满足给定的控制规范。图2显示了这个控制系统的系统响应，从这个结果，我们观察到响应的稳定时间大约是4秒到5秒，超调行为很少发生。结果表明，这些曲线对标称PD控制具有满意的控制性能。
图2.带有PD控制的吊车系统响应（案例1）
案例2：我们将我们的控制应用于摄动吊车系统，并将其控制性能与在案例1中构建的PD控制进行比较。系统扰动实现为起重机质量在160, 2160公斤内的变化，在工业上是实用的。我们按照3节的设计准则，以获得一个强大的控制系统和以最大装载质量起重机切实进行，作为最高的系统摄动。图3显示了两个控制器对扰动起重机的系统响应。在PD控制，系统的响应没有达到稳态区域在一个给定的时间间隔。数值结果表明，在标称环境下构造的PD控制对扰动系统不能正确完成。与此相反，在我们的控制系统中，缆绳和起重机的稳态响应分别收敛到大约3秒的参考值。因此，从比较中可以看出，所提出的控制优于标称环境下构造的PD控制。
图3.带有标称PD（细线）和我们控制（粗线）的起重机的系统响应（案例2）
案例3：我们对起重机系统施加随机干扰来证明我们的控制系统的鲁棒性。风力通常激励起重机系统作为环境干扰在港口港口配备了这样的起重机。因此在实际应用中，需要强有力的起重机控制。我们解决干扰W（t）为零均值高斯方差sigma;= 10，即，在数学上，W（t）~ N（0），其曲线图4。这个模拟环境类似于案例1，我们同样比较了这两个控件。他们的系统响应曲线在图5中，从中我们明显地认识到了控制优于PD控制。案例2中的名义PD控制不在时间间隔适当的执行。在我们的控制，小的涟漪在平衡区域发生，但由于随机扰动的性质是可以容忍的。从这个模拟，它的动态是非常强大的抗干扰。
图4.起重机随机扰动
图5.带有标称PD（细线）和我们控制（粗线）的起重机的系统响应（案例3）
5. 最近处理控制方法的定性比较
本节提供了最近提出的起重机控制策略[ 5，10，11 ]。在[ 5, 10 ]和[ 11 ]中，作者开发了用于精确位置控制和有效的防摆策略的起重机的先进控制方法。
在[ 5 ]中，作者同样假定起重机在运行过程中缓慢移动，从而近似了复杂的系统模型。采用线性系统模型，通过经典控制设计准则构造线性控制。建立了起重机控制系统试验台，通过实时试验对控制方法进行了评价。在[ 10 ]中，提出了一种三维起重机系统的预测控制方法，该方法通过一个著名的卡尔曼滤波器模型来估计其动力学。作者使用了一个起重机模拟器来测试其控制算法的有效性，通过实时的实验实现，最近，在[ 11 ]中，作者在起重机系统中建立了一个旋转机械来抑制振动行为，它作为一个主动振动控制器。
表1.与最近处理的起重机控制方法的定性比较[ 5, 10, 11 ]
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方法论 |
系统的性能 |
坚固性测试 |
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超过部分 |
稳 全文共7357字，剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料 资料编号：[16170]，资料为PDF文档或Word文档，PDF文档可免费转换为Word |
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