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用小型抛光工具进行自由曲面机械抛光过程的路径规划
林未扬，彭旭，李冰，杨晓君
摘要
自由曲面产品广泛应用于工业领域，表面质量对于实现目标功能起着重要作用。 由于小型抛光工具的抛光路径对抛光清除功能影响很大，因此研究自由表面抛光路径以获得良好的抛光效率和良好的表面质量是非常必要的。 通过结合普雷斯顿抛光去除功能，建立了小抛光工具在恒定抛光力和压力控制下的材料去除模型。 基于该模型，推导了扫描线，阿基米德螺线和希尔伯特分形抛光路径的材料去除功能。 仿真结果表明希尔伯特分形抛光路径综合性能最好。 利用微分几何投影关系，建立了基于希尔伯特分形抛光路径的贝塞尔曲面的最优路径生成算法。抛光实验在基于并联机械手的自研磨抛光机上进行。 实验结果表明，表面粗糙度从9级提高到11级。
关键词：机械抛光; 小型抛光工具; 自由曲面; 抛光路径; 去除功能
背景
产品结构可以通过使用自由曲面进行优化，这为解决方案打开了大门，可以提高性能，降低复杂性，减小质量和缩小尺寸。 然而，由于几何的特殊性，自由曲面在精密制造中面临着更多的挑战和困难。 抛光通常是精密制造的最终加工步骤之一，其结果直接影响零件的外观和寿命[1]. 它与其他精密制造技术有根本的不同。 抛光的去除不仅取决于工具正交于工件的位置，而且还取决于研磨和切割过程，但也与局部压力和工具与工件之间的相对速度以及停留时间的乘积成比例。 近年来，为了实现高精度，努力开发多功能抛光工艺。 目前的抛光方法主要包括电化学抛光[2], 磁流变液抛光[3,4], 等离子抛光[5,6], 超声波抛光[7,8] 和电脑控制机械抛光[9,10]. 现在，许多自由形式的部件仍然通过最终手动抛光来生产。 它不仅严重依赖技术人员的专业知识和经验，还需要对加工和测试给予高度关注。 为了达到既定的高效率和可靠性，过程自动化显然是前进的方向。 由于电脑控制的机械抛光效率高，可以很容易地控制[11], 这是本研究的重点。 机械抛光是一种统计的“磨擦”过程，抛光液体中由高速旋转抛光工具驱动的微观散粒磨料颗粒可能与零件表面产生摩擦。 表面的突出部分被去除以符合粗糙度要求。 然而，由于各种因素的影响，抛光过程在很大程度上依赖于试验和经验，这导致机械抛光过程发展缓慢。与大型抛光工具相比，本研究中使用的小型抛光工具具有许多优点[12].小工具可以跟随曲率较大的自由曲面，而大的工具不能抛光曲率小于其半径的自由曲面。小工具可以纠正局部表面的误差，而大公举在抛光预定表面时可能会抛光附近的表面。小型工具也可以在比大型工具更大的压力和速度下工作；因此，它可以快速移除材料。在制造单键的情况下，小型抛光工具具有更高的抛光效率。
抛光表面质量非常不稳定，其中一个重要的原因是工具的抛光路径对材料去除的影响非常大。对抛光路径的基本要求是其表面可以在抛光期间被完全均匀覆盖。因此，研究不同抛光路径的去除功能具有十分重要的意义。文献中可以找到很多机械抛光过程的抛光路径[13-18]. 研究不同抛光去除功能的最终目的是选择最佳抛光路径，以避免抛光不足和过抛光现象，保证抛光过程的一致性。 同时，它还可以清晰地了解影响抛光质量的各种因素。 本研究的核心问题是研究给定表面形状和指定路径的抛光去除功能和抛光性能，以便于后续的抛光路径控制。本文的其余部分安排如下。 在里面“理论背景” 部分，介绍了一些基本的抛光假设和基本理论。 在里面 “方法” 剖面，扫描线路径，阿基米德螺旋路径和希尔伯特分形路径进行了详细的描述和分析，同时给出了从平面到自由曲面的抛光路径建模方法。 进行模拟和实验，结果在“结果与讨论”部分。 结论在最后一节中得出。
理论背景
抛光去除率
抛光的去除率，其描述了在每个单位时间内局部抛光位置处的部件表面去除量的性质，是研究的重要部分。关于抛光过程[19,20].许多因素影响着抛光去除率，如抛光工具和抛光环境[21-23].对于抛光工具，主要因素是材料属性，形状和表面粗糙度。而对于抛光部分，结果与部件和抛光工具之间的材料特性和摩擦系数有关。另外，对于抛光环境，抛光液和抛光液的粒度和粘度、抛光过程中的温度和压力以及抛光液中的部分化学修正是影响抛光效果的主要因素。
普雷斯顿为机械抛光的材料去除预测提供了理论基础[18]. 虽然在抛光文献中还有许多其他抛光方法，其中大部分基于普雷斯顿方程。Tseng and Wang[24]提出一种基于化学机械抛光普雷斯顿方程；Nanz[25]考虑将抛光垫和抛光液的流动弯曲成普雷斯顿方程，以获得新的抛光配方普雷斯顿抛光清除功能的公式：
(1)
其中，是单位时间内的材料去除量；q是抛光点的位置矢量；t是时间；k是与材料、抛光液和环境有关的普雷斯顿系数；是抛光点出的压力；是抛光点的瞬时抛光速度。实际上，抛光去除率的问题是一个非常复杂的非线性问题。普雷斯顿抛光清除功能是一种线性化假设，但它在许多实际抛光实验中近似有效。
抛光路径的去除量
在机械抛光方面，抛光速度和抛光压力可以通过计算机数控（CNC）机器精确控制。 因此，在抛光过程中，普雷斯顿系数k被认为是恒定的。 而且，抛光工具通常由相对较软的材料制成。 在微观层面上，软的工具适应于表面的形状。 在整个抛光过程中，它可以保持抛光工具和工件相互接触。 因此，假定小型抛光工具对自由曲面施加的抛光压力是均匀的; 也就是说，接触面的压力同时处处是相等的。
时间t和点q在零件坐标系中，抛光速度和压力分别设为v(q, tau; ) 和 n(tau; )。当抛光工具的半径为R时，
抛光去除量定义如下:
(2)
抛光过程中的抛光压力可以分为恒定压力和时变抛光压力，即。然而，为了简化随后的讨论，我们假设抛光过程中抛光力保持不变。 然后，抛光去除功能可以被重写为：
(3)
方程（3）是一般的抛光清除功能。给定不同的抛光路径，抛光速度在等式（3）中会相应地改变，这将导致不同的整合结果。
在固定点去除功能
图1是固定点抛光模型的示意图。当抛光工具以固定角速度旋转时，半径为r的点到抛光工具中心的抛光去除函数描述如下：
等式（4）是如图所示的圆锥形表面2.抛光工具中心的速度等于零，此时导致零移除量。
在实践中，抛光速度是进给速度和旋转速度的总和；也就是说,。但是，抛光工具的角速度omega;t非常大，可达到每分钟数千转。 结果，很小，，所以可以认为。
方法
刀具路径是自动机械表面抛光的关键因素之一。 这项研究涵盖了三条抛光路径：扫描线路径，阿基米德螺线路径和希尔伯特分形路径。 这里研究它们如何影响抛光结果。
扫描抛光路径
扫描抛光路径，传统的抛光路径，经常用于CNC加工。在扫描线上抛光过程中，抛光工具会偏移边界处的间隔并继续加工，直至完成处理。
单线抛光路径的去除功能
在沿着X轴线的单线抛光路径的建模中，去除函数方程式（3）中平面上的点可以被重写为： (5)
其中:isin;[-R，R]。
等式（5）的系数项与去除功能成正比，并且不影响去除功能曲线的形状。因此用I来代表系数项：
即:
图3是XY平面单线抛光路径的去除功能。尽管中心点具有最长的有效抛光长度，但最大去除值不在抛光工具中心。
扫描线抛光路径的去除功能
图4是扫描线路径的抛光模型。L表示两条相邻线的间隔。方程（5）可以改写为以下分段函数：
(7)
假设Zy0 (x, y) = Zs(x, y minus; y0)表示抛光线y=y0的去除函数。用间隔L表示所有抛光线的总和，扫描线的去除功能为：
阿基米德螺旋抛光路径
阿基米德螺旋是一种算数螺旋，它是最有用的加工路径之一。由于工件的旋转运动，无需倒转，抛光机可以实现平稳运动。
阿基米德螺旋抛光路径建模
图5 是阿基米德螺旋抛光路径的模型。 设L是恒定的分离距离，Vt是抛光工具的进给速度。 在极坐标中的阿基米德螺旋公式即为。抛光工具的进给速度为。因此，阿基米德螺线的角速度可以表示为：
在初始条件时，方程（9）的积分为下式：
是反双曲线函数，方程（10）中没有的解析式，的值应该通过数值计算得到，然后可以求得的值。
图6是阿基米德螺旋抛光路径的模型。R是抛光工具的半径，r是点（）之间的距离。（）表示抛光工具中根据余弦定律:
,抛光点的抛光速度可以表示为：
(11)
分段函数定义如下：
(12)
对于给定的速度和分离距离L，变量rho;和theta;是t的函数。 根据等式3和11，阿基米德螺线的积分可以表示为下式：
(13)
阿基米德螺旋的抛光过程是匀速运动抛光过程，自然坐标为。因此，等式10和13可以改写为：
(14)
(15)
在自然坐标系中，阿基米德螺线路径用自然坐标s表示，而不是时间t。
阿基米德螺旋抛光路径的去除功能
自然坐标s的表达式可以从等式14中获得:
(16)
将抛光工具R的半径设置为参考单位抛光工具中心的极坐标为（rho;，theta;）。令se = s（rho;0 R）; 在状态rho;0gt; R时s0= s（rho;0 - R）;在状态rho;0le;R时s0= 0。s0和se是方程15新的上限和下限。因此，可以通过新的限制获得移除功能：
(17)
用数值方法和离散方法，求解方程17的去除函数可以重写为:
(18)
等式18在抛光点（rho;0，theta;0）的值可以用牛顿法计算。
希尔伯特分形抛光路径
上面讨论的扫描线和阿基米德螺旋抛光路径是非常有方向性的。 因此，它们的去除功能具有很强的各向异性特性。 各向异性特性破坏抛光表面的抛光各向同性。 为了获得较高的抛光质量，设计的各向同性抛光路径的去除功能有望应用于自由曲面抛光任务。
分形曲线
分形曲线是指曲线的分形维数，分形曲线的局部简单结构适用于数控编程和控制，而全局随机性具有全局各向同性特征，可以去除抛光自由曲面的条纹，提高抛光质量。分形曲线包括雪花分形曲线，三角形分形曲线，希尔伯特分形曲线等，但不是每个分形曲线都适合于表面抛光。 合格的分形曲线需要满足以下条件：表面遍历性，数控机床运动控制简单，各向同性强。
表面遍历性要求分形维数大于1的分形路径，当分形曲线的阶数足够大时，分形曲线可以覆盖抛光表面。在数学中，它意味着分形曲线的闭合是同拓扑的二维平面。
表面遍历性要求分形曲线可以覆盖整个高阶抛光表面。雪花分形曲线不满足曲面遍历属性。 例如，立方Koch雪花不能覆盖二维表面。 另一方面，简单的运动控制属性需要简单的曲线。等距部分是这种需求的良好选择，因为易于规划，编程和CNC加工。雪花分形曲线在全球范围内并不具有良好的各向同性性质，并且具有较强的全球秩序和高阶次。 因此，它不适合抛光的目的。 为了满足自由曲面抛光的三个要求，希尔伯特分形曲线被选中用于自由曲面抛光。
如图所示7， 希尔伯特分形路径由多个分段组成，并穿过整个二维平面。 希尔伯特曲线的分段平行于X轴或Y轴。 他们可以很容易被CNC机器控制。同时，希尔伯特分形路径希尔伯特分形曲线路径具有良好的各向同性和全局不规则性。
希尔伯特分形抛光路径建模
图8 是希尔伯特曲线的抛光模型。 类似于扫描线和阿基米德螺旋抛光路径，设omega;t和分别表示抛光过程中的旋转速度和进给速度。
希尔伯特曲线的基本单元是分段。 因此，方程式3 中分段路径可应用于希尔伯特抛光路径。 希尔伯特曲线的分段都与X轴或Y轴平行。
对于沿X轴方向的给定线段，抛光工具中心的
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