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基于对偶四元数的重型六自由度机械臂运动反解
摘要：基于对偶四元数的坑道钻机六自由度机械手反解成功地引入了迭代法，这种方法很难通过Denavit-Hartenberg（D-H）方法得到解决。通过对偶四元数直观表达出刚体的方向，分配给每个关节的坐标系都建立在同一个方向，而不需要使用D-H方法。由位置方程和方向方程组成的紧凑且形式简单的运动学方程，也是对偶四元数计算的结果。迭代的过程基本上有两步，与求解相对应的位置方程和方向方程有关。首先，假设一个迭代变量的初始值；然后，位置方程可以由位置方程未知变量数量的减少而得到解决，同时定位方程可以通过使用来自位置方程的解来求解，这样就可以为迭代变量获得一个更新后的值；最后，将更新的迭代变量的值代入位置方程中并重复这样的步骤直到达到规定的精度。该方法具有明确的几何意义，并且这种计算方法简单直接。结束帧的100个姿势的模拟表明，对于端部执行器每一个要求姿势进行反解的程序在一个普通的笔记本电脑上运行的平均时间是7.2毫秒，这足以满足实际使用的要求了。迭代计数通常以2-4为周期，这是一个快速的收敛。本文提出的方法已成功地应用于液压钻机自动化中。
1引言
隧道钻机广泛用于地下建筑中，其中在中国许多还是使用简单的机械杠杆式液压系统进行手工操作，尤其是用于煤矿的岩石隧道工程中。有一个项目是移动目前通用的液压钻机的钻头在岩石表面规定的位置和方向炸出一个洞的自动的过程，被一个在中国的煤矿公司提出并且我们正在参与开发。在这个项目中的一个基本问题是6自由度机械手反解（IK）问题，机械手可支撑并移动莳萝头。
6自由度机械手包括了五个转动关节和一个棱柱状关节。参考文献[ 1 ]中有一个钻机与6自由度机械臂有着相似的几何配置，不同点是文献中的钻机棱柱关节是第四关节而且最后的两个转动关节是相交的，它的反解通过利用Pieper的方法将机械手的手腕分区得到了分析解决。但是现实中机械臂的关节布局的轻微不同的变化抹去了手腕分区这种方法的特点，并且使得上述的分析方法不能完成反解的计算。
在文献[8minus;12]中计算反解的方法涉及到了Jacobian矩阵的计算和多变量的迭代运算，具有计算成本高、收敛性差的缺点。在文献[13]中有一个8自由度机械手的隧道钻机，并给出了一种结合解析和数值的方法去解决反解问题，其中假设前五节和最后三节是分离的且坐标总是平行于工作面是两步迭代的主要思想。文献[13]中的反解方法是特定于机构的，不能在我们的例子中使用。
6自由度机械手的腕部分的分析结果通常将方程划分为两部分：第一部分是与前三个关节有联系，可以用末端执行器的给定位置和方向所给出的直接已知值和腕的位置来解决；第二部分是与后三个相交的关节（手腕）相关，其可以利用末端执行器的给定方向和求解得出的手腕方向（通过前三个关节变量）来解决。 分离的关键点是位置相关方程和方位相关方程的解耦的可能性，这两个方程可以单独的分析来求解。在参考文献[13]中的方程分离为两部分，物理上是前五个关节和最后三个关节，这肯定不是位置和方向可分离，但是有一个限制性假设，即作者开发了一个迭代来求出具有多关节变量的反解。
利用迭代求出我们的6自由度机械臂的反解的思想也是方程的两部分分离，从本质上来讲的位置方程（PEs）和方向方程（OEs）而不是物理上前一部分的关节和后一部分的关节。 问题是位置方程和方向方程具有耦合变量，并且都具有比方程的数量更多的变量。 方向方程中涉及的五个变量的解决方案形成一个解空间（用Sigma;表示），然后迭代过程被设计为搜索与位置方程的解决方案合作的Sigma;中更接近真实的点。
反解问题用对偶四元数来确切的表示，这是由YANG和FREUDENSTEIN 首次提出的，并且在机器人运动学中已经发现了许多应用。 使用对偶四元数的优点是坐标变换的简洁的表达及其高效的计算; 在该工作中引入了在机器人运动学中使用对偶四元数的另一个优点，即，由于坐标系固定到机械手基座上，所以分配给所有关节的坐标都被建立在相同的方向上。 利用该优点，可以更容易地分配联合坐标，并且利用方程来理解链路的空间运动的更直接。
迭代过程如下所述。 它主要在两个阶段对应于两组方程，即位置方程和方向方程，它们都在求解关节变量的过程中被分离。 首先，末端执行器的位置的微小变量（MV）被机械臂的结构所决定。 利用对于微小量假设的初始值，在给定末端执行器的期望位置和方向的情况下可以使用SYLVESTER的消除方法分析解出位置方程。 然后可以使用插入的位置方程的解来分析解出方向方程，这给出被更新的微小变量用作迭代变量以再次解决位置方程。重复这个迭代过程，直到两个连续的微小变量之间的差不大于规定的值。
本文还讨论了初始微小变量的选择。 我们使用具有与原始方向方向相同的方向方程的机械手的简化版本，并且简化版本的更简单的解决方案提供了对初始变量的合理猜测，在实践中指示它，可以扩大初始猜测的范围至工作范围内的相应关节变量的任意值，而没有求解简化版本运动学的过程，除了影响迭代的收敛速度之外不影响别的。
模拟表明，隧道钻机六自由度串联机械手的反解在本工作中提出的迭代过程的收敛速度是非常迅猛的，并且适合实际应用。
2 对偶四元数与坐标变换
2.1四元数
四元数是由HAMILTON在1843年发明的。 我们可以认为四元数作为复数z = a b·i的扩展，其定义为
q q0 q1 i q2 j q3 k (1)
在这里的i, j 和 k 满足 i 2 j2 k 2 1, ij ji k,
jk kj=i, ki ik j.
等式（1）中的q0称为四元数q的标量部分，具有实数的取值范围; 等式（1）的剩余部分表示为q v q1 i q2 j q3 k，称为四元数q的向量部分，取值范围为3-D向量空间。 等式（1）被重写为
|
q q0 qv |
(2) |
四元数也可以表示为由标量和3-D向量组成的4元组。 四元数的4元组表达式是
|
q (q0 ,q1 , q2 , q3 ) |
(3) |
|
or the 3-D vector part is put together as |
|
|
q (q0 , qv ) |
(4) |
这里q v (q1 , q2 , q3 ).
四元数的计算引入如下。 假设有两个四元数
qa (qa0 ,qav ); qb (qb0 , qbv )
加法和乘法定义为
qa qb (qa0 qb0 , qav qbv ) (5)
qa qb (qa0 qb0 qav qbv ,qa0 qbv qb0 qav qav qbv ) (6)
其中“”和“times;”分别表示3-D向量的普通内积和叉乘。 方程（5）-（6）可以很容易地通过简单的代数处理得到，考虑到等式（1）和i，j和k的约束。 注意，两个四元数的乘积与两个四元数直接相邻，为了书写紧凑在其间没有任何符号，而在一些文献中使用符号。
备注1：显然，四元数的加法与四元数的简并形式一致，如实数，复数和纯3-D向量; 同时，两个四元数与纯3-D向量的简并形式的乘积是一种新的计算形式，其具有在这两个已被简并的纯3-D向量的内积和叉积的组合中计算的新四元数的结果，或者干脆qav qbv ( qa v qbv ,qav qbv ).
四元数q的共轭q *和范数| q | 定义为
q * (q , q)
其中| qv | 是四元数q的向量部分的范数长度。 特别地，如果四元数的范数是1，则我们具有单位四元数，即
qq* 1
由等式（9），我们有
q 1 q*
其中q-1表示四元数q的倒数，q是单位四元数。
在本文中仅使用单位四元数，其表示坐标系的旋转。 假设A是基础坐标系，并且B是A围绕一个轴（由单位向量n表示的方向）旋转theta;度得到的坐标系，则从帧坐标系A到坐标系B的旋转变换可以由如下四元数表示
(11)
它在定向矩阵形式中如下：
(12)
其中矩阵的三列表示A坐标系中的B坐标系的三个轴的三个单位向量。四元数qR可以用于表示帧A中的帧B的方向或B坐标系到A坐标系的旋转变换，因为四元数 qR可以通过等式（12）转换为旋转矩阵变换。 为简单起见，旋转变换可表示为
（13）
其中R是表示围绕轴n旋转角度theta;后的坐标系的四元数。
2.2双四元数
双四元数的定义是
（14）
其中q和qε是两个四元数，ε是ε2= 0的对偶符号; q称为对偶四元数的实部；并且qε是对偶部分。
假设两个对偶四元数，；。
对偶
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