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关于航空发动机整体振动情况的建模与验证
摘要：
本论文提出了一种针对现实常用航空发动机的新型转子-球轴承-机匣耦合动力学模型。在耦合模型中，利用有限元法对转子和机匣进行建模，支承系统则通过集中参数法建模，计入了滚珠轴承的非线性因素和误差，四种支承和耦合模型共同组成了转子-球轴承-机匣耦合动力学模型。并使用了一种新型的数值积分法，综合了Newmark-beta;法和改进的Newmark-beta;（翟法）。最终，新型模型可以通过这三种方式验证：（1）基于转子-滚动球轴承设备的模型实验研究（2）基于转子-球轴承-机匣设备的模型实验研究（3）针对一种特定的弹用涡轮航空发动机振动的故障仿真。结果表明，提出的模型不仅能模拟航空发动机的整体固有振动特性，同时也能有效的实现故障航空发动机的非线性动力学仿真。
1.背景介绍
通常情况下，航空发动机的转子是通过球轴承固定在定子机匣上，而机匣固定在底座上面。为了减小转子的振动，同时调节系统的临界速率，在轴承箱和外环之间设计了复杂的支承结构。导致转子的运动，轴承和机匣之间彼此干涉。因此，转子-支承-机匣耦合系统应从结构和动力学角度研究设计[1]。
迄今为止，关于航空发动机的振动特性已经做了很多研究。Ou[2]结合了模态综合法和有限元法对整个航空发动机的转子-支承-机匣系统进行了振动特性分析。Chen[3]使用了NASTRAN软件对航空发动机整体的动力学特性进行了分析，并发现了一种转子的高阶弯曲振动模型和机匣振动之间的共振现象，最终，考虑了机匣振动，研究了决定转子临界速率的要素。Hong[4]通过使用静态刚度，动态刚度和航空发动机的有限元模型估算了特定类型发动机的动力学特性。他们指出，整体的航空发动机模型能够被用于分析航空发动机的支承动态刚度和机匣的局部振动之间的相互作用。Chiang[5]运用了有限元法研究了一种单滚子-球轴承和双滚子-球轴承系统的振动特性。Sun[6]通过考虑球轴承和挤压油膜阻尼器的非线性特性，提出了一种灵活的双滚子有限元模型，并模拟了叶片受损的瞬时响应。Sun[7]提出了一种双滚子汽轮机的有限元模型，并利用数值积分法估算了叶片受损情况下的突然失衡响应，以及带来的球轴承、挤压油膜力的非线性影响和轴承组件的热增加效应。Hai和Bonello[8]建立了一种具有挤压油膜阻尼器的双滚子轴承系统。并结合NASTRAN的有限元分析和MATLAB软件做了非线性数值仿真。结果表明，计算速度可以大大提高。
在一个转子-支承-机匣耦合系统中，有许多非线性因素，如间隙、非线性接触力、球轴承变刚度（VC）振动和挤压油膜阻尼器的非线性油膜力（SFD）。特别是，当滚子和轴承有故障时，如磨损、松动、不对中，就会造成轴承损坏。转子-支承-机匣耦合系统则表现出更明显的非线性特性。然而，使用传统的矩阵变换法、模态分析法、有限元法阻抗连接法很难解决非线性动力学问题。Chen[9]提出了一种综合考虑轴承非线性因素、SFD和松动误差的转子-支承-机匣耦合动力学模型，转子被认为是一种等量的理想的欧拉梁模型。此模型使用数值积分法获得了系统响应，并分析了间隙影响下的航空发动机的整体振动特性，但这种方法很难用于分析变截面的转子模型。
并且现代航空发动机的结构非常复杂，计算机几乎不能同时完成大量计算负荷的要求，也很难建立一种详细的航空发动机有限元模型。此外，很难解决如此复杂的非线性响应。就此而言，为了解决航空发动机的整体振动，本文提出了一种新型的转子-支承-机匣非线性耦合模型。在提出的模型中，转子和机匣系统使用有限元法建模；支承系统采用集中参数法建模；计入了球轴承的非线性因素和各种误差；四种支承和耦合模型共同构成了这复杂的转子-支承-机匣耦合系统。并使用了一种新型的数值积分法，包含了Newmark-beta;法和改进的Newmark-beta;（翟法）。最终，新型模型可以以三种方式验证。
2. 航空发动机的新型转子-球轴承-机匣耦合动力学模型
航空发动机的新型转子-球轴承-机匣耦合动力学模型包含转子、支承和机匣三部分。其中，转子和机匣系统使用有限元法建模，各种支承系统利用离散集中质量法建模。各部分之间通过作用力和接触力相耦合。最后，利用数字积分法解运动的微分方程。耦合系统中的转子、机匣和支承（连接）建模如下：
2.1转子建模
转子包含大量的刚性旋转阀盘和一根弾性轴。前者考虑到它的质量、惯性和回转力矩，采用了离散集中质量法建模。后者则考虑到它的剪切变形、回转力矩和惯性，因此使用一种梁单元模型使其离散化。所有部分通过非线性力和力矩相耦合。图1展示的为转子的有限元动力学模型。
对于转子轴的每一个横梁单元，E, I, G, mu;, L, rho;, 和 A分别表示弹性系数，惯性力矩，剪切系数，泊松比，横梁长度，横梁密度，横梁截面积。Pi代表刚性旋转阀盘；，，和分别代表作用转子在第i个节点X和Y方向上的力和力矩。图3展示的是 O-XYZ固定坐标系。在变形状态下，任意截面相对于固定坐标系的位置确定如下：弹性梁的中心线位置由X方向上的位移x和Y方向上的位移y共同决定，横截面方向上，角phi;是绕X轴旋转的角度，角psi;是绕Y轴旋转的角度，横截面绕Z轴旋转。
- 刚性阀盘的运动方程
设刚性阀盘的质量是md，转子的X向的转动惯量为，Y向的转动惯量为，omega;为阀盘的转动角速度。通过朗格朗日方程，我们能够得到刚性阀盘相对于固定坐标系的动力学方程。
是外力矢量，和分别代表质量矩阵和质量惯性矩阵；
Gd是回转矩阵；q是位移矢量，q=[x,y,phi;,psi;],因此：
（2）横梁单元的运动方程
本研究采用了横梁单元法，每个单元有两个节点和八个独立坐标，每个节点有四个独立坐标，分别是x和y方向上的位移，以及绕x轴旋转的角度phi;和绕y轴旋转的角度psi;，那么单元梁横截面的位移就是一个关于时间和梁所在轴线上位置的函数。单元梁的位移矢量为：
利用拉格朗日方程，我们可以得到单元梁关于固定坐标系的运动方程：
其中是外力矢量，和分别代表质量矩阵和质量惯性矩阵，是回转矩阵，是梁的剪切和弯曲刚度矩阵，是梁的强度矩阵。这些矩阵在文献[1,10]中有详细介绍。转子的运动方程可由梁的运动方程得到：
其中是外力矢量，是质量矩阵，是回转矩阵，是系统的刚度矩阵，是系统的阻尼矩阵。
研究中，假设为等比例的阻尼矩阵，因此：
其中和为常数，那么第i阶阻尼比为：
明显可见，转子的任意两固有频率和阻尼比可通过模态实验获得，常数和可由Eq（4）解得，系统的阻尼比矩阵已经得到。
2.2机匣模型
通常来讲，机匣的有限元模型一般由梁单元，锥型外环单元，平面外环单元构成。机匣是一种壳状结构。它的振动模型包含了许多周向波数为0,1,2，hellip;的形式。然而，当机匣与转子连接时，仅有周向波数1的波形出现，并且转子的横截面并没有变形。因此，机匣可使用普通的固定梁单元构成。
在本研究中，机匣和转子模型都运用了固定梁模型。通过有限元模型法，机匣运动的微分方程如下：
公式中的是激振力矢量，是机匣的质量矩阵，是机匣的刚度矩阵，是机匣的阻尼矩阵，是等比例阻尼矩阵。
2.3离散支承模型
为了对一种带有多转子和机匣的复杂航空发动机建模，转子，机匣和支承之间的耦合关系需要仔细考虑。因此，在本次研究中，定义了四种连接形式：转子与机匣的连接，转子与转子间的轴连接，机匣与机匣间的弹性连接，机匣与基座的安装连接。通过综合使用这四种连接形式，多转子与机匣的航空发动机的整体模型便可以建立。
- 转子与机匣间的支承连接
每个转子与机匣（i=1,2,hellip;,N）间的支承包含有一个球轴承和轴承箱。假设轴承的外圈质量为，轴承箱的质量为，外圈与轴承箱的支承刚度为，外圈与轴承箱的阻尼系数为，机匣与轴承箱的支承刚度和阻尼系数分别是和。如图2所示，其中和是转子作用在支承的力，和是机匣作用在支承的力。假设支承连接了转子的第m个节点和机匣的第n个节点。
大体上来说，在航空发动机的设计上，轴承外圈与轴承箱之间安装的弹性支承的刚度为。弹性支承的刚度可以通过支承类型估算或通过实验测得。是轴承箱与机匣之间的刚度，根据连接特性，它可以简化为一端固定，其他端可以自由转动的圆柱形模型，刚度可以用有限元法估算。研究中，轴承外圈假设为与轴承箱相连，不能转动，内圈固定在转动轴上。假设转子第m个节点的位移为和。如果让x=-，y=，那么根据文献[11,12],滚子所受的力可以表达为：
这个方程中，是赫兹接触刚度，它可以通过轴承内圈，外圈与滚子之间的非线性赫兹接触弹性分析获得。H(x)是海维赛德函数，当函数的自变量大于0，函数值为1，否则函数值为0. 是第j个滚子的角度位置，则：
是滚子个数，是保持架转动速度，假设外圈半径为R，内圈半径为r，那么，omega;是轴的转动角速度。
因此，轴承外圈运动的微分方程为：
这里的和是阻尼力，如果考虑粘性力，则：
此外，阻尼力是非线性的，它可能会随着SDFs和其它非线性阻尼上升。
- 转子与转子间的联轴器连接
假设左边转子的第i个节点通过联轴器RR（k=1，2，hellip;，N）与右边转子的第j个节点相连。联轴器的径向刚度为，轴向刚度为，径向阻尼为，轴向阻尼为。那么左边转子第i个节点的位移分别是
，，，，速度分别是，，，，右边转子第j个节点的位移分别是，，，，速度分别是，，，，作用在左边转子第i个节点上的力和力矩分别是，，，，作用在右边转子第j个节点上的力与力矩分别是，，，。可得方程：
总的来讲，联连接形式有齿轮联轴器，膜片联轴器，法兰螺栓连接。连接的径向刚度和轴向刚度可以通过连接形式和结构估算，也可通过实验测得。
- 机匣与机匣间的弹性连接
机匣间的弹性连接（k=1,2，hellip;，N）连接了机匣1的第i个节点和机匣2的第j个节点，它的径向刚度，轴向刚度，径向阻尼，轴向阻尼分别表示为，，，，机匣1第i个节点的位移分别是，，，，速度分别是，，，，机匣2第j个节点的位移分别是，，，，速度分别是，，，，作用在机匣1第i个节点上的力与力矩分别是，，，，作用在机匣2第j个节点上的力与力矩分别是，，，。由此可得：
通常情况下，机匣之间通过螺栓连接，其刚度和，可用有限元法估算，也可用实验测得。
- 机匣与基座间的弹性支承（安装节点）
机匣与基座之间的弹性连接（k=1,2，hellip;，N）连接了基座与机匣的第i个节点，其支承刚度为，阻尼为,机匣第i个节点的位移为，，速度为，，作用在机匣第i个节点上的力为，.由此可得：
这里的机匣与基座的支承刚度可以通过有限元法估算或实验测得。
2.4转子-轴承-机匣有限元连接模型求解
因为在转子-轴承-机匣有限元耦合动力学模型中独立坐标的数量很多，还存在许多非线性因素的影响，所以研究中采用了时间积分法来对模型的响应求解，这是一种结合了隐式Newmark-beta;法和改进过的隐式Newmark-beta;法（翟法[13]），转子-轴承-机匣有限元耦合动力学模型如图3所示。
这种综合求解法的优点有：（1）Newmark-beta;法适合求解转子-机匣有限元模型，翟法适合求解集中参数支承模型，使得综合求解法适合求解这种复杂的耦合模型。（2）转子和机匣连接模型不需要建立庞大的矩阵，大大减少了计算量。
转子所受力
模型模型
机匣所受力
模型模型
隐式积分法
隐式积分法
显式积分法
转子响应
机匣响应
机匣与转子响应
转子有限元模型
机匣有限元模型
模型模型
图3. 转子-轴承-机匣有限元耦合模型求解
3基于转子试验台的模型验证
3.1基于转子-球轴承试验台的验证
转子-球轴承故障试验台（沈阳航空发动机研究所）能够有效模拟航空发动机转子和轴承的常见故障，试验台和动力学模型如图4所示。
转子-球轴承故障试验台包含了一个转动轴，一个转动阀盘，一个法兰盘，两个支承，一个发动机和一个齿轮箱。模型中，是转子阀盘，是与齿轮箱输出轴相连的法兰盘，和是两处支承，,,和分别决定了转轴每部分的位置，所以实验参数均通过实验验证，最终实验和仿真结果表现出很好的连续性。
研究采用了在支承状态下利用锤击法对试验台的模型进行分析。主要使用的设备包括一台NI9234型的运动信号采集模块（NI公司），一个30927型号的激振锤（ENDEVCO公司），一块4805型的ICP加速度传感器（Bamp;K公司）。实验采用多点激振，单点测量法。建立了转子-支承耦合动力学模型，通过调整仿真模型的参数，仿真模型的模态参数
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