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柔性机械手臂的动态优化设计
Ganesh S. Hegde bull; M. S. Vinod bull; Alok Shankar
摘要：柔性机械手臂动态优化设计（ODD）的一个封闭形式的解决方案是考虑将其连杆看成是欧拉 - 伯努利梁。在动态优化设计过程的规划中，动态方程的有限元模型（FEM）可以求解刚度最大化和质量最小化问题。连杆末端变形量的最佳预分配参数和最大有效载荷能力限制了机械手的输入。冗余的渐进式串联形式作为目标函数可以通过最优临界理论来解决，临界理论介绍见附录。临界理论的原理在于，动态系统在物理载荷的作用下，随着运动的进行，控制系数逐渐增加，而控制变量逐渐减小。从理论上分析，机械手的链接处被认为具有两个自由度(DOF)----在每个节点处都有一个挠度和一个转动自由度的回转关节。在基于更高生产率和更高精度要求的告诉工业机器人中，刚度最大化和质量最小化的原则已经准备被用来论证动态优化设计（ODD）的过程。在动态优化设计的问题中，挠度、速度和加速矢量被认为是控制系数，刚度、阻尼和质量则被认为是控制变量。
关键词：柔性机械手臂、动态优化设计（ODD）、临界理论、欧拉-伯努利梁
符号列表/命名
ai 输入系数
b 输出结果
d 梁高
g 重力加速度
m 单位质量
t 梁的厚度
u 位移场
A 横截面的面积
[C] 减震系数矩阵
[D] 弹性矩阵
E 弹性模量
{F} 力矢量
I 惯性力矩
[K] 刚度矩阵
质心的距离
L 连杆长度
[M] 质量矩阵
形函数
T 扭转力矩
V 自由变形程度
位移矢量
速度矢量
加速度矢量
接口变量
转动自由度
频率
密度
1 引言
机器人在物料搬运、自动化生产、危险环境作业、太空应用等多种应用领域，具有刚度高、质量低和几何尺寸大的要求。通过计算出能够提高刚度、减少质量的弹性连杆的长度与横截面积，使连杆在动态工作条件下也能够有效地运行。就机械手而言，连杆工作时，在弹性载荷的作用下，会发生很大的弹性变形。这就需要在考虑机械手动态性能的条件下，优化其几何尺寸，动态性能与弹性连杆的质量（惯性）、阻尼和刚度有关。用临界设计的方法，惯性要被最小化，刚度要被最大化，还要对阻尼进行优化，这不仅关系到生产率，也关系到施工成本。这种柔性关节机器人的设计具有更高的载荷能力、更低的功耗、提高可操作性、并降低被关注Simo 和Vu-Quoc（1986）和Wang 和Vidyasagar（1991）的作品工程费的要求。这里的重点不是提出了操纵连杆的动态设计，SIMO和Vu-Quoc（1986）和Wang 和 Vidyasagar（1991）指出了在机械手的控制中，弹性梁动态的重要性。动态模型和柔性机械手控制的研究（Chang 和Gannon 1990）并没有对优化问题进行处理。Chang和Gannon（1990）的研究，也只是对单链路机械手的动态建模。Tadikonda、Baruh（1992）和Buffinton（1992）提出的不同的控制方案已被用来解决移动关节型机械手的振动问题。Tadkonda 、 Baruh (1992) 和Buffinton (1992)对平移关节机械手动力学与控制方面的问题进行了建模与处理。就动力学而言，被Coleman 和 McSeeney (2004)用于辊支承的笛卡尔机械手的共振特征值的计算已成为了人们很感兴趣的话题。
基于蒙特卡罗方法和顺序编程（SQP）的方法，即在给定的工作空间内刚度最大化的设计(Kim 和Tsai 2003)已经实现。尽管Kim和 Tsai (2003)使刚度最大化，成功地优化了链路设计，但对其动态的考虑仍不明显。在早期的研究(Wang 1994)中，公布了通过对弹性机械手形状的优化，可以使基频显著提高。近来的研究(Russel 2003)中，对弹性链路在质量约束下，固有频率最大化的几个优化问题已被解决。通过使基本固有频率最大化，对链接的几何体再一次进行了优化(Wang1994)。过阻尼设计虽然解决了振动问题，但增加了设计成本；欠阻尼设计由于稳定时间的延迟会使生产力越来越少，因此也不希望被采用。临界阻尼是最优动态设计（ODD）的目标，它可以使从振荡到稳定的时间最短。Russel (2003)的研究表明，单链路柔性机械手端部挠度较大会造成位置精度与操纵舒适等方面的问题，并且不能满足生产率的需求，其最小挠度则与重点负载和形状优化有关。Russel (2003).
柔性机械手的刚度低会造成它在高速运作时的振动问题。高精度机器人的操纵链动态终点的挠度必须限制在其准确操作的指定范围内。在实时操作中，柔性连杆的振动应该在最短的时间内得到平息，以避免在操作中产生延迟。振荡阻尼的时滞导致了在用机器人生产时，生产力的下降。刚度、速度、加速度的最大化以及重量和端点挠度的最小化开创了在柔性机械手动态优化设计(ODD)过程中一个具有挑战性的平台。承受重型载荷的机械手如喷涂机械手喷枪的端部、重型物料搬运机器人，其终点的挠度很大，为了获得较高的准确度与分辨率，弹性连杆在高速运作时起终点的挠度就要最小化，直到达到指定的范围内为止。
本文的主要目的是利用临界理论(Hegde 2007b)建立一个在固定载荷的作用下，包含所有优化参数的单一不定方程。本文的目标是为被看成是欧拉--伯努利梁并在每个节点处具有两个自由度的转动连杆合成最优尺寸。临界理论(Hegde 2007b)认为n维空间是一个无限的不确定系列，并解释了n维空间中的一个系统临界变量。冗余系列有n项，每项都是一个变量与其系数的乘积，可通过减小这些项来求取优化过程的平衡。优化理念可参考附录。被视为欧拉----伯努利梁的弹性连杆有两个节点，在每个节点处，自由度是是一个横向变形和一个绕机械手关节轴线的转动。非线性工程系统已由Hegde 的PIANO(非线性引物连接优化算法)解决，这种方法通过适当的改变，也符合临界理论。可以用Thomson (1982) 和Zienkiewicz (1986)研究过的有限元动态模型为弹性连杆建立动态优化方程。Thomson在1982年写过一本书，讨论了多元化系统中的振动问题，包含有静力、惯性力以及摩擦阻尼的动力学方程就是出自这本书中。然而，1986年Zienkiewicz给出了质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，可以用来建立有限元动态方程，该方程可以用临界理论解决，其中，临界优化理论在动态优化设计中是被当做数学处理工具来用的。然而，到2007年Hegde等人发表的作品(2007a)才证明了临界理论的有效性，并将其用到了结构的非线性优化中，这也是临界理论作为一种新的方法被首次应用的证明。在有限元方法的变换方式中，为位移场假设一个测试函数，就可得到形函数。这些形函数可以用来求取物体的刚度，质量矩阵用在欧拉----伯努利梁的单元中，这在参考文献(Zienkiewicz 1986)有详细介绍。临界理论在有一个方程和多个变量的不定系统中的应用证明了其适用性，这是被Hegde等人证明过的(2007a, b, c)。
本文为柔性回转机械臂合成尺寸的设计和优化提出了完整的、清晰的设计意图，根据运动学方程（牛顿定律），质量与加速度的乘积表示惯性力，速度与阻尼系数的乘积表示阻尼力，刚度与挠度的乘积表示静态力，将这些力综合起来，就等同于端部所受载荷。本文的主要目标是最大限度地提高速度与加速度，这样可以使高精度高速机器人的生产率显著提高。尽量减小端点的挠度，减小质量，增加刚度，并使阻尼合理可以提高机械手的精度与分辨率。因此，速度和加速度被认为是控制变量，质量、阻尼和刚度被认为是控制系数。控制变量与控制系数之间的平衡可以用临界理论来建立。在附录中可以看到，优化条件是不定方程的系数的升序排列，同时，一些正变量（速度、加速度和挠度）是按递减顺序计算的，从而使变量与系数之间达到最优平衡状态。
在目前情况下，欧拉----伯努利梁被用到单连杆柔性机械手的动态分析中，梁有四个自由度（DOF），因此，单位刚度矩阵和质量矩阵有四阶（4*4方阵）。重力载荷是梁的唯一约束，力的方向垂直向下，为该力附加权重，则该约束由单位质量矩阵的秩来分配。在第一和第三对角线上的元素，作为最大值，对梁的单位长度来说，被认为是解耦方程在动态优化设计过程的运用。在知道参数被设计者限定的情况下，动态优化设计方法论提供了一种优化连杆尺寸的封闭方法。增强型刚度建模的分析处理和其实验特征描述为证明刚度对机械手设计的影响提供了依据（Alici等人2005年），Alici等人（2005）用稳定输入整形技术来降低柔性关节机械手的振动，这种理论分析与实验研究，促进了这种系统的动态设计。Wai 和 Chen (2006)通过自有神经网络模型研究了具有动力执行器的两连杆机械手的位置控制。Dixit等人研究了具有圆形横截面的机械手的形状优化（2006），不论回转性还是平移型关节的连杆，都可以被视为欧拉----伯努利梁，从而分析其固有频率；这里的限制因素是连杆的质量和其尖端的挠度。Dwivedy 和Eberhard则依据机械手的建模、控制与实验研究等，在文章中提出了分类研究的方法。
临界优化理论的原理是动态系统在物理载荷的作用下，随着运动的进行，控制系数逐渐增加，而控制变量逐渐减小。其中，不定方程代表动态系统的进程，系数的升序排列代表控制系数的增加，临界变量逐渐减小的数值代表控制变量的减小。在此次优化问题的规划中，代表控制系数的挠度、速度、加速度等矢量是逐渐增大的，作为设计的预分配参数，代表控制变量的刚度、阻尼与惯性是逐渐减小的，作为设计变量；其约束则是它的最大工作载荷。临界优化理论用于动态优化设计的方法可参考附录。
本文论述的主要内容包括：第2.1节讲述了有限元模型的基本方程和优化过程中的振动问题；第2.2节讲述了连杆的动力学分析与尺寸形状的合成；第3节论述了假设论证的结果分析；第5节作了简要的总结。在附录中做过简要介绍的临界理论是笔者的原创性新贡献。笔者声称，在动态优化设计过程中，通过不同实时接触可以找到单连杆柔性机械手尺寸的最优合成。
2 设计规划
本次研究认为单连杆柔性机械手在两端具有两个旋转关节，因此，一个具有两个节点的梁的单元，具有四个自由度，其中两个旋转自由度，两个平移自由度。
机械手的连杆为细长杆，其横向剪切力和转动惯量可忽略不计，所以被模拟为欧拉 – 伯努利梁，它的每个节点处都有两个自由度：一个挠度和一个角度偏差。欧拉 – 伯努利梁单元模型如图1所示。连杆的特征可以用以下参数来表示：
几何参数如
L —— 长度，
I —— 惯性力矩；
表示材料性能的参数如
m—— 单位长度质量
E —— 弹性模量
连杆通过在关节处施加的转动力矩来驱动。
图1 欧拉 – 伯努利梁单元
运动方程是从振动理论衍生出来的（Thomson 1982），这表明了动态方程可用于欧拉 – 伯努利梁。梁的惯性力用质量矩阵与加速度矢量的乘积来表示，阻尼力用阻尼系数矩阵与速度矢量的乘积来表示，静力用刚度矩阵与位移矢量的乘积来表示，把它们综合起来，就会得到等同于所加载荷的运动方程式。
在有限元分析中(Zienkiewicz 1986)，假设位移测试函数为
（1）
在节点处使用边界条件，通过测试函数可以得到位移场
（2）
欧拉 – 伯努利梁单元的形函数由下面（3）式给出
(3)
这里是形函数，描述了梁的变形，包括挠度和扭转变形。而单位刚度矩阵可由有限元方程来求得
(4)
这里 ，I为特征矩阵，L取决于所用单元的类型，它决定了要进行的数学运算，D是单位弹性矩阵，取决于应力——应变关系的类型。求解该方程，即可得到欧拉 – 伯努利梁单位刚度矩阵。质量和刚度矩阵可以从Zienkiewicz（1986）的论文中获得。梁的单位质量矩阵可以用有限元的方法求得，即
（5）
在图1所示的梁单元中，单位质量矩阵以式（6）的形式给出；其单元一致质量矩阵为
(6)
式中，是梁的单位长度的质量，会沿着梁的长度方向而发生变化。在有限元分析中，相同梁单元的单位刚度矩阵为
(7)
通过质量矩阵和刚度矩阵可以得到阻尼系数，并达到临界阻尼，实现连杆的振荡运动与过阻尼之间的最优平衡。
正如Thomson 所提出的（1982），欧拉 – 伯努利梁的动态可以由运动方程的形式来表示，即
（8）
式中，是单位质量矩阵，是阻尼系数矩阵，是单位刚度矩阵，是载荷，由下式计算
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