阻尼层合板模态响应的有限元预测
M. R. Maheri amp; R. D. Adams
Department of Mechanical Engineering, Queenrsquo;s Building, University of Bristol, Bristol B58 1 TR, UK
(Received 30 January 1995; revised version received 26 April 1995; accepted 5 May 1995)
摘要：本文采用有限元方法预测了自由边界条件FRP板（纤维增强复合材料层压板）的模态特性，并通过实验验证了预测结果。对于一些缺少动态特性数据的材料，包括热塑性基质材料PEEK给出了结果。此外，本文展示了如何使用改进的实验技术从而使理论和实验的阻尼结果更加接近。
关键词：有限元法，模态特性，分层复合板
- 介绍
聚合物复合材料本质上是阻尼材料。在弯曲振动中，阻尼程度将取决于诸如铺层方向、铺层顺序、频率和振型之类的因素。尽管对于复合材料层压板的模态特性已经进行了多项研究，这些研究通常只与固有频率与振型有关。针对阻尼特性进行的研究大多数都采用的是粘弹性模型。虽然粘弹性模型已经在附加阻尼处理中得到广泛应用，它在固有阻尼的纤维复合材料中的应用受到一定限制。
先前已经提出了一种阻尼机制，其中能量耗散可归因于由各个应力分量引起的可分离的能量耗散。该理论在之后的工作中得到了改进，并且通过进一步研究已经证实，使用改进理论可以很好地预测层压复合材料的阻尼特性。
虽然可以通过闭合形式分析来预测梁状复合材料的阻尼特性，但对于复合材料层压板，有限元方法通常是预测其阻尼特性的唯一可行方案。Cawley 和Adams开发了一种预测四边自由CFRP板的固有频率和振型的有限元计算机程序。理论和实验值之间的一致性很好。结果表明，频率和振型与铺层顺序和铺层方向有很大的联系。
根据Adams和Bacon，Lin等人的阻尼准则，包括上述有限元分析中的“阻尼单元模型”。该阻尼准则最初被用于平面应力状态下的薄层压板，并被扩展到包括两个横向剪切阻尼在内的总共五个阻尼分量，但分析基本上是Ni和Adams 对于梁分析的板等效。本文列出了有阻尼层状复合材料模态响应的实验结果，并将这些结果与使用有限元分析预测的结果进行了比较。并且进一步展示了如何改进实验技术从而使实验结果与理论预测更加一致。本文还考虑了模态特性随着板尺寸变化的变化，并测试了许多玻璃纤维和碳纤维/环氧基复合材料以及热塑性聚（醚醚酮）（PEEK）复合材料。
- 理论
2.1分层正交各向异性复合材料和有限元公式
在工程结构问题中应用有限元方法的基本目标是建立结构刚度矩阵，，
其中是应变位移矩阵，是弹性矩阵，后缀是指在整个结构体积上的元素分割。在目前的工作中，使用了八节点等参数板单元网格。假设每个节点有五个自由度，包括两个平面内平移和三个旋转自由度。由于不同的纤维取向，在层状材料中，应力可能因层而异，为了使层状材料的应力/应变公式适应板单元公式，必须要找到一个平均弹性矩阵，有：
其中是平均应力向量，是层状材料的应变矢量。一旦确定了矩阵，可以用标准有限元和本征解例程进行层压板的模态分析。
2.1.1 D矩阵（平均弹性矩阵）的计算
横观各向同性层压板中的单层的应力/应变关系可以写成：
或
其中是正轴（纤维轴）模量分量，这些分量是以五个独立的正交各向异性弹性常数（工程弹性常数）给出的：
在分量中， 和 分别代表杨氏模量和剪切模量，是泊松比。使用的后缀是参考纤维坐标系统（图1）并且对应于第四阶刚度张量的符号，
图1 纤维坐标系统
对于下标的意义约定如下：
应力/应变关系可以写作方程（1），条件是每个单层内的应力状态是平面内应力1,2和6，平面外应力4和5代表层间剪切。基于方程（1）的公式基本上是Mindlin均质板理论的延伸，因此意味着层压板的平面应变状态。此外，通常的假设是，在层压板的弯曲中，平面内应变线性变化，厚度方向横向剪切应变方向呈抛物线变化：
其中是层合板曲率，z是层合板厚度方向坐标，h是铺层厚度。
从每个单层（方程（2））的纤维坐标到层合板坐标的应力和应变矢量的转换是通过转换矩阵进行的。
或
其中
变换矩阵的形式如下：
其中
第k层的层合板应变能由下式给出：
其中为单层板的体积
与公式（4）联立得
总应变能可由下式求出
现在假设层压板的应变能是每个单层板各自应变能的总和，即
其中N代表铺层总数
由式（5）—（7）有
可以重新写作
其中是平板面积，和是第k层的上下坐标。将方程（3）中的应变矢量代入方程（8）替换掉等同项，得到平均弹性矩阵的分量：
2.2特征问题
就有限元公式而言，由方程（6）给出的应变能可以写成：
其中是节点位移。 同样，动能由下式给出：
其中是角频率（rad / s），是质量矩阵。拉格朗日方程给出了广义特征值问题：
从而
采用标准的特征解解法可以提取特征方程的特征值（频率，）和特征向量（振型，）。然而，值得一提的是，在目前的工作中，使用了Choleski对刚度矩阵的分解以及特征值节约器技术。这些技术大大减少了需要的计算机资源和计算时间，并且没有明显的精度损失。此外，通过许多方法可以克服由自由结构的振动引起的刚度矩阵的奇异性问题，例如本研究中四边自由板振动。在目前的研究中，使用了一种简单的转换方法，对方程（11）做如下变化：
矩阵不再是奇异的，并且可以反转以找到。经验表明，是保险且收敛相对快速的适当值。
2.3阻尼预测
比阻尼容量（SDC）定义为耗散能量的比率，为耗散能量，为在一个振动周期（应力周期）中达到最大应变能量
如果假设结构中的耗散能量是由于各个应力分量引起的各自能量消耗的总和，那么对于假设有五个应力分量的本次分析而言，方程（13）可以写成：
或
其中
是阻尼矩阵
通过类比上面的无阻尼分析（第2.1.1节），发现：
其中
类似地，把方程（9）中的由方程（16）给出的代替，就可以得到有阻尼的平均弹性矩阵分量。
假设线性阻尼结构不变（应力不变SDC）成立，则阻尼分量成为常数。通常在低幅值循环应力作用下的阻尼呈现线性。因此，通过在相关模式中（第3.1节）对由单向层组成的梁施加低幅值振动来求阻尼分量。
根据限元公式，耗散能量由下式求出：
其中是阻尼结构刚度矩阵，通过下式求出：
与矩阵不同，阻尼刚度矩阵不再对称。因此，对于任何振型，位移和应变能通常从无阻尼分析（分别是方程（12）和（10））中获得，随后通过将从式（18）代入式（17），并用和代入式（13）来求得SDC(比阻尼容量)。
- 实验
对四种不同的FRP材料进行模态评估（表1）。 实验包括对梁和板的测试。进行梁测试以获得分析预测所需的动态数据。这些数据基本上包括正交各向异性弹性特性（模量和泊松比），以及五种变形模式的阻尼特性。第二组测试在自由板上进行，以确定实验模态特性和相关的阻尼值。所有测试均在空气和室温下进行。
3.1本构数据的确定
通过使单向FRP梁受一阶弯曲振动来获得本构数据。模量和阻尼都可以使用稳态共振方法获得，其完整描述在别处给出。在稳态共振方法中，自由梁在节线处得到支撑，并通过安装在梁跨中处的线圈和磁铁进行稳态共振。同样位于跨中的第二个线圈和磁铁用作拾取单元。使用具有相关边界条件的伯努利欧拉分析导出梁的振型。然后，从方程（13）获得比阻尼容量，方程中的总应变能量可以由拾取单元测量的振型和跨中振幅找到.每个周期的能量耗散可以从驱动线圈的电流输入和拾取线圈上感应的电压推导出来。
纵向和横向模量和，以及相应的阻尼值和分别通过对0°和90°梁进行上述稳态共振弯曲振动的方法进行测量。用类似的布置测量剪切的动态特性。这种方法在其他地方也有充分的描述。对于横观各向同性材料，剪切模量和是相同的。剪切模量和与相应的阻尼值和可以通过使0°梁经受扭转振动（纵向剪切模式）而得到。同样地，可以通过使90°梁受到扭转振动来测量。然而，模量和相应的阻尼对板的模态行为影响有限，因此分别取与和相同的值。
表1 测试材料的动态弹性和阻尼特性
在表1中，列出了通过梁测试获得的数据。该表包括用于构成FRP板的各种材料的数据。随后将这些数据用于预测FRP板的模态响应。
在表1中列出了测试材料的厂家标号。第一和第二材料分别是使用DX-210环氧树脂基的HMS碳纤维和玻璃纤维。第三种是碳纤维增强聚醚醚酮材料，第四种材料是用C-TS碳纤维增强的913环氧树脂。表中也给出了材料的纤维体积分数。
3.2板上的模态试验
测试了矩形自由板以确定前六阶振型的频率和阻尼值。在某些情况下，还记录了节点模式的草图。随后将这些实验结果与理论预测进行比较。
3.2.1板阻尼测量
依据测试的具体情况，阻尼测量采用了瞬态和稳态共振方法。在瞬态测试中，通过棉线将板悬挂在节线上的两个点上（已经使用有限元预测估计了节线的位置）。使用带有尼龙头的特殊锤子，在非节点处轻轻敲击样品，并将板的实时响应馈到FFT动态分析仪。分析仪能够“细化”共振峰。随后使用预编程的计算机使用带宽方法从细化峰值数据计算阻尼。由于所有的数据传输和计算都是由计算机自动完成的，因此zoom-FFT方法是一种快速便捷的阻尼测量方法。然而，在FFT分析仪上使用了一些“窗函数”技术来产生细化的谐振峰值，并且没有办法直接验证zoom-FFT方法能够多大程度地准确反映实际结果。
在可能的情况下，使用麦克风来拾取信号。然而，有时环境和仪器噪声导致难以获得足够清晰的信号以供进一步分析。在这些情况下，必须使用加速度计。加速度计仅拾取板的响应，但是由于加速度计连接到板上，会产生一些附加阻尼。
这里采用的另一种测量板阻尼的方法是采用共振幅值自由衰减的测量方法，在这些测试中，使用一个可以接收变频信号的扬声器来激振（注意在扬声器和板之间留出足够的空间，以避免在测量自由衰减响应的过程中在两者间产生“风泵噪声”）。使用激光干涉测振仪作为一种非接触测量振动的手段（图2）。一旦将板调谐到固有频率，切断扬声器的电源并记录来自激光干涉测振仪的自由衰减信号。随后根据自由衰减结果计算阻尼。
激光拾取器和麦克风都是非接触式传感器，有助于最大限度地减少外来阻尼。与麦克风不同，激光干涉仪仅响应振动源，因而在使用激光测量时可以取得更低的噪声/信号比。在板上少量地使用一种特殊的反射材料来反射激光。这只是一小块材料，类似于悬挂线，使用最少量的粘合剂粘附到板上，预计不会引入显著的外来阻尼。
3.2.2振型
为了最大程度地减少约束进而减小阻尼，将板的两个节点位置放置在橡胶海绵软尖头支撑件上，并且将非节点位置放置在电动振动器驱动杆的橡胶尖端上，后者提供振动源。然后使板在共振频率下经受稳态振动。将干沙撒在板上。当沙子在节点位置处沉降时，便可以记录振型的草图。
图2 使用激光测振仪测量自由衰减阻尼
在低阶振型下振动幅值相对较高，只产生了几条节线，振型图相对容易绘制。经验表明，即使在振动幅度较小的较高振型下，仍然可以通过改变激励位置和支撑的位置以及通过微调频率来获得许多振型。
4. 结果
结果在表2-10中给出。 比较了频率和阻尼的实验和理论结果（实验结果放在括号内）。板尺寸在表的底部给出。然而，尽管这些表中呈现的节点图案（振型）是预测结果，但它们与实验振型的一致性已得到验证。
大多数情况下，预测的频率与实验结果非常接近。最大差异约为 9％（振型0-2，表3）。这是非常合理的结果，在预期的实验误差范围内。
表2 八层（全0°铺层）玻璃/DX-210玻璃纤维板的模态特性
表3 八层（0，90，45，-45铺层）HMS/DX-210 碳纤维板的模态特性
频率的差异主要是由于纤维的不对准。 可能由于板存在的一些缺陷以及在使用模具铺层时由于施加压模力可能使纤维的平直性难以保持（有2-3°的偏斜）。
正如预期的那样，相较于频率的理论预测和实验结果之间的差异，阻尼值的理论预测和实验结果之间的差异更大。阻尼结果的最大差异约为-52％，发生在CF / PEEK（碳纤维增强聚醚醚酮）试验组结果中（振型2-0，表5）。使用zoom-FFT方法获得表2—表7中的结果。尽可能地使用麦克风进行信号采集，但如之前所说，在许多情况下，必须使用加速度计。从这些结果可以看出，通常预测的阻尼值会低于实验结果。并且阻尼值越低差异越明显。这些结果可以表明外来阻尼是导致理论实验阻尼值差异的主要原因。由于连接
资料编号：[4575]
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