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第三部分
有限元在复合材料中的应用
这本书的一部分建立在第二部分所介绍的有限元分析的基础之上。在第一章中，考虑了将有限元应用于复合材料时出现的特殊问题，特别是材料的层状性质。第二章论述了有限元分析中复合材料的定义。
复合材料与有限元分析
5.1 用于复合材料层压板分析的元素
复合材料的层状特性意味着在复合材料的有限元分析中只能有效地使用某些元素类型。理论上，用一层代表复合材料层的砖块堆叠三维砖块元素是可能的。然而，由于两个原因，这通常是不切实际的。如果上铺的层数超过几层，并且呈现了真实的结构，那么运行这样的模型将非常昂贵。此外，通过相对薄板的厚度分层砖元导致非常病态方程组。由于这些原因，砖倾向于只用于复合材料层非常厚和几何形状比板更坚固的地方（不是很常见），或者材料中存在三维应力场的地方，因为可能发生在板的自由边缘。在后一种情况下，应力场的 3D 特性仅在较短的长度（通常为 3 C5 厚度）上显著，可使用该区域的小型 3D 子模型。注意，这些限制不适用于后面讨论的复合固体板单元。
图 5.1 显示了仅有平面内位移的典型四节点四边形 (quad) 平板单元。这被称为 2D 砖块或薄膜（因为它只能承受材料平面内的应力）。这种单元被广泛地应用于复合材料分析中，用以模拟平板的平面内行为。但是，必须注意确保应力和位移均为零出单元 s 平面，否则模型无效。对于分层复合材料，这取决于片层的方向。如果布局不平衡，则无法使用此 2D 元素。
在实践中，通常采用某种形式的板或壳单元。典型的九结点壳单元如图 5.2 所示。壳是按照它的中平面而不是整个体积建模的。标准弯曲理论假设应变仅在整个髋臼杯厚度内具有恒定和线性变化组合
5.1 四节点二维固体单元
5.2 九节点 Mindlin 壳单元
然后使用有限元在复合材料中的应用。这意味着髋臼杯的变形可以通过髋臼杯中等厚度表面的拉伸（对于恒定应变组件）和旋转（对于线性应变组件）来定义。
二维实体单元和一般平板单元都可以四边形或三角形的形式出现。它们都有节点的角落的元素，有些也有中间节点。少数具有内部节点，如图 5.2 所示，这对于提高髋臼杯弯曲性能的准确性尤其有用。一般来说，单元上的节点越多，有限元网格就越粗。对于给定节点数的网格，单个元素的节点数越多，结果越准确。
如果壳是薄的，那么壳理论就能很好地描述它的行为。假定应用于复合材料垂直于中表面平面的方向有限元中没有应力或应变。有了这种理想化的特性，只需要将位移和旋转定义为元件中表面平面上的自由度。然而，如果使用经典的基尔霍夫薄壳理论，就很难推导出非非常简单（矩形）几何形状的有限元。这是因为需要对横向位移进行两次微分，以获得弯曲应变。在这种情况下，形状函数的定义和任意形状单元雅可比矩阵的确定并不简单。取而代之的是其他贝壳理论，通常是 Mindlin 理论。这允许产生横向剪切应变，因此弯曲应变采用表格 5.1 的形式，其中 prime 表示这些是平面中局部坐标和垂直于中厚表面的坐标和位移。
其他弯曲应变还有其他相似的术语。这个应变的定义只需要找到一阶导数，这大大简化了雅可比矩阵的确定。此外，该公式允许横向位移 w 和旋转 qx 和 qy 相互独立地插值。
这就大大简化了形状函数的定义。表单的标准形状函数可以使用
其中第 i 个节点的形状函数 Ni 是许多 2D 膜板和砖元素使用的标准简单形式
Mindlin 理论允许发生剪切应变，因此这些必须也包括在单元行为中，并采用典型形式（厚度不变）
事实上，横向应变在整个厚度范围内不可能是恒定的，因为它们在板的顶面和底面上必须为零，而且它们通常在一定程度上随厚度呈抛物线形变化。因此，Mindlin 理论中的横向剪切代表平均穿透厚度值。对于薄板来说，厚度变化的结果是二阶的，这个平均值足以保证良好的精度。然而，正如后面所讨论的，如果使用剪切校正因子来解释整个厚度的变化，在使用复合材料时必须谨慎。
一个典型的 Mindlin 壳单元如图 5.2 所示，这是一个有 9 个结点的四边形单元。每个节点有六个自由度，三个平移和三个旋转。它们在全局坐标方向上起作用，允许壳体元件以通常的方式组装。有可能定义一个 8 节点的版本的元素，没有中面节点，但对于一般的外壳弯曲的中心节点是非常有利的，使形状函数，以更好地确定曲率的外壳。它在更好地描述几何形状方面具有相同的效果；八结点四边形形式倾向于将几何形状固定在单元的中心，因此，通常球面形状是相当扭曲的。
要使元素有用，它必须通过分片测试。对于薄壳，这意味着它必须重现常量纯弯曲的任何数额的元素失真。这在图 5.3 中针对 9 节点四元组进行了说明。扭曲元素的网格（左上角的窗口）建立了一个简单的方板模型，这个方板被支撑，所以刚体的运动只是被抑制（右上角的窗口）。沿平行于 y 轴的两条边（左中）以相等和相反的力矩加载。弯曲变形相对复杂，因为它包括抗碎屑曲率（中间偏右）。然而，通过顶面的直接 x 应力是恒定的，其他应力分量为零（下窗）。元素通过了分片测试。
与 Mindlin 元件相关的一个重要问题是，基本公式仅需要弯曲接骨板的旋转自由度。如果结构是一个单一的光滑表面，那么只需要三个平移和两个弯曲旋转自由度（总共五个）。然而，这种光滑的几何形状并不常见，必须包括所有三个旋转，每个节点的自由度为 6。第三个旋转是围绕法线到平面的平面内旋转。通常称为钻孔旋转，如图 5.4 所示。这是平面内自由度，但不是自然自由度，难以适当纳入平面内应变定义中。在大多数有限元系统中，它被看作是一个虚拟的自由度，与单元上的任何其他自由度都不耦合。
5.3 九节点 Mindlin 壳元的分片检验
5.4 九节点 Mindlin 板单元的钻孔自由度。
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5.5 八节点半 Loof 板单元。
它必须有一些与之相关的刚度，以防止刚度矩阵是奇异的，通常被指定为具有任意小刚度。对于线性问题，虚拟钻进刚度的精确表达式并不十分重要。然而，对于非线性问题它可能是重要的。如果不小心定义它，那么它可以具有用于结构平面内刚体位移的平面内刚度，这可以为较大的缺陷和屈曲响应提供显著误差。对于非线性动力学问题，为了在全局坐标系中保持正确的惯量，钻孔自由度必须有一个指定的质量（通常等于两个平面外旋转的平均转动惯量）。
有可能形成一个四结点的 Mindlin 壳单元，但必须注意所使用的数值积分方法。横向剪切项必须被整合到比精确整合更低的次序，以防止元件显著过度僵硬。其结果是，该单元具有一些零应变能的非刚体位移形状，即所谓的时玻璃化模式，如果边界没有得到足够的支持，这些模式可以在整个结构中传播，并导致可笑的结果。
如何处理钻孔自由度的问题已经用半 Loof 单元解决了，如图 5.5 所示。该单元的典型形式有八个节点，三个全局平移作为节点的自由度。此外，它有两个沿着每一条边的局部旋转自由度，它们位于通过高斯积分点与直线相交的边缘上的点，即 Loof 点。这使元件具有 32 个自由度。由于旋转不在拐角处，只使用局部旋转，因此不需要将其转化为全球组装方向，也不需要钻探自由。这个元素的一个明显的问题是自由度发生在节点以外的点，需要非标准的装配过程。该单元还考虑了横向剪切应变的影响。对 Mindlin 和 semi-Loof 元素的行为进行的比较表明，它们在准确性和效率方面具有可比性。
5.6 十八节点实心板单元。
另一种形式的壳元是实心壳，如图 5.6 所示，它具有实心元的几何定义，但具有壳元的性质。该元素有任意数量的节点，这取决于实际的公式，但只有两个节点通过其厚度。图 5.6 中的元素在上表面有 9 个节点，底部有 9 个节点，没有中厚的节点，给出了一个 18 节点的元素。每个节点只有平移自由度，因此没有明确定义旋转自由度，钻孔旋转也没有问题。它与图 5.2 中的九节点 Mindlin 板单元具有完全相同的自由度数。单元平面上的平移位移分量既定义了单元的拉伸，也定义了单元的弯曲。顶面和底面上的一对结点的平均值等价于面内拉伸，它们的差值除以壳体厚度即为中面旋转。
Mindlin 髋臼杯和实心髋臼杯的自由度并不完全等同。实心髋臼杯没有钻孔自由度，但它有两个贯穿厚度的平移自由度，允许贯穿厚度的直接应变（和应力）发生，而 Mindlin 元素没有。使用标准的砖块元素来模拟形状是很有可能的，但是，如果这样做，就会发现传统的砖块是过硬的，而且板越薄，它就越硬。
为了克服这在固体壳体中使用了修正的应力应变关系。这里假设单元中表面的局部应力和局部穿透厚度应力之间没有泊松耦合。因此，在由局部中面方向定义的坐标系中，材料应力应变矩阵具有以下形式
术语 E11、E12、E21、E22 是平面内直接应力应变特性，具有对应于二维平面应力特性的数值，E44 是平面内剪切模量，E41、E14、E42、E24 是平面内剪切耦合项，通常为零。E33 是整个厚度的杨氏模量，这与材料刚度矩阵中的任何其他项无关。其余项 E55、E56、E65、E66 为横向剪切项，与材料刚度矩阵中的任何其他项均不耦合。
然后，实心厚壳单元具有与九节点 Mindlin 单元几乎相同的行为。与 Mindlin 元件相比，实心壳体具有各种优势。它没有虚拟钻孔自由和元素可以通过堆叠板厚度，如果需要。它确实有一个主要的缺点，那就是通孔厚度的刚度使得它在求解过程中更容易出现舍入误差。用实心外壳模拟转角和其他连接也比较麻烦。然而，它确实有直接耦合到标准砖块元素的优点。
5.2 有限元解的精度
正如第 4.4 节已经解释过的那样，就其本质而言，有限元只是一个近似解，它只能保证平均满足一个单元的平衡。它不能满足比完整元素更小体积的平衡。显然，随着网格尺寸的减小，在越来越小的面片上满足了平衡。使用 FE 方法的艺术在于设计一个网格，以可接受的精度提供结果，但网格密度不会妨碍昂贵的运行。
网格的精细度对于线性静态问题很重要，但对于需要重复解方程的非线性和动态问题的分析尤其重要。
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网格的意义，以及如果网格过于粗糙时相应的精度损失，可以通过分析自身重量下的简单悬臂来说明（图 5.7）。模型完全固定在悬臂端。它已经用四个网格，一个 3 10 网格的四结点四单元，一个 9 30 网格的四结点四单元和同样与八结点四。这四种分析的结果如图 5.7 所示。图 5.7 (a) 显示了 8 节点四元的缺陷形状和沿着梁顶部边缘的直接应力分布。这两个网格的结果几乎相同。峰值位移为 23 mm，峰值应力为 48MN m2该协议意味着这两个网格已经收敛，结果准确。图 5.7 (b) 给出了四结点四分体的结果。粗的 3 10 目效果很差。峰值位移为 8.9 mm（约为高阶单元收敛结果的四分之一），峰值应力为 17MN m24 节点四边形的 9 30 目较细网格更接近于 19 mm 和 40MN m2 的收敛值，但仍显著低于收敛值。
有限元刚度矩阵的位移假设是指有限元单元的刚度过大，如 4.8 节所述。以上结果表明低阶单元的粗网格刚度过大。高阶单元的粗网格给出了更灵活的解决方案，网格越精细，解决方案越好。通常情况下都是如此，现在的标准做法是使用相对粗糙的高阶元素网格作为偏好，而不是使用低阶元素的精细网格。
从这一练习中需要注意的一点是，很少能够用位移或应力曲线的形式来表示。即使当误差非常显著时，结果的一般形状和模式也是正确的。当使用 FE 方法时，始终存在网格不够精细的危险。这可以通过使用不同的网格密度或不同的单元类型进行一系列运行并检查收敛性进行最好的研究。也可以通过查看跨单元边界的应力差异和应无应力的外部边界上的应力大小获得溶液中误差的一些指示。然而，这些数值的正确解读确实需要一定的经验。在一些系统中，此类判读以误差估计的形式实现了自动化（见第 4.7 节和第 4.8 节）。
5.3 对复合分析有用的其他建模技术
在讨论有限元法在复合材料分析中的具体应用之前，还将说明一些对复合材料有用的有限元建模的其他方面。复合材料通常作为层压材料和分层可能导致失效。在某些情况下，必须模拟分层的影响，如果使用弯曲元件，则需要特殊技术。其中一种方法是通过模拟分层区域中接骨板的两个半厚度和非分层区域中的整个接骨板来代表分层。然后有必要将模型的两个部分连接起来，这可以通过严格的链接来完成。
5.8 刚性连接、
考虑如图 5.8 中的粗线所示的刚性链路。这将节点 1 和节点 2 连接在一起，因此节点 1 的 r1 至 r6 位移与节点 2 的 r1 至 r6 位移相关。由于链路是刚性的，位移 r 和 r 相关如下：
上述公式定义了一个多点约束，可以用来将自由联系在一起。它可用于连接两块板（或横梁），使其表现为单个实体（参见第 4.6 节）。
为了说明多点约束 (MPC) 方程的使用，使用了图 5.9 所示的示例。这是一个简单的支承梁中心集中的力量加载，适用于中性表面。它已经用传统的光束元素线建模。此外，它已被模拟与中央跨度分为两半，梁沿着中心线的上半，和梁沿着中心线的下半。这两个中心梁的组合深度等于整个梁的实际深度。在完整梁模型中，顶梁和底梁上的所有相应节点都由刚性连接连接。
5.9 刚性连接示例
这是图 5.9 中的粗垂直线示意图。最后，只通过连接两个中心跨梁末端的刚性连接来模拟中心跨中出现分层的梁。当然，这些也是通过刚性连接连接
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