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第二部分：有限元分析的基本原理
在本书的这一部分中，我们回顾了有限元分析的基础。
从基础理论问题出发，开发该方法以显示如何导出元素，生成模型并处理结果进行分析。
sect;第四章：有限元分析的基础知识
4.1基础理论知识
本章不打算深入探讨有限元的理论问题。本书的某些读者可能熟悉有限元分析方法，并将其应用于分析复合材料和结构。但对于其他人而言，只有通过学习，我们才会将理论浓缩为自己掌握打我基础知识。本书有效的从有限元理论中去除了一些神秘感并着重关注了什么是重要的东西和什么是不重要的东西 - 特别是什么是精确的和什么是近似的。创造一个不健全的有限元模型是危险的，而不是只会获得不完全的答案。
厂家过度简化方法并鼓励用户将FE包视为“黑盒子”是适得其反的。他们的用户手册鼓励用户将有限元视为完整结构拼图中的碎片。因此，分析时仅需将拼图块插入正确的位置，并且它们将会因选定节点的位移和力保持在那里。在整个结构中，当外力加载时，节点处的位移和节点力会被确保连续变化。作为拼图块应变产生的节点力将与自身施加的力（以某种方式）保持平衡。 然而这种方法有两个问题。
首先，用户不知道什么是精确的，什么是近似的，在后一种情况下错误是危险的。其次，这些节点力是什么？它们是否会在应力场中引起局部应力集中又或者是平滑且逐渐变化的？答案是，即使它们是施加其上并相互平衡的力，这些节点力在通常的有限元方法中是虚拟出来的。上面说到说我们将去除一些神秘感， 对于希望获得更多信息的读者，我们将传授有限元分析的方法和基础知识。
我们从基础的结构分析开始，开始我们分析一个简单的例子，然后拓展为一个完全任意的结构。为了方便建模和满足分析要求，所有的结构都可以分为四个单独的（但相互关联的）部分进行。如图4.1所示。
以上假设通常旨在简化结构或组件的类型。 因此，构件是杆，梁，板，壳还是3D模型决定了假设构件应变或位移性质（有限元法的基础）：平面中的销端杆仅具有一个自由度。 细长梁或薄板可以有与厚度相关的线性应变分布。任何场都可能无法模拟3D连续体。
为了满足力的平衡方程需要加入结构抵抗变形产生的力，这个力可能是表面力也可能是内部（体）力。 如果结构处于运动中，那么力的范围可以扩展到包括“惯性力”。方程中应力，位移等都是时间的函数。在许多情况下，应变很小，忽略结构的形状的微小变化之后，就可能能够分析得到的结构的平衡方程。在不考虑由于材料失效而产生的非线性变化的情况下，我们只做如上的分析。更多的内容我们会留在后续章节讨论。
如果平衡方程足以使我们能够完全解决结构中的应力，则该结构被认为是静定的。在实际中，很少有结构是完全静定的。这种结构具有一个明显的缺点，即如果单个部件失效，则因为整个结构是一个整体它会奔溃。静定的结构非常不安全。但是至某些情况下静态确定性是一种优势，比如热传递显着的情况。静定的结构 应力仅取决于所施加的载荷并不受温度梯度的影响。 （协和式飞机内部的肋骨是这样制造的，它机翼中的燃料用于冷却非常热的外表面。）
如果结构是静不定或冗余的，那么接下来的两个条件和方程必须引入。
应变与位移相对应，如果位移连续变化，则可从位移中推导。这仅仅意味着，一旦我们定义了应变的含义，就可以用几何参数来表示位移中的应变：就像钢筋中的应变是长度的分数变化。相容方程既与平衡方程无关，也与应力无关，因此，如果有力加载到物体上，产生应变和应力，方程就不会受到影响。
应力 - 应变定律是应力和应变之间的关系，它是基于实验证据。在许多情况下，压力与应变成正比。在其他情况下，应变可以通过加热（或冷冻），或通过吸湿或通过电磁化学效应引起。值得注意的是，应力 - 应变定律与平衡或相容性无关。
为了说明这些单独的标准，考虑图4.2所示的非常简单的例子，即三个销端钢筋承受荷载R1和R2，并具有接头位移R1和R2。让中心杆也加热T度。
假设所有的杆都是销端的，因此只能抵抗轴向应变t，并拉伸了Delta;。
平衡方程如下：
兼容性：如果位移很小，那么在杆的两端，与杆成直角的位移组件将不会拉伸它。 只有与杆轴线方向一致的组分才会产生应变。
应力—应变方程：
其中E是拉伸（杨氏）模量，alpha;是线性膨胀系数
现在，置换解决方案很简单。假设所有杆具有相同的横截面积A，则应力 - 应变定律成为：
并使用相容性（方程式[4.2]）：
现在我们将这些力量放入两个均衡方程[4.1]并求解r1和r2：
注意，最后一组方程（两个）只是求解两个位移未知量所需的方程。他可以解决两个杆（静定的）或三个或三个以上（逐渐地，越来越多的冗余）的问题。这就是位移法的吸引力；我们不必担心冗余度。
该示例与传统有限元解决方案（除了少量未知数r1和r2之外）的唯一区别在于“元素”是精确的。 由于均匀的端杆具有恒定的应变，因此没有对位移的性质做出假设。
4.2虚位移定理
下一步是使用虚拟做工作为平衡条件的替代（这个方法的优势优势稍后会变得明显）。如果施加力（或应力）产生了位移（或应变），则虚拟功定义为力位移的乘积。这就避免了定义与平衡无关的力-位移（或应力-应变）定律。力-位移关系可能是非线性的，如图4.3所示。
我们现在进一步想象虚拟位移是虚假的，与真实的力或位移无关。 我们使用“单独”出来;等等
虚拟位移原理（PVD）简单地将内部虚拟工作等同于外部虚拟工作，因此在引脚连接框架的事例中：
这个相当重要的等式在我们使用兼容性条件之前完全没有给出任何信息。我们直接满足兼容性并将值插入上面，并重新排列
我们现在利用和的虚拟性质，比如说可以是零，在这种情况下，上面的静定理论中的单个表达式必须单独消失。这显然是之前的两个平衡方程（方程[4.1]），因此PVD是间接地执行它们的。需要注意的三点是：
- 只有因为和是独立的，我们才能得到两个平衡方程。
- 如果一个框架有n个位移，我们可以从n个虚拟位移中得到n个方程来求解。
- 从（例如）水平方向的位移，我们得到水平的平衡方程，用R1来解析T14和T34
在解决了这些问题之后，我们现在可以转向具有任意形状的一般结构。
4.3 任意结构问题
从一个简单的三杆桁架到一个完全通用的结构是一个很大的飞跃。我们需要更复杂的工具来描述结构及其荷载、应力和位移。结果表明，矩阵表示法在定义应力场和位移场方面是一个很大的帮助，而且，矩阵是读取或提取数字计算机存储器的理想工具。事实上，在20世纪50年代早期，有限元方法最初被称为“矩阵方法”。
图4.4表示具有体积V和表面S（局部法向“n”）的任意三维实体，受到单位面积表面力ps和单位体积内（体积）体力pv的影响.我们用笛卡尔坐标系将这些矢量力列出：
注意#39;t#39;上标表示矩阵的转置。
类似地，我们写作矢量的地方的位移。
请注意，这些组件p，u等可能都是x，y和z的函数。
根据三个直接和三个剪切分量，内部应力和应变也可以列为列矩阵：
读者可以查阅任何标准文本，了解应力符号的定义。这里，第一个后缀指的是方向，第二个后缀指的是应力分量作用的平面。因此，sigma;xx为正应力（拉伸正应力，压缩负应力），而sigma;xy为剪切应力，应变分量简单对应应力分量。
我们现在按照以前的程序进行操作。 有：
可以证明，应力对应变所做的内部虚功是：
下一步（如框架示例中所示）是将这两个表达式等效为工作表达式并强制实现兼容性。利用应变在某一点上的位移的几何定义，可以很容易地证明与e和u有关的一般方程是：
或者简单地使用矩阵速记为：
六乘三个运算符数组由以下组成：
然后PVD算法变成了：
这个最重要的等式是所有有限元推导的基础。 稍后我们将展示它会带来什么。为了证明我们在使用时实际在做什么，有必要使用从高斯定理导出的数学恒等式来变换方程：
这个标识实际上是一个部件的三维集成形式，可以应用于任何两个函数，而不仅仅是s和这里。 至关重要的是，这两个导数在区域V中是有限且连续的。我们稍后将PVD应用于分为有限元的体积，其中，在元素之间的界面上，我们认识到应力场s可能是不连续的，因此， 导数part;ts未定义。 但是，我们将这种可能性留待以后，现在专注于PVD提供的内容。 因此，以框架参数为例，我们需要将PVD中的术语part;转换为形式，然后变为虚功的本质。 因此，将高斯等式替换为PVD，它变为：
现在我们使用与框架相同的参数。位移u（x，y，z）是虚拟的，因此它们的系数必须消失，即：
这是物体内部和表面的平衡方程。如果我们通过扩展t s和p中的项来检验第一个方程，我们发现在x、y和z方向上有三个代表应力梯度的方程，它们平衡了三个物体力分量（如果它们存在的话）。第二个方程取表面上某一点的应力，然后取方向x、y和z（tn为方向余弦）上的分量，这些分量必须平衡表面压力Pvx等的分量。因此，我们现在可以依靠PVD来满足任何地方的平衡。下一步是FE近似。
4.4有限元近似
想象一下，如飞机或冷却塔等复杂结构的位移变化，如图4.5所示。 没有简单的理论可以实现这一点 然后，我们的想法是将结构划分为足够小的元素，以便可以假设移位的形状具有很小的误差，并且只需要找到位移的大小。 粗略近似可以是线性假设。
整个结构可以分为元素，元素可以是1d（线），2d（面）或3d（体）。图4.6显示了1d中一行元素的真实位移图，以及一个线性近似值，由于元素非常小，该近似值将非常接近真实值。现代预处理器使用非常强大（但友好）的算法来划分最复杂的形状。图4.7显示了一个六角形体元素的显示，其中元素被缩小，以便用户检查是否有丢失。
因为我们使用的是一个积分pvd，所以我们总是可以写完整的体积和表面积分作为所有元素积分的总和：
其中Sg和Vg表示第g个元素的表面或体积。
现在，本书并不打算深入研究有限元方法的细微之处，特别是个别元素。 只需描述基本概念并提及读者在阅读手册时可能需要了解的特定方面，理解代码，选择元素以及了解哪些错误不重要且哪些重要，以及如何减少或避免它们就足够了。为简单起见，假设我们用一个三角形网格覆盖平板，如图4.8所示，并假设该板处于2D应力场（sxx，syy，sxy），在任何点上都有均匀的应力。
几何图形由典型元素的三个节点的位置定义。如果我们假设位移场ut = [u，v]是线性的那么我们可以写u = a bx cy并根据三个水平位移d1，d3和d5找到系数a，b和c。三个角节点。我们将结果表达式重写为：
其中#39;形状函数#39;N（x，y）在这种情况下是线性的。 在第5章中，我们将讨论更加详细的形状函数，例如二次曲线，其中需要更多的节点来定义场。 N1，N2和N3的实际代数细节，对于N1来说，在节点（1）处需要是单位，在节点（2）和（3）处的零可以在参考文献1中找到。类似地，对于其他位移分量：
现在进行下一阶段的平衡方程讨论：
这个例子中6*6矩阵B只是一个常数数组，因为N是线性的。 因此，该元素是恒定的应变三角形。（注意，符号B也用于层压板理论;见第3章。）
我们现在假设应力 - 应变定律是线性的
其中E是6*6#39;材料刚度#39;矩阵，其元素包含各向同性材料的杨氏模量和泊松比。详细信息将在参考文献1中找到。
现在可以评估元素中的内部力：
但是dg显然可以在积分之外取得，因为B和E是已知的，因此可以对其进行计算。
因此，元件功=dt gkg g，其中
因为工作产品可以被视为dtgkg g =（kgdg）t g =力*位移=刚度*位移，因此被称为单元刚度矩阵。
pvd的右侧同样变为：
一旦我们知道了pv和ps的分布，这些积分也可以被计算出来，在我们看到的地方，这个外功也可以清楚地写为ptg dg。
显然是节点力。它们不是真正的集中力（会产生无穷大的应力集中），通常被称为“运动学等效”力，因为它们是根据位移形状函数n定义的。这些节点力的上述表达式只是从我们的pvd和元素积分自然产生的。它们是我们认为方便使用的措施。因此，我们可以看到，通过假设位移形状函数，我们能够计算任何元素的积分，因此也可以计算所有元素的积分。有限元法可以看作是一种数值积分方法。实际上，积分从来不是精确的，而是被积函数离散值的总和。
我们现在已经将内部和外部虚拟工作转换为简单的和，它只是总和
在最简单的情况下，如果所有单元位移dg与全局轴对齐，则可以从总位移全局列表中选择它们，通常写为：
式中，n可以是几千。整个系统的全部虚功（内部和外部）可以类似地写成r t k和r t，其中k是整个结构的刚度矩阵，r是运动等效力的全局列表。但这两个总和必须与前面的总和相等，因此，如果我们（或代码）确保我们将每个dg与r的正确部分以及以kg为单位的相关元素联系起来，我们可以象征性地写为：
更详细的内容可以在参考一中找到。
计算了了K和R后，PVD可以重新排列为：
如第4.7节所述，求解这组方程，其中，已知r，然后我们选择元素级别的特定值d，因此e=bdg，s=e e表示应变和应力。这是现代有限元方法的基础。我们发现位移场的性质是近似的，但相容性和应力-应变定律得到了精确的满足。因此，使用pvd来满足平衡意味着这些平衡方程只能近似满足。因此，是时候审视这意味着什么了。
我们注意到，通过将局部和全球节点位移等同起来，确保了结构的节点位移的连续性。 但是对于我们的三角形单元，节点之间的位移变化是线性的，因此整个单元界面的连续性也得到了保证
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资料编号：[1412]
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