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振动筛模型中的耦合模参数共振
Leonid I. Slepyan , Victor I. Slepyan
特拉维夫大学机械工程学院，拉马特·阿维夫69978，以色列
罗奇诺夫与合伙人矿业公司，基辅Korolyova大道2号，邮编：03134，乌克兰
摘要：我们考虑一个简单的振动筛在参数共振模式下的动力学模型。该模型在LPMC中应用于此类屏幕的设计和设置过程中。基于pr的屏幕与传统类型的此类机器相比更为有利，后者的横向振荡直接激发。它的特点是振幅值较大，对较大范围内的阻尼不敏感，该模型表示由线性弹性弦连接的两个等质量的初始应变系统。自平衡纵向简谐力作用于质量，在一定条件下，会导致弦的横向有限振幅振动。将该问题归结为一个由几何非线性耦合的两个常微分方程组。考虑横向和纵向振动的阻尼。对该质量弦系统的自由振动和强迫振动进行了分析和数值计算。证明了纵向和横向自由振荡模式之间的能量交换。对于受迫振动，我们找到了一个精确的解析解，其中耦合起着稳定器的作用。在一般的情况下，谐波分析忽略了高次谐波，确定了稳态非线性振荡的所有参数的显式表达式，证明了了解析得到的稳态振荡区域是稳定的。在存在稳态振荡的频率范围内，分析和数值两种方法得到的振幅完全一致，给出了基于分析和数值模拟的图解。
关键词：振动筛参数化运行；共振模式；参数耦合二度；自由制度；幅频特性；非线性动力学方程；解析解；数值模拟
- 导言
在本文中，参数共振（pr）被考虑在一个与基于pr的振动筛相关的系统中，如图1。
2007年，在讨论现有筛网的缺点时，我们想到了制造这样一台机器的想法。2009年，我们就筛网的激振方法和相应的筛网结构颁发了专利[1]。当时，我们对这种机器的非线性动力学进行了数值模拟，并首次基于pr的可控硅（scr）。EEN成立于罗基诺夫和合作伙伴矿业公司（乌克兰基辅）。基于pr的屏幕与传统类型的此类机器相比更为有利，后者的横向振荡直接激发。它的特点是振幅值较大，在较大的粘度范围内对耗散水平不敏感。
图1。振动筛及其最简单的型号。在屏幕照片中：振动器（1）、底座（2）、固定筛子的横梁（3）、振动筛（4）、侧弹簧（5）和筛（6）（主要在盖下）。模型中：端部质量可以反向同步运动。水平方向，而弦可以横向摆动。这两种振动模式是耦合的，因为拉力取决于质量的纵向位移和弦的横向位移（后者的相关性是非线性的）
这里考虑的模型或类似的模型也可以在其他一些PR应用程序中使用。同时，基于pr的机器的稳定运行假定了正确的设计和设置，这可以在对其动力学进行数学分析的基础上实现。我们现在从分析和数值的角度来考虑这个问题。数值模拟有助于优化区域，其中参数振荡被激发，并且分析获得的稳定振荡区域是稳定的。分析和数值模拟均用于结果的说明和验证。
该问题用两个耦合非线性方程组来描述。我们找到了这些方程的精确解，它存在于横向振动没有阻尼的情况下。这个解对应于一个恒定的拉力。这些方程看起来是非耦合的线性方程；然而，该解是有界的，唯一的定义是，在这个已建立的系统中，非线性为零。在一个问题参数域中，由于“背景”中存在非线性，它是稳定的。在这种情况下，联轴器起着稳定器的作用。用数值方法证明了瞬变状态是如何在时间上接近的，这是通过分析确定的。
接下来，我们考虑一个更普遍的，真正的非线性系统。我们使用忽略高次谐波的谐波分析。在所考虑的情况下，后一种简化对所得结果几乎没有影响。给出了纵向和横向振动振幅随外力振幅和频率变化的显式表达式。值得注意的是，在共振激励的情况下，外力频率与自由纵向振动的频率一致，振幅与粘度无关。在这种情况下，非线性限制了振幅，阻尼提供了稳定性。
针对非线性问题，采用线性化方法确定了频率振幅平面上的pr域边界。在线性分析预测的频率范围内，实际非线性问题中会出现PR，略微向高频偏移。结果表明，该区域存在一个亚区域，在数值模拟中，解析得到的稳定振荡区域可以高精度地再现出来，稳定的PR区域可以存在于具有中等非零阻尼水平的频率结构相关范围内，横向振荡、规则振荡或IRR振荡边界上不存在明显的、突然衰减的Pr区，给出了其幅频特性和一些Pr区的实现。
在强制公关制度之前，我们考虑了完美结构的自由振荡。证明了纵向和横向振型之间的周期能量交换。特别地，它表明周期随着能量的减少而增加。请注意，在某种意义上，这一制度类似于弹簧摆系统（Vitt和Gorelik[2]、Lai[3]、Gaponov Grekhov和Rabinovich[4]）
在过去，参数共振主要被认为是一种不可取的现象，但也有人试图利用它来获得对激励的更大响应。相关问题主要（但不仅限于）在微型设备应用中进行了研究（例如，巴斯卡兰和特纳[5]，Roads等人。[6]，Krylov[7]，Krylov等人[8–10]、Fey等人[11]、Fossen和Nijmeijer[12]、Plat和Busher[13]及其参考文献）
- 模型
回想一下，基于pr的振动筛的最简单模型表示由弹性弦连接的两个等质量的初始拉伸系统，图1。可以水平移动的端部质量也与刚性图1相连。振动筛及其最简单的型号。在屏幕照片中：振动器（1）、底座（2）、固定筛子的横梁（3）、振动筛盖（4）、侧弹簧（5）和筛子（6）（主要在盖下）。模型中：端部质量可以在相反的水平方向上同步移动，而弦可以横向振动。这两种振动模式是耦合的，因为拉力取决于质量的纵向位移和管柱的横向位移（后者的相关性是非线性的）。296 L.I.Slepyan，V.I.Slepyan/机械系统和信号处理43（2014）295–304侧弹簧框架（如上所述在其作用下，可以认为是一种不变的力）。纵向振动是由在水平方向相反的左右质量上同步作用的简谐外力激发的。在某些条件下，这会导致弦的横向振动。在这项研究中，处理过的颗粒物质的作用被线性粘度所反映。
我们使用以下符号：2l；ϱ和k/2分别是弦的长度、单位长度的质量和刚度，m是端质量值，x是侧弹簧刚度，t0是弦的初始拉力，u（t）是右端质量的位移（u（t）对应于左端质量），v（x，t）是横向位移。对于管柱（-llt;xlt;l），，beta;和alpha;分别是与纵向和横向振动相关的粘度值。总拉伸力和外力表示为
（1）
假设：
（2）
式中，cl是弦中的纵波速度。外部谐波力不受限制，而假设弦只抵抗正张力我们在公式中不施加此条件，但检查是否满足）。只考虑主振型。假设（2）允许我们忽略纵向振动方程中的弦密度，忽略侧向弹簧作用的变化，考虑拉力独立于坐标，考虑弦在水平方向上对端质量的作用，并简化非线性表达式。是由弦弯曲引起的。
因此，如果没有损耗，纵向和横向小振幅自由振荡的频率是
（3）
式中，是管柱中的横波速度。
如果纵向激励频率omega;足够接近2Omega;t，且其振幅Q足够大，则会产生参数共振，在该共振下，横向振动的振幅受几何非线性的限制。我们对纵向和横向振动有以下非线性动力学方程
（4）
这些方程由拉力耦合，拉力取决于质量的纵向位移，u(t)=u(t,l)=-u(t,-l)，以及管柱的横向位移，v(x,t)
， （5）
其中alpha;和beta;是粘度值，和表达式（5）在定义非负张力时有效；否则，。在这项研究中，我们考虑假设这个条件满足的问题；然后我们确定这是在哪里的域。
很明显，在边界条件为v(l,t)=0的（4）中第二个方程的左侧承认变量分离为
, (6)
利用该表达式和（2）中有关横向振动振幅的条件，可以将拉力（5）的表达式减少到
(7)
动力学方程组变成
(8)
该系统是以下考虑的基础。注意，在设计和设置PR振动筛时，该模型及其一些推广应用于数值模拟。对机器结构和设定预选很有用，也最适合于分析研究。
2.1能量关系
系统的动能和势能之和为
（9）
用一个常数的精度，它被降低到
（10）
我们考虑由纵向和横向部分组成的能量如下：
（11）
根据这个和动力学方程（8），我们找到了能量率
（12）
回想一下，非线性项负责振荡模式之间的能量交换。
2.2自由振荡
对于自由振荡，Q=alpha;=beta;= 0，我们有
(13)
自由振荡和能量交换的示例如图所示。2和3。在初始条件w(0)=0.2m，和能量下，计算M=100 kg、e=10 kg/m、（这些单位和秒作为时间单位在这里和下面使用）的系统的位移。
注意，根据（13），能量交换周期随着能量减少到零而增加到无穷大。事实上，对于给定的系统动态参数，频率弱地依赖于能量，即振荡幅度；因此，导数与和能量（11）的阶数相同。张力的可变部分T1也随着能量的增加而减小到零。因此，导数的下降速度快于能量本身，从而导致能量交换周期的增加。数值模拟支持这样一种猜想：周期与能量呈渐近反比例关系。
3.一个精确的解决方案
有趣的是，有一个系统（8）的初等精确解。它存在于没有与横向振动相关阻尼的模型的共振激励的情况下，。在这种溶液中，张力
图2.横向和纵向自由振荡，w(t)[m]和u(t)[]
图3.纵向和横向自由振荡之间的能量交换，。曲线的“粗糙度”是“”的许多零的结果。
力是不变的
（14）
相应的方程是
（15）
我们将这些线性方程的通解代入恒等式（14），得到了u(t)位移为常数（负）的振动位移。
(16)
至少在初始条件的某个领域，基于式（8）的瞬态解与方法在时间上，基于式（8）给出了一个的瞬态解。这可以通过数值模拟初始条件与恒等式（14）不一致的瞬态问题来证明。从（14）和（15）分析得到的数值振荡和振荡幅度如图4-6所示。值得注意的是，尽管没有与横向振动直接相关的耗散，但仍会收敛到建立的振型。在初始条件水平线对应于分析发现的振幅（16）。
4.进一步解析
现在我们考虑beta;=0的动力学方程（8）。
（17）
我们利用谐波分析得出了这些方程的近似解，其中只保留了主谐波，因此，对于稳态振荡，我们假设，忽略了高次谐波，弦的横向振荡频率omega;=2。
（18）
在用（7）中的T1（t）替换表达式中的这个之后，我们用（17）的第一个方程中的T（t）替换。在这个过程中，我们得到并求解关于u（t）的方程。最后，有了w（t）和u（t）的表达式，我们就可以显式地表示T1（t），后两个函数的形式如下
（19）
图4.强迫振荡下的横向位移w（t）
图5.强迫振荡下的纵向位移u（t）
图6.强迫振荡下函数T1（t）。根据既定制度（16）的分析结果，它趋于零。 （19）
接下来，我们将这些表达式代入（17）中的最后一个方程，平均满足cosomega;t和sinomega;t作为权重。我们得到了与系数有关的下列方程：
（20）
从中可以找到以下解决方案：
（21）
和
（22）
特别可以看出，在共振激励下，振幅与横向振荡频率、Omega;t和粘度水平无关。实际上，，在极限内
（23）
解（21）–（23）在一个域中是有效的，在这个域中，所考虑的平稳振荡状态确实存在，也就是说，它是稳定的。下面将更详细地讨论这个问题。
的函数u（t）和T1（t）在（19）中定义。处的极限为
（24）
如果，在加上，和然后T1=0，并且我们回到上面的正确的解决方案（16）（beta;=0）。
4.1能量通量
在上述考虑的beta;=0的一般情况下，振荡期间的平均能量耗散率为
（25）
另一方面，由（19）可知，外力产生的能量通量是
（26）
参考（21），我们
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资料编号：[1294]
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