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露天块调度问题的聚合启发式
Enrique Jeacute;lvez a，b，c , Nelson Morales a，b , Pierre Nancel-Penarda , Juan Peypouquet d，lowast; , Patricio Reyes e
a先进的采矿技术中心，智利大学，圣地亚哥，智利；b Delphos矿山规划实验室，采矿工程系，智利大学，圣地亚哥，智利；c CSIRO智利国际卓越中心，圣地亚哥，智利；d 数学系，西班牙德圣玛丽亚大学1680，智利瓦尔帕莱索大学2390123；e技术研究所工业数学(ITMATI)，圣地亚哥德孔波斯特拉大学西班牙圣地亚哥德孔波斯特拉
摘要: 为了建立生产计划，露天矿山被分割为一些三维阵列。这些块的采取和加工顺序对矿山经济效益有巨大的影响。 由于现实模型具有数百万个块和约束条件，所以通过提取序列和组合优化问题来实现利润最大化很困难。在这项工作中，我们提出一个程序，它是基于创新的聚合和解集启发式，它能帮助我们得到最为接近的可行性答案。 该方法在公共参考库MineLib中进行了测试，并对参考库中的11个实例中的9个进行改进，并且得到了很好的的结果。此外，整个过程具有非常高的可扩展性，这使得它具有能够解决大量问题的潜能。
关键词: 矿山设计；聚合块；露天块调度；整数编程；启发式
Aggregation heuristic for the open-pit block scheduling problem
Enrique Jeacute;lvez a,b,c , Nelson Morales a,b , Pierre Nancel-Penarda , Juan Peypouquet d,lowast; , Patricio Reyes e
Abstract: In order to establish a production plan, an open-pit mine is partitioned into a three-dimensional array of blocks. The order in which blocks are extracted and processed has a dramatic impact on the economic value of the exploitation. Since realistic models have millions of blocks and constraints, the combinatorial optimization problem of finding the extraction sequence that maximizes the profit is computationally intractable. In this work, we present a procedure, based on innovative aggregation and disaggregation heuristics, that allows us to get feasible and nearly optimal solutions. The method was tested on the public reference library MineLib and improved the best known results in the literature in 9 of the 11 instances of the library. Moreover, the overall procedure is very scalable, which makes it a promising tool for large size problems.
Key words: mine planning, block aggregation, open-pit block scheduling, integer programming, heuristics
1 介绍
采矿业是一个非常重要的经济部门。研究表明，在智利，铜出口占出口总额的62.5%、占国内生产总值12%(Cochilco，2013)。
根据不同的经济和技术因素来决定，开采方法为地下或露天。在本文中，我们专注于在地表挖掘矿物的露天开采方法。因为露天开采较地下开采可以达到更高的生产水平和较小的运营成本，所以一般情况下露天开采作为首选。然而，为了获取有经济价值的矿石，大多数时间是在剥离低品位矿石和废石。
矿山实际的经济价值取决于每一块矿石的开采和加工顺序。在整个矿山开采周期中，为了定义部分地形必须在相应时间段开采，我们将规划周期分割为时间段。反过来， 被规划在一个三维数组的地形被分为常规块。估算每一个矿块的品味、密度和其他有关属性是，使用地质统计学方法。一个块模型是矿山规划过程的信息输入集合，也就是说，所有块及其属性的集合。使用这些信息，为每一个块指定一个提取的时间段，从而来构建块调度。因此，矿山的最终经济价值取决于块模型和块调度。
块调度在露天开采中的可行性取决于矿山的可开采性和开采约束条件。首先，采取一个矿块之前，应剥离其上面所有的岩石。此外，还必须保证岩壁有一定的稳定性。就表示的边坡角而言，它必须在每个时刻都满足安全需求。一方面，所有矿块之间的约束条件被优先转化。另一方面，开采过程中还有一些如同这些限制的内在限制因素。在每个时期被运输和开采的矿石数量受到各自的运输和生产能力的限制，其单位通常用吨或者小时表示。进一步，加工矿石必须满足一些复杂约束条件。设备工艺的效率(甚至可行性)取决于在相应时期加工的矿块结合体的属性。例如，有单独一块即使品味非常高的矿石，但它含有污染物(砷)，它的加工可能是不可行的。同时加工一个矿块与另一个矿块(甚至矿石品位较低)的混合体都可能是可行的，因为其污染物含量在一个可以接受的范围内。混合约束条件可以是上界或下界，适用于处理矿块的某些属性。最后，决定如何处理矿块可能取决于不同的参数。事实上，一个矿山有不止一个开采方法是很普遍的(考虑一块废石，并将其运输到废石堆已经是一种可能性)。根据最后的工艺或终点的不同，矿山获得的净利润是不一样的，就像运用不同的工艺和所需的资源来实现这项处理的混合约束 (例如，不同植物的能力)。
在这项工作中，我们提出并测试了一种新的数字方法用来确定露天矿开采中块调度的最大净现值。我们的提议是以两种方法结合为基础，这样能帮助我们缩短问题的范围，进而简化问题。聚合块程序是对最初的实例使用整数规划技术来逐步解决聚合的问题并产生解决方案的一种创新的方式。使用这种方法，我们能够对那些得不到准确值的实际问题提供一些接近最优解的取值范围。
这个程序在MineLib公共参考图书馆被证实， (Goycoolea埃斯皮诺萨，莫雷诺，amp;纽曼，2013)，这三种不同类型的露天矿山规划好的可行的方案已报告的问题:最终露天坑边界问题，露天生产调度问题的两个变量，对在虚构的情况下，也为实际存在的矿山(例如， 实例KD、P4HD W23以及位于北美的麦克劳克林铜矿和金矿)。我们专注于约束坑边界问题(CPIT)，它包含达到最大化净现值(NPV)的开发时间，优先级和操作约束条件。在MineLib图书馆里我们用程序改进11个案例并得到了9个结果。此外，剩下的两个案例是最佳的解决方案并且仅仅只相差0.2%。
本文的组织结构如下: 在第二部分，我们提供一个在文献中找到的最相关(著名) 摘要总结方法。第三节包含了所有的细节关于建模、符号和问题陈述。在第四节给出描述我们方法的建议，以及所涉及的不同的启发式。在第五节，给出了所有的实施细节，数值结果和评论。在最后，第六节中包含了一些结论和观点。
2 相关工作
一个非常独特的规划，出自约翰逊(1968)，它介绍了在坡下的块调度问题，容量和混合约束条件(加工矿石品位的最后一个范围) ，即在多个目的地内设置。这个最好的程序适用于给定模块最优的模型方案。不幸的是，在出版时，模型过于复杂而无法进行在现实中的案例研究。
取而代之的是Lerchs and Grossman (1965) 在块的终点确定的前提下，针对这个问题提出了一个非常简洁的版本。在这种情况下，这个问题可以减少选择块的一个单元，优先处理约束条件引起的边坡角，以至于实现价值最大化。这个问题被称为终极或最终露天坑的问题。Lerchs 和Grossman提供了一个有效的(多项式)算法来解决最终坑问题，显示，减少给定的任何块的经济价值使最终的坑的最优解问题缩小，在这个意义上，如果块的经济值减少，新的解决方案将是原来的一个子集。因此，它可能产生嵌套坑，通过反复试验，构造块调度满足其他的约束条件，比如容量。当今的商业软件，比如Gemcom(2011)，基于这些公式而生。
事实证明，虽然约翰逊提出的模型(和其他人)一直被认为是优越的，在开采计划中可以创造更多利益，直到最近，新发现(特别是算法)可以解决或近似的模型。实际上，这项工作的主要动机是把这些数学模型的理论优势转化到实践中去。
皮卡德(1976)表明，终极坑问题等价于最大闭合问题，给定一个有向图G =(V，a)与权函数w定义节点，一个寻找Usub;V，节点的一个子集uw(u)最大，但u(u，v)rArr;visin;u。最大闭合问题，反过来，可以减少到最小分割问题(更多细节见Nemhauser amp;沃尔西，1988)。利用这一事实，Hochbaum和陈(2000)提出了通过现有的高效算法的最小切问题解决的终极坑的问题。
Caccetta和Hill (2003)使用一个定制版本的branchand-bound算法解决问题从几个到成千上万个块的混合和容量约束。他们的方法仅仅可以用于上界。Bley， Boland， Fricke， 和Froyland ( (2010)使用一个类似的模型，但将额外的削减基于容量约束，增强问题的公式化，在某种意义上，给线性松弛法的价值提供了一个更严格的约束。他们在小实例上测试这种方法 (10个时间段内的500块)， 在计算时间方面，他们显示了非常有趣的进步。不幸的是，在大案例上，目前尚不清楚怎么测试这项技术，可能会暴露很多的短板。为了找到改善各种整数相同的模型的不等式，Fricke(2006)使用了很多密切相关的策略，。Gaupp(2008)通过容量约束和消除的一些变量求出每个模块开采周期的最大最小值来缩短这个问题的范围。然后应用拉格朗日松弛方法来解决这个问题。
接下来的两篇论文考虑解决这个问题，但只考虑资源的消耗上界约束:第一，Amaya et al(2009)从一个初始可行解，然后反复修正本分解部分并做出优化和补充。在每次修改中， 精确解决整数编程的子问题。在4小时内，它们能够解决15个时期中的400万个模块实例。反过来，Lamghari、Dimitrakopoulos Ferland(2014)使用一个基于线性规划的混合方法即变邻域下降法。作者介绍一个两阶段的解决方法:在第一个，他们解决一系列线性规划问题来生成一个初始的解决方案。在第二个阶段，用变邻域下降法改进方案。于Lamghari等人 (2014) 和 Espinoza等人. (2013)相比，几乎在所有的情况下，基准测试方法在一些MineLib文学实例中，都能显示新的著名的解决方案。事实上，只有在两种情况下获得的解决方案有较大的差距，但只相差0.2%。
跟随 Picard 和Hochbaum想法，Chicoisne、 Espinoza、Goycoolea，Moreno、Rubio (2012) 、 Bienstock 、 Zuckerberg (2010)解决了一个非常接近于在这个文章中考虑到的问题。然而，在所有问题上，他们使用拉格朗日松弛法而非优先约束法(在这种情况下，减去了最终境界问题)。使用这种方法，Chicoisne等人关注的情况存在每个时期，只有一个目标和一个容量约束时，用线性松弛法开发一个自定义的算法(CMA)并 (基于拓扑排序)获得一个可行的整数解决方案的程序。他们研究出的方案能解决大案例(超过一百万块)。此外， Espinoza 等人(2013)发表了一份名叫MineLib的图书馆标准化案例，他们运用以上技术也获得很好的结果。Bienstock 和 Zuckerberg分别考虑了所有类型的约束，并集中用线性松弛法解决，并报告LP解决者很好的改善决议时间与遵守标准。
其他工作也接近我们的，这归咎于Cullenbine， Wood，和Newman(2011)。他们建议在后期，使用拉格朗日松弛启发式对容量约束(下界和上界)增加一个滑动窗口策略提取变量，松弛变量对应于早期逐步是固定的。它们作用在一个稍微不同的问题在这坑的底部必须包含至少两个相邻块，并报告改善执行时间对标准的解决者。最近的兰伯特和纽曼(2014)使用了一个定制的拉格朗日松弛法，它使用信息而获得的初始解选择资源约束的二元化方案。他们报告解决方案模型是在10个时间段36000秒内的25000块， 最大的情况是最有差距是6%。
另一种解决大规模问题的方法是基于聚合程序。Dagdelen、 Johnson (1986)，、Dagdelen 、 Akaike (1999) 、 Ramazan、Dagdelen 和 Johnson (2005) 在上界和下界的协调下利用固定截止等级从事模型制作 ，但只有上界的容量。他们聚合块到他们所谓的基本树(在某种意义上子集合包括积极的子集价值，遵守斜率约束和最小值)并且对一个相对
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