未知环境下机械手力跟踪阻抗控制理论、仿真和实验
摘要：在力跟踪的阻抗控制中，众所周知，机器人的参考轨迹是从已知的环境刚度计算出来的。作者提出了一种在环境未知的条件下确定参考轨迹的简单方法。该方法是基于测量力的函数代替未知刚度而开发的。将这种方法与阻抗函数相结合可得到力跟踪阻抗函数。假定机器人动态不确定性由基于时间延迟控制的鲁棒位置控制方法进行补偿。根据环境位置的不确定性分析了平衡点的局部稳定性。计算机仿真研究表明，该方法对未知环境和动力学不确定性具有良好的跟踪效果。该方法的实用性也通过使用PUMA 560机械手的实验验证。
关键词：阻抗力控制；不确定性；补偿；未知环境
1.介绍
近年来使用机器人作为工具的自动化技术要求复杂的控制算法（即在拾取和放置操作中使用比简单的位置控制算法更复杂）。这种涉及机器人与环境相互作用的技术需要力控制和位置控制。由于力配置空间的性质，力反馈比位置反馈更难控制。Hogan提出的阻抗控制技术是一种力与约束运动的机器人力跟踪控制的基本方法（Hogan 1985；戈登伯格1992）。与混合的位置和力控制方法（Raibert和克雷格1981）的不同之处在于，阻抗控制通过定义位置和接触力之间的目标阻抗来调节机械手和环境之间的力。通过预先确定的基于环境的刚度和位置确定的机器人位置参考轨迹来间接控制期望的力。这种技术的一个主要的实际困难是，环境刚度通常不被精确地知道，因此精确的基准轨迹不能被设计来实现精确的力控制。另一个问题是设计鲁棒机器人位置控制器，以精确跟踪机器人动力学不确定情况下的参考轨迹。在这里，基于时间延迟控制的鲁棒控制算法是用来补偿在机器人动力学的不确定性（Hsia 1989）。
过去有很多人试图解决未知环境刚度的问题。Lasky和Hsia（1991）采用一个使用积分控制的单独的参考轨迹修改控制回路。李和李（1991）提出了运动误差和接触力误差之间的广义阻抗关系。Seraji（1994）使用自适应控制生成了一个参考位置。为了解决不确定性问题，引入了神经网络或模糊力控制方法（Jung和Hsia 1998a，1998b; Kiguchi和Fukuda 1999）。
在本文中，我们提出了一个简单的参考轨迹设计方法，用于假定环境刚度未知的情况。该方法使用了力传感器采集的力信息，而不是环境刚度，因为它们是直接相关的。因此，该方法能够为未知和任意变化的环境刚度提供参考轨迹。这种能力具有很大的实际意义，因为给定的环境可能会在接触路径上表现出不均匀的刚度。
本文提出的参考轨迹设计算法基本上是基于代数学的。其结果是，力跟踪阻抗函数很容易定义，同时提出了保证力跟踪的稳定性分析以及大量的计算机仿真模拟和实验研究也证明了所提出的设计技术的成功。
2.阻抗控制技术
在本节中，我们将简要介绍一下阻抗控制技术。在笛卡尔坐标系中n连杆机器人机械手的动力学为
(1)
其中X是末端执行器的位置，是笛卡尔惯性矩阵，是笛卡尔科里奥利离心力，是笛卡尔重力，是外力，是控制力输入。
力控制的问题是在机器人沿着环境表面的轨迹移动时调节力。本文实现的阻抗控制方法要求指定目标阻抗函数。
(2)
其中分别代表的惯性，阻尼和刚度的正定对角矩阵；；是机器人被控制跟踪的参考轨迹。力定义为
(3)
其中是环境刚度矩阵，是环境位置向量。当使用下面的控制输入力F时，阻抗公式(2)可表示为
(4)
调整去跟踪理想力，必须根据如公式(5)所示的和进行适当的设计。
(5)
其中，，和分别表示，，和的元素，而是
(6)
其中，和分别是矩阵，的元素。因此，当准确知道环境刚度时，根据公式(5)和(6)可很直接计算出参考轨迹。在实际中，很难确切地知道。 这意味着无法准确计算，导致力跟踪效果不佳。 在下一节中，我们从代数学提出了一个简单的解决方案来估计。
3.环境刚度估计技术
我们提出的技术是通过公式(7)所示的和这种关系来代替环境刚度
(7)
环境刚度可以被估计为公式(8)所示
(8)
其中是从腕力传感器获得的测量力的一个元素。实际上，公式(8)只是的一个近似估计，因为可能会受到测量误差的影响。在后面的章节中将介绍由测量力传感器噪声引起的影响分析。用公式(8)代入公式(6)计算如公式(9)所示，
(9)
结合公式(9)和公式(5)可得参考轨迹为公式(10)所示，
(10)
这是参考轨迹所需的设计方程。 我们可以看到参考轨迹是根据，，，和从修改的，所有这些参数都被假定为始终都是已知的。这意味着可以直接指定所需的力。
然而，注意到，当时，公式(10)是无效的，因为轨迹修正项是不确定的，如公式(11)所示。
(11)
这种情况表示当时或当时，机器人未与环境接触的状态，在此期间机器人不对环境施加作用力。为了解决这个难题，我们使用L#39;Hopital法则确定当，的极限，如公式(12)所示，
(12)
因此，公式(10)可被修改为公式(13)所示，
(13)
结果也适用于机器人处于自由空间并朝约束表面移动时的机器人位置控制。 下一节将介绍力追踪阻抗函数的进一步分析。
4. 力跟踪内环阻抗控制
新的阻抗功能实现如下。为了简单起见，令，，，和分别是，，，和的元素。公式(2)变成公式(14)所示，
(14)
将修正的参考轨迹，和代入公式(14)得公式(15),
(15)
其中，。再带入到公式(15)得公式(16)
(16)
其中，假定条件是。在公式(16)中，用替换可得公式(17)所示的力跟踪阻抗控制方程，
contact space (17)
当(机器人与环境接触)时，公式(17)成立。在的自由空间中，阻抗控制法则变为
free space (18)
公式(18)中所需的力是将机器人末端执行器从自由空间移向环境表面的驱动力。根据的大小，接触可能会发生，也可能不会发生。下一节将分析接触或非接触的条件。
5. 不确定环境定位的鲁棒性分析
在这里，我们将研究所提出的控制器在环境位置未完全知道时的鲁棒性。这是实践中的一个重要问题，因为环境地点总是存在不确定性。我们的目的是了解这些不确定性如何影响控制器性能的行为。在环境位置不确定性的情况下，必须解决两个问题：一个是与环境接触，另一个是跟踪所期望的力。
我们的分析过程如下。设控制系统的参考输入为，其中，为的不确定性。定义，即，公式(17)和公式(18)分别成为公式(19)和公式(20)，
contact space (19)
free space (20)
当机器人从自由空间移向环境时，必须确保在环境不确定性下接触。此外，还必须提供力追踪的准确性。 我们在下面分析机器人性能作为的函数。
为便于分析，我们假设，所以（即）意味着离开由定义的环境表面。类似地，（即）意味着在环境表面内。现在分析这两种情况。
Case1. (假定没有接触到真实的环境表面)
假设末端执行器初始状态位于自由空间，即。公式(19)和公式(20)相应的稳态为，
free space (21)
contact space (22)
从公式(21)可得，
(23)
存在两种稳态，当(或)时，第一种情况是。这意味着稳态保持在环境之外，所以机器人和环境之间不会发生任何接触。因此，使用的可用空间控制器将无法正常工作。第二种情况是当(或)时。这意味着如果，就会和环境发生接触。这种情况通常可以在实践中得到满足，因为一般会小于。一旦接触完成并且机器人处于接触空间控制之下，通过求解方程(19)可以得到两个稳态解：和。可以证明是唯一有效的解决方案，因为解需要，这是不可能的。因此，可以实现期望的力追踪。
Case2. (假定接触到真实的环境表面)
从自由空间开始，由于，因此公式(20)的机器人末端执行器稳态位置是。因此，如果，则总是接触。
同样，在接触期间，具有相同的稳定状态值和。然而，在这种情况下，根据的大小，这两种解决方案都可以是有效的。
总之，上述分析表明，如果满足公式(24)的条件，机器人将与环境接触
(24)
尽管这种界限保证了接触的产生，但它并不总能保证情况2所示的理想跟踪力。下面我们将研究(23)中的更具体的上界，以保证独一的理想力跟踪解。
6.用于精确力跟踪的的界限
将ε表示为的函数：
(25)
把，，代入到公式(19)中可得新的力误差方程，如式(26)所示，
(26)
整理公式(26)可得公式(27)，
(27)
为了简化，使(实际中一个好的近似方法)，所以，可得公式(28)，
(28)
这对于是一个非线性的方程。已经表明，力跟踪阻抗函数(19)在和处有两个解，现在让我们考虑每个平衡点的稳定条件。
定义稳态和，可得式(29),
(29)
在平衡点，式(28)在中变为线性（由于和的消除）。在平衡点时的状态空间方程给出
(30)
由（28）计算出的相应特征方程为
(31)
特征公式(31)稳定的条件是
(32)
因为我们已经选择了是唯一需要满足的条件。因此，在理想平衡点时，（32）中的条件减少到
(33)
同理，在平衡点时的状态空间方程为
(34)
特征方程（28）在另一个平衡点是
(35)
为了实现稳定，需满足式(36)的条件
(36)
但是，这是应该避免的情况。结合（24）中的结果和（33）中的结果，位置不确定度应位于以下边界内：
(38)
我们注意到等式的下界。公式（37）是先验已知的，因为和是用户指定的变量。上限不可立即使用，因为中的不知道。然而，当要处理的环境非常僵硬以至于近似值是可接受的时，上限可以近似为，这可以由用户指定。因此，式（34）近似为，
(38)
实际上，位置不确定度非常小，因此用户可以很容易地选择的值来保持系统的稳定性。
7.机器人动态模型不确定度的补偿
关节空间中的一个n自由度机械手的动力学方程由下式(39)给出
(39)
其中，是一个的惯性矩阵，是一个的科里奥利，离心力矩和重力向量，是关节力矩，是外部关节力矩。为了后续演算，我们将机器人动态等式（39）变为式(40),
(40)
其中，，。为了实现上述位置和力跟踪控制器，控制律tau;是
(41)
其中，把估计为，则可得式(42)
(42)
为了从联合空间转换到笛卡尔空间，我们使用以下Jacobian关系：
(44)
如果我们定义笛卡尔控制输入，则。控制输入V从式（19）和（20）中选择如
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