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关于电力系统停电事故的基于复杂系统动力学的初始模型
摘要
我们定义了一个模型，有关一连串电力输电系统停电事故的演变。这个模型描述了相反的力，目前已经被推测出来会导致电力系统停电事故自组织的临界性。这里有一个很慢的时间标度表示相反的力随着电力系统负荷的增长其容量也增加，还有一个很快的时间标度表示级联线路过载或断电。时间尺度是耦合的：负荷的增加导致停电，停电导致系统容量的增加。这两种相反的力导致了动态平衡，在这种平衡中所有的停电事故都可能发生。这个模型是学习这种动态平衡中复杂系统动力学的一种方式。这种模型的马尔可夫特性也进行了简要的讨论。这个动态模型的阐述使用了73总线IEEE可靠性测试系统中的数据。
1.简介
电力输电系统是一种大的复杂系统，运行时接近他的容量极限并且表现出了会导致停电事故的级联故障。任何规则或动力学在国家的一系列停电事故中会表现的有趣只会因为两个原因：电力系统具有挑战性的复杂性和尺寸，其对国家公共安全的重要性。
最近对北美停电事故的时间序列的研究结果表明远程的相关和概率分布表明电力系统具有自组织临界性表现出来的动力学特征，进而提出了一种描述，在电力系统中会产生自组织临界性的一种过程。这个过程是一个缓慢长期的负荷增长以及对停电事故的各种工程上的响应。这些工程上的响应包括：提高操作策略，维护设备或控制方法，这些都将带来对输电线的更大利润。有推测这些相反的过程到了一个动态平衡的阶段具有自组织临界性的特征。这篇文章的主要目的是定义一个模型来细致的描述这些过程而使复杂系统的动力学模型更好的被论证并被理解。
自组织临界系统是非线性的动态扰动存在的组织，其总体平均系统状态接近,但不是在状态边际的严重混乱。自组织临界系统的特征是具有时间和空间尺度的破坏，这种现象在物理范围中广泛存在。自组织临界系统的一个例子就是理想的沙堆模型，自组织导致了各种规模的沙堆发生在了临界梯度。停电事故模型的演化和理想沙堆的过程是一致的。
在这项关于全球电力系统复杂动力学的研究中，模型是“自顶而下”，从而大大的简化了其代表的过程，虽然这个过程中的相互关系仍然是复杂的行为。这个过程的简化在两方面都是很需要的，只研究复杂动力学中的主要的相互作用，出于实际原因来简化，仿真所需的时间。
一般的，这种模型都是快速或慢速的。负荷的增长和对停电事故的响应发生在一个很慢的时间尺度（从几天到几年）；停电事故发生在一个很快的时间尺度（几分钟到几小时）。缓慢的动力学过程以天为单位来索引，所以负荷的增长和停电事故的响应以天为单位来更新，即便这样的改变很微小。
快速的动力学过程是级联事故，事故发生的原因可能是线路的供电断了或是输电线的限制流达到了其最大值。事故可能发生在任何时候，但是最可能发生并且更广泛的分布在峰荷的时候，这个时候供电网络的压力最大。为了简化，当天的峰荷被选这作为当天的负荷。并且事故的计算也是基于峰荷的，每天都可能发生一次级联事故，发生级联事故的线路被表明出来，但是对应的时间被忽略了。
2.缓慢的动力学过程
2.1网络模型
每条输电线路都建模为一条电感，可能包括这条线路上设备（如变压器）的电感，设备的故障表现为线路故障。
假定直流功率流模型(线性)没有损失，因此第K天的线流和功率注入存在线性关系，矩阵A代表着网络的特性，在附录B中有详细的说明。
2.2负荷的缓慢增加
负荷的增加可以表示为：， lambda;1、lambda;2，lambda;3,···是独立同分布且在[lambda;min,lambda;max]区间中的有界连续随机变量，且中值略大于1，例如=1.00005.每天的增加代表了用户负荷的缓慢增长趋势随着用户设备的随机增加。
第k天的初始流可表示为：
在第k天的任何级联事故发生之前这些功率的注入和日用流数据就已经应用于电力网络。
2.3部分过载
定义发生在第k天，线路j上的部分过载为：，gt;1表示线路过载。
描述了网络中起始负载的状态以及电网运行过程总的部分状态向量。
第k天快速动力学过程取决于最初的负荷状态。特别地，带重载的线路更有可能发生会导致停电事故的级联故障。停电的定义是甩负荷或者网络的调度不起作用。有些级联事故可能导致负荷的重新分配并且此时并不甩负荷，这种现象并不称为停电事故。也可能在某些天中不发生停电事故。第k天快速动力学的结果是一个列表，可以表现这一天是否有级联事故或是停电事故发生。
2.4提高线路容量
我们首先描述增加线路容量的过程基于哪一条线路发生停电事故。然后就这个过程如何在级联事故中模拟系统容量的增加进行了讨论。
其中u控制了线路流极限值的平均增长量。一般地，我们认为u控制着系统容量的增加。
实际上，现场工程师通常会付出很大的努力来避免停电事故，尤其是由相同起因导致的重复停电事故。这些对于停电事故的工程上的响应发生在一个很广泛的时间尺度内，长于一天。这些响应包括：修复损坏的设备，更经常的维护设备，改变调度策略以避免会导致停电事故的特殊情况，调整或增加系统的警报或控制器。这些响应减少了线路上发生停电事故的概率，通过减少元件的负荷通过增加线路容量或是将负荷转移至其余线路来降低事故发生率。这些响应是直接针对那些导致停电事故的线路的。这样降低了类似停电事故发生的次数，至少直到负荷的增长超过线路容量前一次的增加。
（7）式是这种响应的一种初略表示，在模拟的时候我们认为响应只能发生在下一天，但是这种响应的效果一直持续直到缓慢增加的负荷再次的使其失效。在某些情况下，降低线路故障的概率和转移负荷至其余线路的这些行为和增加线路容量是相似的。（这将详细的在第三部分进行描述，增加了容量的线路其过载或断电的概率也大大的降低了。）
线路过流极限的更新可以表示为部分过载的更新，当考虑日用流量的增加时：
发电机的功率上限可以认为随着负载的增加而增大。
这个模型没有模拟发电机停电的情况。
3.快速动态级联事件
第k天这些变量的相互依赖从符号上做了简化。
功率的注入以及向量p和f的更新是级联故障的结果，变量的初始化。
初始的流和功率的注入f和p不一定满足网络的约束条件。
3.1线路随机停电的原因
停电事故经常开始于线路的运行中断，导致的原因可能是：天气，操作失误，设备故障或一些由线路误跳闸或变电站起火等事故。触发事件可以模拟为线路的停电或是线路有着一个独立的失败概率：
h0是一个正数和非衰减函数。
3.2过载线路的随机停电
线路的断电是由自动装置的动作或是调度策略导致的。作为一种选择，线路的过载可能有停电来代替。这可以被建模为线路的停电或过载根据每条线路失败的独立概率分布。
h1是一个正数和非衰减函数。
3.3功率再发送
不管一条线路是过载还是停电，或是发电机达到其最大功率极限，都有必要重新注入功率来满足系统的约束条件。功率的注入包括发电机和负荷，但是发电机的出力调整更倾向于甩负荷。（如果这样不能满足系统的约束条件，则网络的解决方案可视为无效，这个时候考虑通过停电事故来解决。）
再发送的方案是根据传统方式制定出的最优方案，这样可将发电机或负荷的改变降到最低，因为他们会影响系统的约束条件。最优的最小化代价函数为：
整体的功率平衡：
考虑到数倍大的权重在甩负荷，所以甩负荷的带来的经济损失比发电机转移要大。（18）式里面的矩阵A必须能代表任何线路的停电。附录A中更加详细的解释了这种线性方案作为最佳算法的原因。
这个最优方案是一个很简单的模型，解释了调度员如何重新发送功率作为对停电事故或过载的响应。停电事故也包含没有经过操作人员干扰的级联事故；在这些情况下，最佳方案给出了兼容系统约束条件的解决方案，但是其具有较小的保证性说明他能代表实际的功率重发送。
3．4迭代
级联事故有以下的迭代过程模拟：
- 通过（11）式和（12）式来初始化流量和功率注入；
- 根据（13）式决定初始的线路停电事故；
- 如果任何约束条件没有满足或是任何线路在之前的步骤中停电了，根据3.3部分中的最优方案重新发送注入功率。如果最优方案是不可行的，则停止迭代。输出在最优算法中，过载线路的清单。
- 对于步骤（3）中的任意过载线路，有（14）式来决定其是否断电；
- 如果步骤（4）中的线路停电了，则返回至步骤（3）；如果步骤（4）中没有线路停电，则停止迭代。
建模过程中停电事故被定义为在迭代过程中出现了甩负荷的情况或是最优方案的不具有操作性。迭代过程的输出是一个清单，列出了发生停电事故或过载的线路以及说明是否发生了停电事故。
迭代过程在两个方面代表了级联事故的过程：线路的停电可以级联为迭代的过程。同时线路的过载可以级联为第三步骤中的最优解决方案。
级联的建模只是为了得到关于线路的列表，这些线路很可能发生级联事故而导致停电事故的发生。特别地，级联事故是和网络的拓扑特性和约束条件是一致的。但是这个模型不会得出有关级联事故的任何细节。
4.类比沙堆
我们简要的说明在沙堆模型中类似的结构和效果体现出了自组织临界性。这个粗糙的类比可以用来进行停电事故的建模指导。
考虑一个大型、理想的沙堆，有很多沙粒的位置处于不断变化的状态。当所处位置的梯度很大时，那个位置的沙粒更有可能被移动。电力网络中的事故就像沙粒的移动，而级联事故就像雪崩。系统的状态是一个可以表示所有在沙堆力沙粒梯度的向量。驱动力是额外的沙粒，他们的趋势是增大最大梯度。放松的力是重力，他将推动沙粒从而减小最大梯度。这些相反的力使系统收敛于一个动态平衡的过程，系统的平均梯度小于休止角。在这种动态平衡的过程中，各种规模的雪崩都有发生，并且雪崩中有长时间的相互作用。沙堆模型和电力系统的类比中主要的因素总结与表一。当然，这两种系统之间也存在一些差距。在沙堆模型中，雪崩的发生和高的重力梯度是一致的；在电力系统中，每一次快速时间尺度下的停电事故（时长小于一天），然而故障线路容量的提高只会在事故发生之后。
表一
停电事故模型的不对称性是由电网结构的不对称和电力系统负荷的不均匀分布共同导致的。大量的沙堆模型都是均匀分布的。
5．结果分析
5.1
IEEE可靠性测试系统- 1996是三个区域电力系统可靠性的研究描述了一个基准，这个系统由73条总线和108条支路组成。
为了负荷直流潮流网络数据计算的要求，系统的无功功率和线损都忽略不计。发电机总线是113,213,313适应136MW负责输送所有的电功率维持系统的供需平衡。最初的MW级线路功率流极限值大致的被长时间突发事故限制。
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