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翻译：
BLDC电机实用建模与综合系统的辨识
向长乐，王晓亮，马跃，徐斌
北京理工大学机械工程学院汽车研究中心，北京100081，中国
函件请寄给徐斌邮箱：xubinbit@gmail.com
收到2014年12月11日;已接受于2015年3月6日
学术编辑：Alfonso Banos
版权所有@2015向长乐等。本文是根据知识共享署名许可协议发布的开放获取文章，只要原始的作品被适当地引用，其允许在任何地方中不受限制地使用，分发和再现。
本文的目的是概述BLDC电机系统辨识方法的全部步骤，通过严谨的推导过程，导出用于辨识的实际数学模型，并用频域识别技术和时域估计方法结合的方式来获得未知参数。时域中的方法建立在最小二乘的近似方法和扰动观察器上，其中只有可用的关于转子转速和电枢电流的实验数据需要进行识别与分析。通过对上述方法所进行的系统性的研究，可以用此方法确定最终的模型，这个模型是通过在无人机中的典型BLDC电机上进行的实验结果验证的。
1.介绍
无刷直流（BLDC）电机在高性能驱动应用中以其卓越的速度转矩特性，高效率，维护少，工作速度范围宽等特点在如机械工具，机器人，航天器和医疗等应用中占主导地位。尤其对于小型无人机（无人驾驶机器），BLDC电机具有体积小，功率密度高，并易于控制和操作等特点，一般用于驱动转子或螺旋桨，其中追求快速的能力响应和干扰抑制的特点正在受到越来越多的关注。另外，BLDC控制技术的研究包括转矩，速度和位置等参数，例如用于扭矩波动最小化的扭矩控制方法和无传感器控制算法的低成本应用。当进行控制器设计时，我们需要进行算法验证。如果模拟的数学模型和实际电机厂的模型之间的区别不能忽略，那么设计的控制器在仿真中是有问题的。在这种情况下，建立一个准确的BLDC电机数学模型显得更加重要。
需要考虑的第一部分是系统动态模型结构的模拟环境。在[4,5]中，需要考虑相位换向，故其数学模型的复杂性大大增强。如[6]所示，齿槽转矩是BLDC电机控制中转矩波动的主要来源。因此，除了经典线性模型[1]中的参数，齿槽转矩效应作为非线性因素对于实际模型也是必要的，对于低速模式的模型显得更为重要。第二个重要问题是模型的参数确定方法。在BLDC电机识别领域已经有大量的工作，其中时域识别中占主导地位。 [7]提出了一种可用的方法，使用逐步电压响应估计BLDC电机参数和负载转矩扰动。该方法具有一些缺点，因为仅使用速度阶跃电压输入的速度通道传递函数能被识别出来，而电枢电流却被忽略，并且阶跃输入不能充分地刺激系统动态变化。用于确定永磁体的积分测量步骤的同步机（PMSM）模型参数详见[8]，然而其使用扭矩传感器实现的效果将导致额外的成本。在[9-11]中分别应用了经典最小二乘逼近法，递归最小二乘法和在线批处理最小二乘法。然而，这些方法都需要大量的数据。
本文的主要焦点将是梳理频率识别技术和时域目标估计方法，以确定实际的数学模型，以及其完全捕获动态响应特性和电动机扭矩波动的能力，大多数参数将有利于进行频率识别，具有低成本的优点。其余参数对齿槽力矩的影响在[12]中的推导将在时域上的离线方法上进行估计和计算。
2.问题公式化
2.1.非线性BLDC电机模型
全面模型通过裸BLDC动力学和电子集成速度控制器（ESC）模型如图1所示首先提出BLDC动力学。
BLDG电机模型由两部分组成。一个是计算电磁转矩的电气部件电机电流，另一个是机械部件是BLDC电机和逆变器等效电路产生旋转的转子。 假设定子自感的变化与转子位置和互感在定子绕组之间可忽略不计，电气BLDC电机的动态特性可以描述为：
其中V?是电机端子电压，??是电机电枢电流，??为电枢电感，??为电枢电阻，是电机反电动势，??是反电动势常数，单位为V/(rad/s)。当没有外部施加的扭矩和只有一个考虑恒定惯性载荷时，机械方程给出为：
其中T是电磁电机转矩，J是电动机负载转动惯量，Kf是阻尼系数。由虚拟工作理论，电磁扭矩可以导出：
在（3）中产生的扭矩的第一项??，在磁场和电枢电流之间产生相互作用。第二项?cogg，被称为齿槽转矩，是由于吸附安装在其上的永磁体（PM）转子与定子中的槽。齿槽转矩只有对应于转子位置，并且不会消失没有电枢电流。展开扭矩 ??和齿槽扭矩 ?cogg给定为：
其中??是以Nm/A为单位的转矩常数，?是槽数，???是齿槽转矩的幅值分量处于第omega;个齿槽频率，theta;是机械的转子的角位置。第三类外源机械扰动，其可以计算为：
其中??和??是外部机械扰动的傅立叶参数。
2.2.ESC模型
无人机的BLDC电机由ESC（电子速度控制器）控制。ESC接收脉冲宽度调制（PWM）输入控制单元，并为BLDC所施加的端子电压供电。为了避免大电流引起的暴力增加或减少电机速度，嵌入线性单元在大多数ESC。 因此，这样的线性动态映射提出了对所施加的端电压的PWM输入，其可以表示为
其中u(s)是PWM输入信号，Kd是从PWM到的增益施加电压，并由ESC参数和确定电源，tau;是ESC模型的时间常数。
3.频域中线性条件下的参数识别方法
上一节中提供的BLDC电机的参数为??，??，??，??，??，?，tau;和{??1，??2，。 。 。 ，??k}。注意，前七个参数位于BLDC电机模型的线性条件中，并且最后一项对应于描述齿槽转矩的非线性项。所有这些参数都假定为时间不变的。本节介绍了一种用于识别这些未知参数的离线方法。识别方法取决于控制PWM输入的给定实验数据以及相应的转子速度和电枢电流响应，且有两个步骤来完成识别。首先，使用开环频域方法在线性项中识别这些参数，在高速运行时可以忽略齿槽转矩。在第二步骤中，齿槽转矩信号，被认为是干扰转矩，通过使用闭合观测器来估计。然后应用最小二乘逼近法来识别这些非线性项参数。两个步骤在以下小节中详细描述。频域识别方法确定大多数参数;因此，首先简要描述该方法。
对于第2节中提出的BLDC模型，非线性由齿槽转矩产生，其在较低速度下尤其突出。然而，在高速时，齿槽转矩的影响可以通过电动机的转动惯量过滤掉，因此可以忽略齿槽转矩。因此，当BLDC电动机大致被认为是线性系统时，可以高速识别线性条件中的这些参数。在图2中描绘了框图形式的线性动力学。
传递函数omega;(s)/??(s)=?omega;(s)，??(s)/??(s)和??(s)/V?(s)=??(s)
注意，Ge（s）表示ESC动态模型，根据2.2节，当电源设置在26V输出时，增益值0.02187由ESC制造商的节气门曲线拟合。
至于识别这些前述参数，虽然仍然可以采用时域技术，但在这种情况下强烈推荐离开时域而偏向频域。实际上，在频域中，有一些在时域中没有发现的特征：（1）当实验数据包含过程和输出测量噪声时的无偏差频率响应估计;（2）访问相干函数作为非参数识别精度和系统响应线性度的无偏测量; （3）消除偏差和参考移位作为识别参数。因此，引入频率识别方法来识别线性项中的参数。
下面将详细解决未知参数的识别过程。我们将提出一种简单、有意义和全面的方法，相应地，识别过程被分成五个步骤。
步骤1（输入扫描信号设计）:在[13]中，自动扫描信号生成被设计为：
其中?0是确定转子速度和电枢电流微调的输入的微调值，是输入的动态值，?是扫描量，theta;(t)是信号相位，[omega;min，omega;max]是扫描信号范围，?rec是扫描 记录长度。
步骤2（收集时间历史数据）:扫描信号?作为集成BLDC电机设备的输入，转子速度omega;和电枢电流??被收集作为系统识别的输出。 输出还分为两个项，如下：
其中omega;0和?0是输出的微调值，omega;sweep(t)和??sweep(t)是输出的动态值，动态项将用于获得频率响应。
步骤3（频率响应计算）：在[14]中简要介绍了计算频谱函数的方法。首先，应用Chirp-Z变换以将时域响应数据初始变换到频域。 然后，使用称为复合窗口的组合的多个窗口的加权平均的技术来提高精度的频率。这种计算的结果为高质量参数，即为输入自动光谱???(f)，输出自动光谱???(f)和交叉光谱???(f)。然后通过这些来获得频率响应函数：
步骤4（相关函数计算）：相关函数定义为：
相关函数可以在物理上解释为输出频谱的线性归因于任何频率的输入频谱的分数。它可以有效和快速地评估频率响应识别的准确性。特别地，只要相关函数满足以下条件，频率响应识别结果是可接受的：
步骤5（传递函数拟合）：使用数值优化算法通过最小化期望的BLDC电机传递模型函数?(s)和相关的频率响应函数(s)之间的幅度和相位误差来确定未知参数。实际成本函数是:
其中??是频率点的数量，omega;1和omega;??是拟合的开始和结束频率。?gamma;是取决于每个频率处的相干函数的值的加权函数。Wg和Wp是幅度和相位平方误差的相对权重，一个可以在[13]中获得这些加权函数的详细选择。
所有这些用于频率系统识别的方法已经并入到已知的软件CIFER（频率响应的综合识别）中。CIFER不限于在旋翼飞行器中的原始应用，也适用于其他工厂，例如BLDC电机系统，用于线性系统识别。
步骤6（系统参数确定）：基于这五个频率识别步骤，获得从PWM输入到速度通道和电枢通道的传递函数。然而，这些参数是机制的??，??，??，??，??，?，tau;，仍然是未知的。 因此，提出了如下的方法。集总参数中识别的传递函数为：
理论上，（14）和（15）的两个分母相等。然而，小的允许偏差在实践中是不可避免的，导致这两个方程中有非常接近但严格不同的分母。在这种情况下，这些未知参数不能通过经典未确定系数法获得。一个可行的想法是找到合适的参数，确保理论模型尽可能接近识别结果。理论模型和识别结果之间的偏差应首先定义。在[15]中，两个传递函数?1和?2之间的偏差可写为：
因此，参数确定问题可以通过?infin;被转移到下面的优化问题规范中：
单独的等式（17）可能不足以找到唯一的解。系统静态阶跃响应的另两个方程约束是：
其中omega;0和ia0分别是转子速度和衔铁在步进响应实验上的静态值。?omega;和??是加权系数，?omega;和??是传递函数。作为一个典型的约束优化问题，这个问题不复杂，可以用Matlab优化工具箱很容易地解决。
4.时域中齿轮扭矩参数识别的方法
线性项中的参数可以在高速运行期间通过频率识别方法估计，其中齿槽转矩的影响可以忽略。但是，当电动机速度接近低操作时，如图3所示，这种完全恒定的速度不能实现。在这种情况下，应考虑齿槽效应转矩效应。由于齿槽转矩是BLDC电机模型上的非线性压缩，因此破坏了频率识别方法的假设。因此，为了估计齿槽转矩项中的参数，需要非线性系统识别方法。齿槽转矩不能通过直接方法测量或计算。 在本小节中，被认为是干扰的齿槽转矩将由闭合的观测器估计，最小二乘法（LSM）用于获得齿槽转矩参数{??1，??2，...??k}。
4.1.干扰观测器设计：如图4所示，扰动观测器[9]的一般框图可用于近似干扰信号?dist。 如果设备模型中的不准确性可以忽略不计，并且补偿器能够确保误差信号?朝向零的收敛，则补偿器输出?dist能够估计干扰信号。因此，类似的方法可以用于估计非建模动力学 在频域中讨论的线性模型的情况，条件是忽略外生扰动。
基于线性系统的叠加原理，从估计到应用干扰的传递函数
?o(s)可以推导为:
应该选择补偿器??(s)，以使(19)中的多项式的分母是Hurwitz稳定的。然后，图4中的系统是渐近稳定的。因此，补偿器的输出成功地观察到扰动信号?dist渐近。根据前面讨论的扰动观测器，在离线过程中实现齿槽转矩系数识别，如图5所示。理想模型来自线性BLDC电机模型中的机械动力学，并且没有负载外部扭矩。通过遵循第4.1节中介绍的两个原则设计的??控制器作为补偿器工作。齿槽转矩等于电磁转矩的干扰信号，如果选择了一个补偿器，植物模型和观测器传递函数将是：
两个原理将确保图4所示的观测器系统的精度。
原理1：由于观测函数是典型的二阶系统，满足以下条件系统稳定：
方程（21）意味着正?和?足以保证系统的稳定性。
原理2：为了提高观测信号?dist的准确性，补偿应尽量减少在整个历史数据的最大涨幅，那么：
其中?是历史数据点的数量，ε是允许的误差信号的最小能量。
4.2.基于最小正方形Cogging转矩参数识别近似法。
在BLDC电机系统中，由于通过所得到的补偿器确保假定速度朝向测量速度的收敛，所以估计的齿槽转矩Tdist能够很好地近似真实的非线性动力学。由于方便的实现，最小二乘法在实践中被大量使用。这种近似方法的目的是最小化“误差的能量”，即测量信号和估计信号之间的平方差。 考虑向量问题，估计输出?由与未知参数向量相关的信号模型确定? = [?1, . . , ??]。 ?和?分别是模型的输入和实际测量的输出。最小二乘估计器（LSE）是找到beta;的值，其最小化平方误差标准，给定为：
观察间隔假设为?= 1,2，..，?，如果考虑线性最小
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