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基于改进的离散傅里叶变换谐波分析研究
金章
安徽省微纳米级电子器件和IC设计实验室
安徽大学
合肥，230601，中国
赵超
智能计算与信号处理重点实验室
教育部，安徽大学
郭国丽
国家节能工程实验室
电机控制技术
安徽大学
合肥，230601，中国
Deyang Shao，Long Jiao
安徽省微纳纳级实验室
电子器件和IC设计
安徽大学
合肥，230601，中国
摘要：电网规模不断扩大带来了大量的非线性元件，从而产生谐波问题。离散傅里叶变换（DFT）是谐波分析的有效工具，但是有隐藏的麻烦如信号混叠，栅栏效应和DFT中的频谱泄漏，其影响谐波分析的精度。 在本文中，DFT已经改进避免频谱泄漏。这个改进的算法已经通过实验验证了它可以有效抑制光谱泄漏，在精度和复杂性之间实现平衡，并且可应用于各种设备。
关键词：DFT，窗函数，谐波
一 引言
随着经济的快速发展，电力需求急剧增加。电网规模的不断扩大带来了大量的非线性元件，产生谐波问题。 高次谐波带来严重损害。 电网中的谐波电压和电流会消耗大量的能量，导致不必要的电源传输线损耗，对包括电机在内的各种电器造成损害 因此检测，分析和控制谐波十分重要。
目前，常用的谐波分析方法如下：
1）基于带通滤波器的谐波检测和分析：带通滤波器有模拟式和数字式两种类型的。模拟带通滤波器是增益各谐波分量的带通滤波器。 虽然其原理和电路结构是简单，但它有一个严重的问题：需要稳定的基波，对电路元件有较高的要求，并且容易受测量环境的影响。[3]数字带通滤波器具有与模拟带通滤波器类似的功能。 它能够适应基波信号，具有更加稳定的性能。然而，它是基于模拟设计的带通滤波器，需要标准化过程和更多的设计参数。 如果需要更高的精度，它结构复杂性将急剧增加。 因此，带通滤波器在谐波分析中应用的可行性不高。
2）基于小波变换的谐波检测和分析：小波变换是一种根据信号的频率调整时间和频率窗口的长度的分析方法 [4]。在低频部分它有较高的频率分辨率和较低的时间分辨率，在高频部分也具有较低的频率分辨率和较高的时间分辨率 [5]。小波变换对每个频带都不够详细，这个将导致一个频带的能量扩展到另一个，导致光谱泄漏和衰减谐波分析的精度下降[6]。
3）基于离散傅立叶变换的谐波检测和分析：
该方法通过对模拟电压信号的周期性采样获得离散序列，利用窗函数提取离散序列的有限长度段，然后通过DFT算法执行离散傅立叶变换有限长离散序列，并采用频谱分析获得每个谐波的分析结果[3]。这种算法易于实现并具有更高的准确性。 然而，容易被信号混叠，栅栏效应和光谱泄漏干扰[3]，在这些干扰中，光谱泄漏最严重，其控制也是最困难的。栅栏效应可以通过增加多项式插值中的插值点数有效抑制。根据奈奎斯特抽样定理，如果最高频率的信号为f（max），采样时频率gt;=2f（max），可以有效抑制信号混叠。采样的信号等于信号乘以矩形窗函数，这可以被认为是在频域中与矩形窗函数的卷积，而这将带来频谱泄漏[7]。整数周期采样（保证时所有谐波的整数周期）可以防止频谱泄漏[8]。然而，实现这一目标极为困难。既增加DFT的长度又改造函数可有效抑制光谱泄漏。但太长的DFT的长度或太复杂的窗口函数会影响计算机的处理效率[9]。
因此，本文针对DFT，并提出了一个改进DFT算法。实验结果表明这一点算法具有更精细的谐波检测效果。
二 改进的DFT算法的谐波分析
- 消除频谱中修正的双峰线插值引起的频谱泄漏带来的误差。
构建恒定的交流电压信号u（t），首先周期性采样信号，采样频率为fs以获得离散序列u[n]，u[n]=u（nT）(T=1/fs).采用窗函数提取有限长序列x[n]，以考虑精度和效率，长度窗数N=fs，x[n-m]=u[]*w[n-m],(mlt;=nlt;=m N-1)，其中m是任意整数。通过DFT算法对于采用N点DFT 进行频域采样，获得频谱
i阶谐波，其离散表达式为，Ai谐波幅度，theta;i是初始相位。添加矩形窗Wr，当n是其他时值，等于0. .x[N]的DFT为：
其中Ki=fi*（N/fs），Wr是Rectangle的功能窗口。
当基频不是整数时，测量的频率可能不在插值点，它频谱泄漏的主要原因之一。因此采用改进双峰值线插值消除由频谱泄漏引起的误差[2,10-11]。
假设ki不在整数点上，ki位于k1和k2之间，X(k1)和X(k2)是最大和第二大靠近ki，k2=k1 1的插值点，带有矩形窗口的功能频域获得：
带来??并忽略旁瓣的影响[8]：
制作
与相比，N的值可以认为是无穷大，所以和可以被认为是
无穷小。因此，我们得到的函数：
计算ulate的绝对值：
幅度可以从等式（5）导出：
类似地，下面的等式可以由be导出：
组合由X(k1)和X(k2)导出的Ai的值：
Ai可以由等式（8）获得：
如果采样是同步的，目标频率是插值点，??可以认为是无穷小，不需要校正。将代入方程（6），Ai可以由方程（6）得到：
B.采用窗函数控制频谱泄漏
窗函数对频谱泄漏起着至关重要的抑制作用。 一般来说，采用信号截取矩形窗口。 矩形窗的响应时域和频域如图1所示。
图1 矩形窗在时域和频域中的响应
从图 1可以看出Rectangle窗口的主要叶较窄且集中，频率分辨率较高和结构更简单，因此是理想的选择 但是，矩形窗的旁瓣宽，并且衰减速率慢，这些都会导致相当严重的频谱泄漏。当频谱泄漏足够严重时，它会导致频谱之间的干扰，这会严重干扰幅度计算，特别是当目标频率不在插值点，它会导致严重误差[10,12]。
因此，优先考虑旁瓣宽度和衰减程度。汉宁窗的表达式显示长度L=2M 1[3,8]的布莱克曼窗口在等式（11）到等式（12）中，它们的特征在时间和
频域如如图2〜 3。
汉宁窗口：
Blackman窗口：
图2 汉宁窗在时域和频域中的响应
图3 布莱克曼在时域和频域中的响应
很明显，布莱克曼窗的旁瓣更窄，并且具有更快的衰减速率。 所以，布莱克曼窗口有助于抑制频谱泄漏和更准确的幅度增益[10,12-13]。
三 校正修正
A采用同步时振幅的校正采样
以Blackman窗口为例：
在此等式中：
很明显，汉宁窗和布莱克曼窗可以看作是修正幅度的矩形窗，所以它们在频谱中的振幅将被改变，通过使用恢复系数校正谐波幅度是必要的的[14]。例如，导出derive的幅度Airsquo;由方程（10），带Airsquo;
（15）：
汉宁窗和布莱克曼的恢复系数Kt可以通过仿真得出[14]：选择信号采用采样频率适应，采用窗口函数对信号进行采样和提取，采用DFT，提取Airsquo;，拿Airsquo;代入式（15），Kt为
计算后，汉宁窗的Kt为1.9998，Kt的Blackman窗口是2.3812。 这里Kt是理论值，当应用Kt时，由于各种因素，它需要围绕其理论值调节.
B采用非同步采样时的振幅校正
然而同步采样的要求也是如此高和绝对同步采样很难实现。 所以非同步采样的出现频率
高。 它应该关注。 双谱线需要采用添加窗口的插值算法当在非同步采样的情况下[9-10,15-
17]，添加窗口后信号的功能频域为：
忽略旁瓣的影响[8]，方程（16）
成为：
如果fi=△k*ki
，ki不是整数，k1在k2和之间这两个点的幅度的绝对值是： 参考方程（17）：
方程（18）可以表示为：那是，这个反函数可以通过多项式获得
近似。但是方程（18）太复杂和容易受影响。所以我们可以使用来获得。=ki-k1
=-0.5。根据参考：
拟合函数为：
??可以通过??和be来计算：
四 模拟和误差分析
实验表明，频谱因为采样率，谐波幅度，采样电路等等存在偏移。所以频谱需要在实际中校正应用。 并且当它们的功能应该调整用于不同的采样电路。
一组来自标准谐波的电压的采样数据源用于测试本文中的算法。
当采用矩形窗时，振幅，误差和各次谐波的相对误差如图4，图5和图6：
图4 矩形窗各谐波幅值
图5 矩形窗各谐波误差
图6 矩形窗各谐波相对误差
采用Blackman窗口时，幅度，误差和各次谐波的相对误差如图7图8和图 9：
图7布莱克曼窗各谐波幅值
图8布莱克曼窗各谐波误差
图9 布莱克曼窗各谐波相对误差
实验结果表明使用矩形窗口或布莱克曼窗口具有高精度。 但是，它显示采用矩形窗函数时存在部分频谱泄漏 。在采用Blackman窗口的情况下，同采用矩形窗相比，大多数点谐波的误差已被减少，并且准确性已有提升。
尽管同某些窗函数相比，布莱克曼窗的准确性有些不足，但采用布莱克曼的每次谐波的相对误差小于百分之六，足以满足要求。此外，如果窗函数太复杂，系统的分析效率将受影响。因此，采用布莱克曼窗是合适的。
五 结论
基于DFT，本文通过信号的截取长度，频谱和窗函数的插值抑制了谐波检测的频谱泄露。实验结果表明，采用Blackman窗口时，在50阶以内的每个阶谐波的计算量具有较高的效率与精度。 所以该方法是适合各种设备的。
致谢
这项工作是由国家科学和中国技术支持项目支持的（2012BAA13B01）。
参考文献
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[12] Mingxing Ouyang，“Application of Add Blackman Window Function在FFT中，“南方金属，总和。 188，pp。52，October 2012
[13]http://baike.baidu.com/link?url=n392MadVV
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