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电力系统中的IEEE交易，第28卷，第4页，2013年11月。
基于半定规划的大规模最优潮流求解器的实现
Daniel K. Molzahn, 学生会员, IEEE, Jesse T. Holzer, Bernard C. Lesieutre, 高级会员, IEEE, and Christopher L. DeMarco, 会员, IEEE
摘要：半定规划在最优潮流(OPF)问题中的应用近年来引起了广泛的研究兴趣。本文介绍了大型通用电力系统模型求解最优潮流问题所需的建模和计算进展。特别地，给出了OPF问题的半定规划松弛，在同一总线和平行线上合并了多个生成器。最近，将约束为正半定的单个大矩阵分解成多个较小的矩阵的关于矩阵完成技术的研究，解决了使用可计算于大系统模型的半定规划的最优潮流问题。我们对现有的分解技术提供了三种进展：一种进一步减少求解时间的矩阵组合算法，一种对现有的将其适用范围扩展到一般的电力系统网络中的分解技术的改进，还有一种从分解半定程序的解决方法中获得最优电压剖面的方法。
关键词：最优潮流；半定优化
1 介绍
最优潮流问题决定了一个基于指定目标函数的电力系统最优工作点，受网络等式约束(即建立电压和功率注入之间关系的潮流方程)和工程限制(例如，电压大小、有功和无功功率发生以及输电线路和变压器上的流量的不等式约束)的约束。以单位时间总可变发电成本为目标函数。
非线性潮流方程的存在，使得OPF问题具有典型的非凸性[1]。 OPF问题的非凸性使解决方案技术成为一个持续不断的研究课题。人们提出了许多求解方法，包括连续二次规划法、拉格朗日松弛法、遗传算法、粒子群优化法和内点法[2], [3]。
近年来，半定规划在OPF问题中的应用备受关注[4], [5]。利用秩松弛方法，将最优PF问题转化为一个凸半定规划。如果松弛问题满足秩条件(即半定规划具有零对偶间隙)，则可以用多项式时间确定原最优解的全局最优解。没有先验最优解方法能够保证在多项式时间内求出全局解；因此，半定规划方法相比传统的求解技术有很大的优势。但是，请注意，秩条件并不总是满足的，这意味着半定松弛并不能为所有实际的电力系统模型提供物理上有意义的解[6], [7]。对于这类情况，半定松弛的解可以为局部搜索算法提供一个很好的起点。此外，半定松弛的解总是得到未知整体解的下界，这为任何局部解提供了次最优性度量。但是，需要注意的是，对于具有非零对偶间隙的半理想松弛的解，并不一定比其他解技术更好地逼近真实解。例如，当应用于三总线系统时[6]，DCOPF作为OPF问题的一个公共线性逼近，与传统的ACOPF计算和半零对偶间隙的解相比，具有更精确的有功功率产生和有功拉格朗日乘子(LMPs)。最近的研究对满足秩条件的条件进行了调查。到目前为止，满足等级条件的充分条件包括对功率注入和电压幅值限制的高度限制，以及径向网络(典型的分布网络)或不现实地密集放置可控相移变压器[8]-[11]。其他工作包括使用半定规划来创建电压稳定裕度[12]。本文首先讨论了在一般电力系统模型中应用半定程序所必须解决的建模问题。第一个问题是允许在同一总线上产生多个发电机。通过将母线功率注入等同于发电，现有的公式只允许在母线上存在单个发电机。我们利用等边际发电成本的概念，产生了一个允许多个发电机在同一总线上的构想，每个发电机都具有不同的成本功能和发电极限。本文考虑二次型和凸型分段线性发电机成本函数。
一种在平行线上加入流量限制的方法被提出来了。现有的公式限制了两路总线之间的总流量，这不能正确地考虑具有不同电气性能和流量限制的平行线。相反，所提出的方法限制了每一行的流量。该公式中的线路可能有非标称电压比和/或非零相移。
本文接着对半定规划应用于大型电力系统模型的计算可处理性进行了研究。OPF问题的半定规划松弛强迫一个2nx2n对称矩阵成为半正定，其中n是系统总线的数量。因此，半定程序的大小随着母线数的平方而增大，这使得用半定规划来求解大系统的最优潮流问题具有很大的挑战性。最近的工作使用矩阵来减少利用实际电力系统所创建的稀疏矩阵结构求解大系统时固有的计算负担。Sojoudi，Lavaei [10], Jabr [16], Bai和 Wei [17] 现有的方法是将单个大的正半定2nx2n矩阵分解成许多小矩阵上的半正定矩阵。如果这些分解得到的矩阵满足秩条件，这个2nx2n矩阵也满足秩条件，可以得到最优解。Sojoudi和Lavaei的分解[10]使用网络的循环基。Jabr[16]和BAI[17]所使用的矩阵分解方法都是基于网络弦延的最大团的。
我们提供了对现有分解的几个增强。特别地，我们提出了一种启发式算法来结合分解产生的一些小矩阵。因为在2nx2n矩阵中引用同一元素的分解矩阵的元素之间需要链接约束。创建最小的可能矩阵并不总是有利的。组合矩阵消除了其中的一些链接约束，这可能导致计算速度的显著提高。我们证明了这样的说法：所提出的算法可以大幅度地增加使用理论参数和几个测试用例简化计算速度。
请注意，本文考虑了这些分解的集中应用，即创建一个在一台计算机上求解的半定程序，而不是创建多个子程序。使用分散技术解决的问题，如[18]。集中式应用程序允许使用现有的泛型半定程序解决方案。
本文还提出了一种从分解矩阵中恢复最优电压剖面的方法。虽然步骤相对简单，但现有的文章没有详细说明从解到分解公式实际获得最优电压剖面的方法。
虽然我们集中讨论Jabr[16]、Bai和Wei[17]提出的最大团分解，但由于有大量关于弦扩张的矩阵完成的文献(例如，[13]-[15])，这两种增强方法也适用于Sojoudi和Lavaei的分解[10]。
我们还描述了对Jabr[16]提出的最大团分解的一种修改，它允许应用于一般电力系统。该公式利用总线导纳矩阵虚部绝对值的Cholesky分解，建立了网络的弦延。然而，这个矩阵可能无法正定(例如，在具有显著并联电容补偿的网络中)，从而防止计算Cholesky因式分解。我们描述了一个总是正的矩阵，并给出了一个等价的弦延伸，从而扩大了这种分解在一般网络中的适用性。
本文的结构如下。第二节给出了OPF问题的经典公式和一个包含多个生成元在同一母线和平行线的半定规划松弛，包括非标称电压比和/或非零相移的线路。第三节首先概述了最大团分解，然后介绍了大规模系统模型分解的三个进展：一种通过合并矩阵来提高计算速度的算法，对Jabr最大团分解的一种改进，将其扩展到一般的电力系统网络，并给出了一种技术用于将最优电压剖面从溶液恢复为分解公式。第三节还讨论了大型系统模型的秩条件满意度。
2 OPF问题与建模问题
我们首先介绍OPF问题，因为它是经典的表述。具体来说，这个公式是按直角电压坐标、有功和无功发电以及明显的电力线流量限制来表示的。每个总线可能有多个发电机，并允许平行线。这个经典的OPF公式通常是非凸的。然后我们描述了处理同一总线和平行线上多个发电机的建模问题中所采用的OPF问题的半定规划松弛[5]。
2.1经典OPF公式
以n母线电力系统为例，其中表示所有总线的集合。定义G为所有生成器的集合，为总线上的一组生成器。让表示具有二次成本函数的所有发电机的集合，这些发电机在总线i上。让表示一组用分段线性成本函数的发电机，这些发电机在总线上。(其中一些集合可能是空的。表示发电机的有功和无功率输出。表示每个总线上的活动负载和反应性负载需求。表示各母线的直角坐标电压相量。上标“max”和“min”表示指定的上限和下限。让表示网络导纳矩阵。
表示所有线路的集合，其中线路在总线和上有终端, 允许平行线(即同一终端机总线之间的多条线)。让代表线路上的明显功率流。
定义与每个生成器关联的成本函数，通常表示一个美元/小时可变操作成本。本文分别在(1a)和(1b)中考虑二次和凸分段线性代价函数。在(1a)，,和表示发电机的二次成本系数。在(1b)中，生成器有一个分段线性代价函数，由斜率和断点()指定的线段组成，在是发电坐标，而是断点的成本坐标。
然后，讨论了经典的OPF问题。
请注意，这个公式限制了在给定线路两端测量的表观功率流，认识到有功和无功线损可能导致这些量的不同。
2.2 OPF问题的半定规划松弛
本节首先描述OPF问题的半定松弛，包括在同一总线上合并平行线和多个生成器的能力。让表示中的标准基向量。定义矩阵，其中，上标T指示转置运算符。
母线功率注入和电压大小约束中使用的矩阵是
此公式中的“线路”包括输电线路和变压器，其中变压器可能具有相移和/或非标称电压比。
也就是说，k线被建模为一个电路(具有串联导纳和并联电容) 与理想变压器串联(有匝数比1:) 如[3]。请注意，根据[5]，在所有线路上都有一个较小的最小电阻。定义为的标准基向量。行流约束中使用的矩阵是
为了方便记数
要写半定松弛，首先要定义电压坐标的矢量
(14)
然后定义秩一矩阵
(15)
总线i上的有功和无功率注入分别由和，其中tr表示矩阵跟踪算子(即对角元素的和)。母线i电压幅值的平方由给出。
同样，终端总线l上的线路的有功和无功线路流由和给出。由于允许具有非标称电压比和非零相移的变压器引入不对称，我们还需要独立的矩阵从m总线中k路线的另一个终端来表示有功和无功率流。分别
表示。
将秩一约束(15)替换为较不严格的约束，其中0表示对应的矩阵为正半定，则产生半定松弛。当解具有零对偶间隙时，半定松弛是“紧”的。半定松弛解的对偶间隙是指最优目标v之间的差。关于半定松弛和OPF问题整体解的目标值(2)。半定松弛的解当且仅当秩条件满足时有零对偶间隙。对于零对偶间隙的解，通过在参考母线上强制施加已知的电压角，可以恢复唯一的秩一矩阵W。
OPF问题的半定松弛是
其中，表观电力线流量限值和二次发电机成本函数分别在(16F)、(16g)和(16h)中使用Schur的补充公式实现；在(16i)中，分段线性发电机成本函数的实现采用了[3]中的“约束成本变量”方法；此外，为方便使用，每条总线上的最大和最小无功注入量定义为
半定松弛的对偶形式[即(16)的对偶]需要定义与(16)中的每个约束相对应的Lagrange乘子。分别定义与有功功率、无功率和电压幅值下限有关的Lagrange乘子向量为，和，和与上界相关联的，和。将标量变量定义为每条总线i上有功功率的拉格朗日乘数[即位置边际价格(LMP)]。注意，它不受非负约束。为每条线路终端测量的线路流量限制定义两个3x3个对称矩阵：和一起指示相应矩阵的（c,d）元素。用二次成本函数为每个生成器定义2x2的对称矩阵：为每个发电机g的每个线段的分段t定义一个带有线性成本函数拉格朗日乘子。
定义矩阵值函数A：
定义一个标量实值函数：
然后，将OPF问题的半定规划松弛的对偶形式写成
半定松弛具有零的对偶间隙，得到一个物理上有意义的解当且仅当(21)的解满足秩条件。
2.3讨论
半定规划的几个方面值得特别注意。我们把重点放在那些与以前的提法不同的方面(例如，[5])，由于所提议的公式允许在同一总线上产生多台发电机，并且有可能出现平行线。
半定松弛包括在同一总线上产生多个发生器的可能性。如(21F)和(21g)所示，同一母线i上的所有发电机必须具有相同的总有功拉格朗日乘法器。这与经济调度问题中边际费用相等的原则有关[19] 由于发电机无功注入没有出现在(2)的成本函数中，因此只需要对每台发电机母线使用无功拉格朗日乘法器，而不是对每台发电机使用。这可以在(17)和(18)中看到，它们确定总线i无功注入的允许范围。
半定松弛还包括平行线的可能性(即具有相同终端总线的多条线)。以及表示具有非标称电压比和/或非零相移的变压器的能力。以前的公式通过限制两总线之间的总功率流来限制线路流量，从而排除了在平行线上单独限制线路流量的能力。这种建模灵活性是以额外的复杂性为代价的。合并平行线消除了从总线导纳矩阵中直接形成线流矩阵的能力，而不需要(6)-(9)中更复杂的表达式。结合非标称电压比和非零相移破坏了模型的对称性，因此每个线路终端都需要不同的线流矩阵。[即，从发送端（6）中的和（8）中的用来测量有功和无功率流和（7）中的和（9）中的用于接收终端]。
对于大系统模型，半定规划求解器的数值困难可能会阻止收敛到可接受的精度。我们发现了几种实用的技术，可以减少大系统的数值困难。首先，忽略那些显然不会对解决方案有约束力的工程限制。许多电力系统数据集为不受约束的限制指定了较大的值，特别是对于无功发电和线路流量限制。我们没有包含与非常大的限制相对应的术语。类似地，使用二次成本函数指定的一些发电机实际上具有线性成本函数(即)。相应的矩阵被消除。这些技术不影响结果解决方案的最优性。
当系统模型有非常“紧”的限制时，往往会出现数值困难。例如，同步电容器的有功发电量被限制为零。第二种减少数值困难的技术是使用等式约束而不是不等式约束来模拟这些限制。当发电机的功率输出受限于很小的范围时，将发电机固定在这个范围的中点，并直接将相关的发电成本增加到目标函数中。求出的解的次最优度可以在最高和最低限度之间通过将等式约束对应的拉格朗日乘子乘以最大值之间差的一半来估计。
3 矩阵完全分解的研究进展
在本节中，我们描述了分解技术的几个进展，这些分解技术用于减少大型OPF问题的半定松弛的计算负担。首先，我们回顾了Jabr[16]提出的极大团分解。接下来，我们提出了一种矩阵组合算法，大大减少了分解所需的计算时间。然后讨论了大系统模型解的秩条件性质。接下来，我们
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