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屈曲
大多数复合结构是薄壁的。这是以下事实的自然结果：
－复合材料比传统材料更强。它可能用很小的面积来承载很高的负荷，并且它是厚度很小的组件。
－与传统材料相比，复合材料价格昂贵。因此我们尽量去减小它的体积，并尽可能去减少其厚度。
－聚合物基质复合材料的成本随着它们的刚度而增加。该纤维方向上的刚度可以通过使用纤维占比来估计，E1 = EfVf。例如，当玻璃纤维与聚合物基体结合在一起时，由此产生的复合刚度低于铝。使用芳族聚酰胺的硬度相当于铝。 碳纤维产生的复合材料刚度低于钢材。因此，有强大的无需增加梁和加强筋惯性矩的动机增加横截面积。 最好的选择是增加时间通过扩大横截面尺寸和减小厚度来提高惯性。
所有上述因素常常导致设计具有较大的复合结构，
薄壁横截面，失效模式可能由屈曲控制。
4.1特征值屈曲分析
屈曲是由于几何效应而不是材料失效而导致的失稳。但如果随后发生变形，则会导致材料不受限制的失效和倒塌。大多数结构可以在线性弹性范围内操作。并且在卸下负载后它们会返回到未变形的配置。当超过弹性范围时就会产生永久变形，就像基体在复合材料中开裂一样。
图4.1：完美色谱柱的平衡路径。
考虑一个面积为A长度为L惯性矩为l由均匀材料制成的简单支撑柱，沿着柱的方向模量为E强度为F。 该柱由作用在横截面[3]的质心上的压缩载荷P加载。 如果柱几何形状，加载和材料没有缺陷，则轴向变形是
u = P L/E A
没有横向变形w = 0。结构（u; v; w）在变形发生之前的变形称为主要路径（图4.1）。 最细微的缺陷会使柱子扣上当
Pcr = pi;2(E I )/L2
长细长柱的承载能力将通过屈曲来控制，而不是材料的抗压强度。 柱子达到其临界负荷后会发生什么很大程度上取决于支撑条件。 对于简单支撑柱，横向缺陷
w = A sin( pi;x/L)
当负载刚好超过PC R时，将会无限增长（A！1）：这种较大的横向偏差会导致材料失效，导致柱子崩溃。 屈曲后发生的结构行为称为后屈曲。
实际发生屈曲之前，图4.1中简单支撑的柱在屈曲模式（4.3）的形状中不会发生变形。 在这种情况下，据说该结构具有简单的主要路径。 这是具有完美对齐装载的完美结构的结果。 对于这些类型的结构，屈曲发生在分叉点。 分叉点是主路径与次路径的交点，即后屈曲路径[21]。
使用商业软件很容易获得分叉载荷，一种用于每种可能的屈曲模式。 结构的几何形状是完美的未变形结构，加载了额定载荷，材料具有弹性。 这种分析需要分析人员尽可能少的工作。 商业程序将此分析称为特征值屈曲分析，因为临界载荷lambda;i是离散化方程组的特征值
([K]-lambda;[Ks]){v}=0
其中K和Ks分别是刚度和应力刚度矩阵，v是特征向量（屈曲模态）的列[21]。
实例4.1考虑一个简单的支撑板，其侧面尺寸ax = 1000mm，ay = 500mm，在压缩状态下沿边加载，Nx = Ny = 1 N = mm。 该板由[（0 = 90）3] S，AS4 / 9310（表4.1）复合材料制成，其体积分数为0.6，总厚度tT = 10：2mm。 使用特征值分析计算最低四种模式的临界负载。 可视化较低的四种模式。
解决方案4.1由于层压板是对称的，并且不需要层压的应力计算，所以可以使用三种不同的方法获得临界载荷。 这个例子在例4.3中继续。
第一种方法：等效层压模量。 计算等效层压模量并与正交各向异性壳元件一起使用。 在这种情况下，层压模量代表等效的正交各向异性板的刚度，其在面内载荷下的表现类似于实际层压板，忽略了弯曲载荷（参见第3.2.6节）。 层压模量可以在第1.15节中找到。 将薄层性能（表4.1）引入（1.91），旋转各薄层（1.53），然后按照（1.102）得到表4.2中列出的层压模量（1.105）。 请注意，在某些情况下，弯曲层压模量E b等[1，（6.36）]可能会提供比面内层压模量Ex等更准确的结果[1，（6.35）]。
以下列出了用于输入层压模量的ANSYS输入部分，并可在网站上找到[5，FEAComp Ex401正交异性]。 使用元素类型SHELL281。
表4.3显示了屈曲载荷。
第二种方法：使用A，B，D，H，矩阵。 计算A; B;d; H; 矩阵，将薄层特性（表4.1）引入（3.9）。 所得到的层压基质是
ANSYS输入用于使用SHELL281单元和A定义层压板; B; C; H;矩阵如下所示。
表4.3显示了屈曲载荷。
第三种方法：使用LLS。 层压堆叠顺序（LSS）和层压板属性（表4.1）被输入。ANSYS输入命令来定义层压板如下所列。 使用元素类型SHELL281。
在ANSYS中获得“特征值屈曲分析”解的过程有三个步骤：（i）使用PSTRESS，ON命令求解静态解以获得应力刚度矩阵;（ii）使用特征值屈曲解来获得分岔载荷;以及（iii）如果屈曲模态形状 是必要的。 通过运行下面列出的代码，可以获得每种模式的临界载荷和屈曲模态形状。
使用后处理器中的命令SET，LIST，可获得具有临界屈曲载荷的列表。 使用SET，1，n（其中n是模式编号），可以选择与不同模式形状对应的不同解决方案，可以使用PLDI SP，1命令绘制，如下表所示。
表4.3总结了等效层A的结果。 B;d; H; 矩阵输入以及LSS。 值仅针对模式显示，因为对于子模式方法中使用的迭代向量的数量，1/2以上模式的结果缺乏准确性。
4.1.1缺陷敏感度
为了说明屈曲缺陷的影响，让我们考虑图4.1中的实线。 对于分叉载荷PC R以下的任何载荷，即在完美结构的主路径上，侧向角为零。 主路径与分叉点处的次路径相交，负载为PC R。 色谱柱的后关键行为是不同的，并且稍微稳定。 不同意味着列可以正确或者左边排列。 稳定的后关键路径意味着一旦柱子弯曲，柱子可以承受稍高的负荷。 对于一列，这种限制行为是如此之小，以至于不能依靠它来承载PC R之外的任何负载。 实际上，柱子会横向变形，材料会失效，系统会崩溃。 与列不同，简单支撑的钢板在次要路径上经历了显着的阻碍。
4.1.2异常分叉
考虑图4.2所示的框架。 使用每个单个单元的特征值分析[21，5.9节和7.8节]揭示了分叉负载
Pcr=8.932(10macr;6)AE
但没有说明临界状态的性质：它是否稳定，后关键路径是否对称，等等。 稍后我们会看到，框架具有不对称的，因此不稳定的后关键路径，如图4.2所示。 也就是说，后关键路径有一个斜率
P(1)=18.73(10macr;9)AE(1/rad)
在图4.2的力旋转图中，接点在加载点处的旋转那里。
一般而言，特征值分析的问题在于它没有提供关键后路径性质的指示。 如果后关键路径如图4.1所示是对称的并且对称的，则真实结构可能具有接近分叉负载的负载能力。 但如果后关键路径不稳定和/或不对称，如图4.2所示，或者如果存在模式相互作用[16,22]，则真实结构可能具有比分叉载荷小得多的载荷能力。 为了使用特征值分析提供的信息，有必要了解和量化后屈曲行为。
4.1.3后关键路径
调查后屈曲行为的一种方法是对不完美结构进行连续分析，如4.2节所示。 这是完全可能的，但是复杂且耗时，因为它将在本章后面看到。 使用软件能够预测后关键路径的性质，包括对称性，曲率和模式相互作用，可以获得更加方便的解决方案。 如果次要路径是稳定且对称的，则分叉负载可用作结构的负载能力的良好估计。 后关键路径的曲率给出了后屈曲变形的良好指示，并且它可以在一定程度上用于预测屈曲后变形。
图4.2：双杆机架。
从分岔点（4.1）出现的后关键路径的分岔载荷，斜率和曲率可以用[5]中的BMI3 [23] [25]计算。 后屈曲行为由以下公式表示
其中s是摄动参数，它被选为一个节点位移的一个分量，是分岔乘数，是斜率，是后关键路径的曲率[22，（43）]，[16,23（26）]。当斜率为零时，后关键路径是对称的。 因此，屈曲是不同的，真正的结构会屈从于任何一方。 没有办法预测它将扣紧哪种方式，除非人们知道实际板上缺陷的形状，但很少有这种情况。 正曲率表示后屈曲时的曲率，负曲率表示曲率下降。
实例4.2 考虑例4.1的简单支撑板。 计算分岔乘数C R，临界载荷NC R，斜率和后临界路径的曲率。 估计最大横向角度等于板厚时的载荷。 作为摄动参数，使用最低屈曲载荷下屈曲模态的最大位移分量。
对例4.2的解决方案 程序BMI3 [22]可用于计算分支乘法器C R，斜率和后临界路径的曲率。 有关软件界面和操作步骤的说明，请参阅附录C. 在本例中，BMI3 c在ANSYS图形用户界面（GUI）中使用。 由于BMI3需要A-B-D-H矩阵，所以ANSYS输入是用于例4.1中第二个方法的稍微修改的版本，如下所示[5，FEAcomp Ex402 ABDH.inp]
该模型在ANSYS中通过使用“特征值屈曲分析”程序来求解分叉载荷。 临界最低载荷显示在ANSYS GUI上，FREQ = 210。 2表示STEP = 1，SUB = 1。 由于屈曲模式被缩放到1.0的最大幅度，我们得到DMX = 1。 可以通过SET，LI ST命令调用一系列屈曲载荷。
接下来，附录C.2.2给出了关于如何从ANSYS内部运行BMI3的细节。 在ANSYS GUI中，只需在ANSYS命令行输入ans2i即可运行APDL宏ans2i（可在[5]中找到），以计算后关键路径的参数。 BMI3将被执行。
在任务栏中找到最小化的ANSYS输出窗口并打开它。 然后，手动向提示中引入以下响应：
- ... sort（0 =无，1 = x，2 = y，3 = z）：1.为了最小化带宽，通常最好沿着具有更多元素和/或节点的方向排序。
- ...用于摄动分析（y / n）？：n。 这样，BMI3选择最小屈曲载荷作为屈曲模态的最大位移分量作为摄动参数。 在这种情况下，这对应于屈曲模式，板中间的节点和反射方向。
获得以下结果：
=-209.0418； asymp;0； =-0.2308
由于BMI3使用反向载荷解决了这个问题（见附录C），所以（4.7）变成了
在这种情况下，扰动方向是s =-sigma;，所以
图4.3：完美板的平衡路径。
因此，使用BMI3的结果，分岔分析的次要路径是
由于斜率为零，后关键路径是对称的。 如图4.3所示，当侧向角（w）等于厚度（s = Th = 10.2 mm）时，后屈曲载荷等于221 N / mm。
通过使用下面显示的MATLABR代码，可以基于BMI3的结果绘制图4.3。
4.2 连续方法
聚合物基复合材料（PMC）失效的应变很高。 比较AS4 / 3501的1.29％和S玻璃/环氧树脂的2.9％，钢仅为0.2％，铝为0.4％。 这意味着屈曲变形可以进入后屈曲状态，而材料保持弹性。 但是，必须非常小心，没有矩阵主导降解模式，在这种情况下材料不会保持弹性（见第8章）。 特征值屈曲分析相对简单，只要材料保持弹性，因为可以使用经典的弹性稳定理论，如4.1节所述。 材料非线性是激发增量分析的一个原因。 另一个原因是评估缺陷敏感结构的屈曲载荷的大小。
在增量分析中，也称为连续分析，负载逐步增加。 在每一步中，都会评估变形以及可能变化的材料属性。 增量分析必须包括某种类型的缺陷，几何形状，材料或载荷对齐。 缺乏任何缺陷，增量分析将跟踪线性解决方案，揭示没有分叉或限制点。
连续方法是几何非线性分析的一种形式。 系统必须具有非平凡的基本路径，例如在边缘负载下具有非对称层压堆叠序列（LSS）的平板。
如果系统有一个平凡的基本路径，这种平板在边缘负载下具有非对称LSS，则可以通过引入一个不完整的基础路径来强迫非平凡的基本路径。 有几种类型的缺陷是可能的，包括材料缺陷（例如不对称LSS），几何缺陷或负载偏心。
由于真实的几何缺陷很少是已知的，所以优选的人造几何缺陷是具有最低分叉负载的分叉模式的形式。 在大多数情况下都是如此; 然而，在某些
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