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层合板的弹性和强度
大多数复合结构都是由板材和壳体组装而成的。这是因为该结构在承载膜载荷时效率更高。另一个重要原因是厚层压板难以生产。
例如，考虑由均质材料制成的梁，其抗拉和抗压强度受弯矩M的影响。此外，考虑一个方形横截面的实心梁（图3.1），等宽度和深度2c，面积A，惯性 I和剖面模数S由：
（3.1）
当梁表面的应力达到破坏应力时，单位面积弯矩为：
（3.2）
现在考虑一个尺寸为2ctimes;2c和壁厚为t的方形空心管（图3.1），其中2c gt;gt; t，所以下面的近似值是有效的：
（3.3）
然后
（3.4）
图3.1：实心截面（a）和空心方管（b）
薄壁空心方管的单位面积失效时间是实心断面的两倍。
当然，失效的时刻受到薄壁弯曲的限制(见第4章)，这就是屈曲分析对复合材料非常重要的原因。 大多数复合材料结构都是在屈曲约束条件下设计的，因为厚度小，材料强度大，所以通常不会像金属结构（如屈服应力）那样遇到材料失效，而是会出现诸如屈曲等结构失效。
板材是一种特殊的壳体，没有初始曲率。因此，在续集里只会提到壳体。壳体被建模为二维结构，因为两个尺寸(长度和宽度)比厚度大得多。从控制方程中消除了厚度坐标，使三维问题简化为2D。在此过程中，厚度成为已知的参数，并提供给分析模型。
叠层复合材料的建模在三个方面与传统材料不同。首先，各层板的本构方程为正交各向异性(1.12.3节)。第二，元素的本构方程依赖于壳理论的运动学假设及其在元素中的实现。最后，在模型中使用对称条件时，材料对称与几何和负载对称同样重要。
3.1壳的运动学
壳元素基于各种壳理论，而壳理论又基于动力学假设。 也就是说，关于材料的壳体厚度的可能变形类型，存在一些基本假设。 这些假设需要将三维控制方程式降低到二维。 正如接下来讨论的那样，这样的假设或多或少都适用于各种情况。
图3.2：FSDT假设变形
3.1.1一阶剪切变形理论
最流行的复合材料壳理论是一阶剪切变形理论（FSDT）。 它基于以下假设：
1.在未变形构型中通过壳体厚度绘制的直线可以旋转，但当壳体变形时它将保持直线。 当它们在x - z和y - z平面上测量时，它与未变形的中间面的法线形成的角度（如果有的话）分别表示为和（图2.8和3.2）。
2.随着壳体变形，壳体厚度的变化可以忽略不计。
当以下情况属实时，大多数层压壳体的实验观察证实了这些假设：
- 横纵比r = a / t，定义为最短表面尺寸a和厚度t之间的比率大于10。
- 壳坐标（x，y，z）中叶片的刚度不会相差超过两个数量级。这一限制有效地排除了夹层壳的存在，在这种情况下，核心比表面要软得多。
基于上述假设，在壳体中的任何位置处的泛型点B的位移可以根据位于中间面C处的位移和旋转表示为：
（3.5）
（3.5）右边的中间曲面变量只是两个坐标（x和y）的函数，因此壳理论是二维的。 在左侧，位移是三个坐标的函数，因此对应于材料的三维表示。 在三维层面上，我们使用三维本构方程（1.68）和三维应变 - 位移方程（1.5），现在可以用二维数量来表示：
（3.6）
— 中间面的应力，，，也称为膜应变，表示中间面的拉伸和平面剪切
— 曲率，，的变化很接近中间曲面的几何曲率，但不完全与其相同。 它们正是第3.1.2节讨论的基尔霍夫理论。
— 层间剪切应变，，它们是厚度方向的剪切变形。 这些对于层压复合材料来说是小的但不可忽略的，因为层内剪切模量，与面内模量相比较小。金属在剪切中相对较硬，因此层内应变可忽略不计。 此外，与面内强度值，相比，复合材料，的内部剪切强度相对较小，因此需要对内部应变（以及可能的应力）进行评估。另一方面，金属的抗剪强度与它们的抗拉强度相当，并且由于层内应力总是小于平面应力，所以不需要检查金属均质壳层的层间破坏。对于层压金属壳来说情况并非如此，因为粘合剂不够强并且可能因层内剪切而失效。
图3.3：作用于板或壳单元上的应力结果：（a）单位长度的力，和（b）单位长度的力矩，以及（c）与数学角theta;相比，壳理论旋转phi;的定义。
当三维本构方程将应变与应力联系起来时，本构方程与中表面张力和曲率有关。利用应力结果的定义，得到了层压本构方程。在三维弹性过程中，每一个质点都处于应力状态，一个壳体由应力结果(图3.3)加载，这是应力分量通过壳层厚度的简单积分，如下所示：
（3.7）
其中N是薄板的数量，和分别是第k层薄板底部和顶部表面的坐标。用每个薄层的壳本地坐标（1.100-1.101）代替3D本构方程的平面应力版本，并进行整合得到：
（3.8）
其中
其中是层数k的平面应力刚度矩阵的层合坐标系数，是层板厚度k，并且是第k层板中间表面的坐标。 有关各种术语含义的深入讨论，请参见[1]。 总之，系数表示层压板的面内刚度，系数代表弯曲刚度，代表弯曲 - 延伸耦合，代表层内剪切刚度。 所有这些系数可以通过（3.9）来计算，并可在诸如CADEC[9]等广泛的软件中实现。
当薄膜和弯曲变形是不耦合的(例如，对称层压板)，FSDT的控制方程涉及解决弯曲问题（，，）的三个变量和解决膜问题（，）的两个变量。弯曲 - 延伸耦合意味着必须同时找到所有五个变量，这就是有限元分析(FEA)软件代码针对每种情况所做的事情，无论问题是否耦合。
利用虚功原理可以推导出平板的平衡方程(PVW，见(1.16))。此外，可以通过将本构方程(3.8)代入平衡方程来推导出控制方程。
板的简支边界条件
即使是纯弯曲、纯剪切或纯平面载荷加载（见[1]中的第141页），具有耦合效应的复合板也可能具有弯曲，剪切和膜变形耦合。虽然这个术语简单地表示要限制横向偏转w(x, y)，但它并不是唯一地定义平面内位移和的边界条件，以及法线与切线的边界。 在分析解决方案中，习惯上限制或。因此存在以下可能性
在SS-1型中，规定了法向力和力矩。 在SS-2中，指定了剪切力和力矩。 如果层压板不具有弯曲延伸耦合，并且分析是几何线性的，则横向载荷不会引起。旋转的命名约定与图3.3中所使用的力矩结果相同，其中下标n表示垂直于外壳边缘的方向，下标s表示与边缘相切的方向（另请参见[10 ，图6.2.1]）(参见[10，图6.2.1])。此外，b代表一个已知值，该值可能为零，也可能不为零。
3.1.2基尔霍夫理论
从历史上看，基尔霍夫理论更受青睐，因为控制方程只能用一个变量来写，即壳的横向偏转。在信息时代之前，用一个变量而不是FSDT中需要的三个变量来获得解析解更容易。这意味着基于基尔霍夫理论[11]的工程设计手册中存在大量的封闭式设计方程和近似解。如果我们非常小心仔细并且了解它们的局限性，这种简单的设计公式仍然可以用于复合材料壳体的初步设计。金属壳通常仍然是用基尔霍夫理论建模的。FSDT控制方程可以简化为基尔霍夫控制方程，并且可以找到封闭形式的解，如[10]所示。
在基尔霍夫理论中，层内剪应变假定为零。 从（3.6）中的最后两个方程得到：
并将它们引入（3.6）中的前三个方程中
注意变量，已被消除，并且基尔霍夫理论仅使用三个变量，和。 这使得分析解决方案更容易找到，但数值上基尔霍夫理论的实施更为复杂。由于需要的二阶导数来表示应变，所以弱形式（2.30）将具有的二阶导数，这将要求插值函数（参见第2.1.4节）具有连续性。 也就是说，插值函数必须是这样的，不仅位移而且斜率在元素边界上都是连续的。换句话说，当从任意共享边界的元素计算出来时，位移和斜率，在元素之间的边界处必须是相同的。 这很难实现。
考虑梁弯曲的情况。应用分布荷载的常微分方程(ODE)为：
弱形式代入到(2.3)得到：
图3.4：（a）微观力学，（b）层压水平，和（c）层压水平方法。
分部积分两次：
当如2.1.6节所述组装元件时，发现共享节点的相邻元件i和i 1在其共同节点处具有相同的偏转但具有相反的剪切力和弯矩，如下：
对于（2.24）中要消除的剪力，只需要，这是由在公共节点上具有的连续性元素所满足的。对于（2.24）中要消除的弯矩，需要，这只能在元素具有连续性的情况下完成，即公共节点处的斜率必须相同。这些元素很难处理（[12，第276页]）。
在FSDT理论中，只有一阶导数用于应变(3.6)。因此，弱形式(2.30)只有一阶导数，并且与（2.24）一样，所有的内部广义力在只有元素连续性的共同节点上消去。
3.2层合板的有限元分析
层压复合材料的变形和应力分析可以在不同的水平进行(图3.4)。描述材料所需的详细程度取决于所需的后处理级别。
当需要很高程度的细节时（图3.4.a），应变和应力是在构成层面上计算的，即纤维和基体。在这种情况下，需要描述微观结构，包括纤维形状和几何分布，以及组成成分的材料特性。第6章给出了更多细节，其中微机械建模用于为纤维和矩阵的任意组合生成属性。 另外，当复合材料是机织织物，或层压材料非常厚时，或研究局部现象如自由边缘效应（第5章）时，复合材料应该分析为固体，如第5章所示。但是， 必须注意的是，大多数层状结构可以使用第3.1节中解释的板和壳简化来分析。
在光谱的另一端(图3.4.c)，复合材料可以被认为是一种均匀的等效材料。在这种情况下，其结构行为可以用第一章中所示的正交各向异性特征来分析。如果利用宏观尺度方法(图3.4.c)，将整个层板分析为齐次等效壳层，就不能得到层压板上的应力分布。然而，当只需要位移、屈曲荷载和模态或振动频率和模态时，这种简单的层压描述就足够了。在这些情况下，只需要层压刚度(3.8)(见第3.2.5节)。 在某些情况下，即使是更简单的材料描述也足够了。例如，当层压板是单向的，或者叠层是平衡的和对称的(见[1，第6.3节])，层压板可以被建模为正交各向异性材料的单层板(3.2.6节)。
在大多数情况下，需要为层压板中的每个薄层计算应力和应变。 然后，必须将实际的层压堆叠顺序（LSS）输入到程序中（第3.2.7节）。 在这种情况下，必须给出每个薄片的弹性特性，以及每个薄片的厚度和纤维取向。 这种方法通常称为中尺度水平方法（图3.4.b）。
单向薄层可以令人满意地近似为横向各向同性。 然后，在正交各向异性材料的方程中使用和就足够了。 单向薄层的弹性特性可以使用微观力学（第6章）或单向层压材料的实验数据来计算。 表3.1列出了一些单向复合材料的材料性能。
在大多数复合结构的分析中，通常是避免微观力学方法，并通过实验得到单向层板甚至是整个层板的性能。然而，实验方法并不理想，因为在设计过程中，组分或纤维体积分数的变化会使所有材料数据失效，并且需要新材料的新的实验方案。利用微力学公式使用[9](见第6.1节)等软件计算层合板的弹性性能更好。不幸的是，微观力学公式不能准确预测强度，所以不能完全排除实验工作。
总之，可以通过两种方式指定层压板属性:
--由本构矩阵A, B, D, H，或
--通过指定层叠堆叠序列(LSS)和每个薄片的属性。
表3.1：单向碳/环氧复合材料的材料性能
当用层压板的本构矩阵A，B，D，H定义层压板时，壳元不能区分不同的层板。它只能将广义的力和力矩与广义的应变和曲率联系起来。另一方面，层合壳单元有能力利用层叠堆叠序列(LSS)和层板特性来计算层压板性能。
3.2.1单元类型
在商业有限元法中，不同的板块和壳层理论是由元素类型来实现和区分的，被称为壳单元[13,14]。ANSYS中用于分析复合材料/结构的主要外壳元件如表2.1所示。
壳单元允许一个模型将薄到中等厚度的外壳，降低到10的横向厚度比。其中一些节点有3个或4个节点，其他节点有8个节点，因此使用了更高的插值函数。在三维空间中定义了外壳元素，并且每个节点上有5到6个自由度(DOF)(在节点x、y和z方向上的平移以及关于节点x、y和z轴的旋转)。第6自由度(绕z轴旋转)被包含在壳体公式中，以允许对折叠板进行建模，但如果壳体表面光滑，则不需要。
接下来的几节将介绍各种不同层次的层合板的建模。
3.2.2夹层壳
对于夹层壳体而言，无论壳体的总厚度如何，核心都要柔软得多，并且横向剪切变形是显着的。传统
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