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约束机械系统的Udwadia-Kalaba方程：公式和应用程序
摘要：
分析力学领域有许多成就，如拉格朗日方程、汉密顿原理，凯恩方程。与牛顿-欧拉力学相比，分析力学的应用范围更广，其公式程序更具有数学性，然而，现有的分析力学方法都是在一些辅助变量的基础上提出的。本文介绍了一种新的分析力学的方法。将拉格朗日乘子、投影或任何拟或辅助变量引入力学系统的中心问题。由于这种方法是由Udwadia和Kalaba首先提出的，所以被称为Udwadia-Kalaba方程。它是约束机械系统运动方程的显式表示。它可以通过高斯原理，达朗贝尔原理或者扩展达朗贝尔原理推导出来。它适用于完整和非完整等式约束，只要它们与加速度是线性的或可简化为这种形式。因此，Udwadia-Kalaba方程可以牛顿-欧拉方程、拉格朗日方程和凯恩方程分别进行了比较。最后给出了三种不同类型的实例进行了说明。
关键词：
Udwadia-Kalaba方程，力学系统，约束， Moore–Penrose逆
- 介绍
经典力学被分为牛顿欧拉力学和分析力学（拉格朗日力学），1687年，艾萨克牛顿爵士为一种假设的物体——粒子，提出了三条基本运动定律。在18世纪，欧拉将牛顿的法则扩展到刚体上。在牛顿欧拉力学中，力被分为内力（完全来自系统内部）和外力（来自外部系统）。拉格朗日将力分为约束力（完全取决于约束）和给定的（或固有的）力（取决于物理系数）。拉格朗日在1788年推广了达朗贝尔的统计原理，并通过“虚位移”和“虚功”的概念来阐述分析力学。拉格朗日引入了“广义坐标”(又称拉格朗日坐标)来减少运动方程和约束方程的数量。在拉格朗日运动方程中，加入拉格朗日乘子部分来描述约束系统的运动。然而，拉格朗日乘子并没有明确地表示为广义坐标和广义速度的函数。继拉格朗日之后，汉密尔顿在1834年以著名的汉密尔顿原理发展了解析力学，它提供了拉格朗日方程的另一种推导。哈密顿运动方程是建立在动量和动能之间的关系上的。19世纪40年代，雅可比提出了一种描述系统运动的动力学积分理论，我们称之为雅可比积分。在19世纪70年代，劳思的可忽略坐标法作为另一种消元方法被提出，以获得运动方程。无约束系统的高斯方程建立于1879年。不久之后，阿佩尔研究了线性(或普法夫)速度约束下的非完整系统动力学。20世纪10年代至30年代，Appell和Hamel研究了非线性速度约束下的非完整系统动力学。哈默尔法将约束直接嵌入到无约束运动的动能中。哈默尔方法中的拟变量是不可物理测量的。这个方法似乎简单、直观，但并不总是可用的。在20世纪60年代，凯恩开发了一个基于准速度的方程。
尽管经典力学和力学原理有了这些伟大的发展，但仍有一个缺失的部分。对于受非完整约束的系统，运动方程的解析表达式仍然是不可用的或实用的。现有的方法都只是提供了一些辅助变量(如拉格朗日乘子或其他拟变量)的运动方程。除了广义坐标。它阻碍了一些基本的探索，如稳定性、混沌、分岔等，这些大都是基于解析表达式进行的。因此，对约束系统运动方程的这种最终解析形式的研究继续进行。20世纪90年代取得了重大突破。Udwadia和Kalaba提出了一个新的方法来解决这个经典力学的中心问题。它可以通过高斯原理，达朗贝尔原理，或推广达朗贝尔原理来证明。该方法提供了约束机械系统运动方程的解析表达式，其中约束可以是完整的和/或非完整的。Te约束力用闭合形式表示:仅基于广义坐标/速度。不需要其他辅助变量。这是迄今为止最简单的形式，完成了持续了200多年的探索(自1788年以来)。
20世纪90年代取得了重大突破。Udwadia和Kalaba提出了一个新的方法来解决这个经典力学的中心问题。它可以通过高斯原理，达朗贝尔原理，或推广达朗贝尔原理来证明。这一创造性的方法提供了受约束机械系统运动方程的解析表达式，其中约束可以是完整的和/或非完整的。Te约束力用闭合形式表示:仅基于广义坐标/速度。不需要其他辅助变量。这是迄今为止最简单的形式，完成了持续了200多年的探索(自1788年以来)。
在这篇综述论文中，我们以一种直接和可接近的方式提出Udwadia-Kalaba方程。我们利用例子进一步说明Udwadia-Kalaba方程。Tese将演示该方程在非常广泛的工程问题中的适用性。
- 无约束系统的运动方程
考虑一个由n维坐标,速度和加速度描述的无约束力学系统。无约束机械系统的动力学模型可以被表示为：
， （1）
其中是惯性矩阵，包括给定的力(也称为作用力)、科氏力/离心力和万有引力[7]。函数和是连续的。
备注1、式(1)可以通过牛顿-欧拉力学或解析力学得到。我们忽略了细节，因为这在标准的机制书籍中经常被讨论(例如，Refs。[1，7])。我们现在通过示例来演示这一点。
例1、考虑一个粒子m，它在重力的影响下作水平水平抛射运动。在笛卡尔坐标系下
固定在惯性参照系上，设x为横坐标，y为纵坐标。运动方程为：
， （2）
g是重力常数。即用来表达式（1），惯性矩阵，给定的力。
对于极坐标，用r表示径向坐标或半径，theta;表示角坐标。笛卡尔坐标与极坐标的关系坐标表示为
(3)
对方程(3)对t求导
(4)
对式(4)继续微分后，得到
(5)
结合方程式(2)和(5)得到
(6)
在等式(6)的第一个方程上乘以cos theta;，在等式(6)的第二个方程上乘以sin theta;，并将它们相加，得到
(7)
在等式(6)的第一个方程上乘以sin theta;，在等式(6)的第二个方程上乘以cos theta;，然后减去它们，得到
(8)
因此，极坐标下的运动方程是
(9)
其中,惯性矩阵，给定的力
3、约束
在实践中，机械系统的运动总是在某种程度上受到约束[36-39]。
定义 1、一个形式为f (q, t) = 0，或可简化为这种形式的约束称为完整约束。每一个非这种形式的约束，或不能约化为它的约束，称为非完整的[1]。根据完整约束是否明确依赖于时间，可以将其分为刚性约束和流变约束。
定义2、一个完整的约束形式f (q) = 0，或可简化为它，称为硬约束。每一个不是这种形式的完整约束(因此在f (q, t) = 0的形式中)，或者不能约化为它的，称为流变学[1]。在分析力学中，识别约束的完整性传统上是至关重要的。本文首先介绍了后面的引理，以后再用。
引理1。考虑以下Pfafan形式的约束(其中) [1]
（10）
约束是完整的当且仅当
(11)
其中alpha;、beta;、gamma;是x、y、z的函数，是一个充要条件。如果约束不是完整的，那么它就是非完整的。在下面的三个示例中可以看到不同类型的约束。这里，我们假设x y z是坐标。
这是一个充要条件。如果约束不是完整的，那么它就是非完整的。在下面的三个示例中可以看到不同类型的约束。这里，我们假设x y z是坐标。
例2:(刚性约束)考虑一个约束
(12)
由此可见，方程（12）是定常的。对方程(12)对时间t积分，然后将方程重新表述为
(13)
其中L是一个常数。根据定义1和2，我们知道约束方程(12)不仅是完整的，而且是定常的。
例3:(流变学约束)考虑一个约束
(14)
由此可知，式(14)是流变学的。对方程(14)对时间t积分，然后将方程重新表述为
(15)
其中L是一个常数。根据定义1和2，我们知道约束方程(14)不仅是完整的，而且是流变的。
例4:(非完整约束)考虑一个约束
(16)
alpha; = 1， beta; = 2z， gamma; = 1，我们有
(17)
根据引理1，我们得出约束Eq.(16)是非完整的。Udwadia和Kalaba设置[27]的标准二阶约束形式由
(18)
其中.
假设1、(i)秩。(ii)二阶约束方程(18)是一致的。对于给定和，方程（18）至少存在一个解。
约束方程(18)包含非常广泛的约束[40]。它包括完整约束和非完整约束。例如,表单的完整约束f (q, t) = 0可以采取时间t的二阶导数而非完整约束的形式 可以采取一次关于时间t的形式。
例2中约束的标准形式可以重新表述为
(19)
当，,。例3中约束的标准形式与Eq.(19)相同。例4中约束的标准形式可以重新表述为
(20)
其中，，。我们现在将结果推广到以下两种情况。
情形一:假设系统受m个一阶形式(Pfaffian表示)的约束
(21)
或者等价地
(22)
对等式(22)求导得到
(23)
当
(24)
且
(25)
让
我们可以将式(23)重新表示为
(26)
将等式(26)用和 的矩阵形式表示，得到了标准二阶形式的方程（18)。
案例二。假设系统受到形式为的m约束
(27)
对(27)求导得到
(28)
或等价的形式
(29)
注意(28)用（22)的形式表达
，
然后，我们采用与情形I相同的程序来获得标准形式的Eq.(18)。
备注2。在Udwadia-Kalaba的设置中，它只考虑那些可以表示为关于系统粒子加速度的线性等式关系的约束。也就是说，将(18)形式的约束，或可对其微分的约束，应用于Udwadia-Kalaba方程。
4、Moore-Penrose (MP)逆
我们从介绍数学基础开始。
Defnition 3。考虑矩阵且秩rge;1。其奇异值由delta;1ge;delta;2ge;···ge;delta;r gt; 0给出。设其奇值分解由给出，其均为单位矩阵[10]:
(30)
在这里用，{u1，···，ur}和{v1，···，vr}分别是和中的向量的标准正交集合。W的Moore-Penrose逆由
(31)
引理2、q times; p矩阵是W的MP逆当且仅当以下条件满足[41]:
(32)
(33)
(34)
(35)
而且，是独一无二的。条件(34)和(35)暗示了矩阵和是对称的。下面给出了MP逆的一些命题，以帮助求MP逆[27,42,43]。
命题1.，其中是一个非零标量。
命题2.如果a是非零的1 times; n行向量，那么。
命题3.如果a是非零的n times; 1列向量，则。
命题4.如果a是一个非零的1 times; n向量，则。
命题5.如果，那么，其中B和C是矩阵A的模。
- Udawadia-Kalaba方程
我们认为机械系统(1)受约束(18)。
假设2.惯性矩阵M(q, t)是正定的:对于每个
根据假设1和假设2，相应的受约束机械系统的Udawadia-Kalaba方程由[27]给出
(36)
在这里，是约束力。
在假设1和假设2下，约束力始终存在。受约束的机械系统(36)满足约束(18)。约束力以闭合形式(即解析形式)得到。这个Udawadia-Kalaba方程可以通过高斯原理[44]，达朗贝尔原理[45]，或扩展达朗贝尔原理[46,47]导出。
到目前为止，Udawadia-Kalaba方程是唯一一个没有使用拉格朗日乘数、投影、或任何拟或辅助变量的方程。它不会增加原无约束系统的维数。所需要做的就是找到指定矩阵的MP逆。因此，它是简单、直接和实用的。这个方程可以应用于非常广泛的问题。它的应用可以在参考文献中找到。[48-53]。
6.与其他方法的比较
Udwadia-Kalaba方程提供了一种描述离散力学系统运动的新方法，它不同于牛顿-欧拉方程、拉格朗日方程[54]、Maggi近似[55]或Kane方程[19]等方法。接下来，我们将把Udwadia-Kalaba方程与其中一些方法进行比较。
6.1与牛顿-欧拉方程比较
考虑刚体B。对于刚体B，其原点为点P，不一定与B的质心重合的坐标系，牛顿-欧拉方程是这样的形式。
(37)
这里
(38)
(39)
表示反对称的叉积矩阵,c是质心的位置,m是质量,加速度是,是惯性矩,角速度omega;,alpha;角加速度,F是总力(包括内部和外部),是总力矩。
Udwadia-Kalaba方程有两个主要区别。首先，牛顿-欧拉方程通常用物理坐标(如笛卡尔坐标、圆柱坐标或球面坐标)表示，Udwadia-Kalaba方程除了物理坐标坐标外，还可以用广义坐标表示。第二，牛顿-欧拉方程中的力分为内力(完全来自系统内部)和外力(来自系统外部)。Udwadia-Kalaba方程中的力分为给定(或印象)力(取决于物理系数)和约束力(仅取决于约束)。强调力的内部/外部区别不同于给定/约束区别。也就是说，一般来说，约束力和内力是不一样的给定的力和外力是不一样的。内力的数目，尽管有牛顿第三定律的描述，往往大于约束，因此不能唯一地确定。当系统受到约束时，塔特使牛顿-欧拉方程难以表述。另一方面，约束力可以用Udwadia-Kalaba方程解析
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