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碳纳米管增强复合材料的圆柱形单元法建模
采用细观力学建模方法，利用圆柱形单元法(CMOC)模型，得到了嵌入在各向同性高分子材料基体 中的空心碳纳米管(CNT)弹性横观各向同性等温材料体系的有效力学性能。结果表明，碳纳米管与聚合物基体之间的弱界面结合是这种材料体系的特征，可以用CMOC模拟。根据碳纳米管和环氧 基体的特性的适当值，得到了有效的独立材料常数的数值解。数值结果以图形方式表示，并与相 应的经典闭式解进行比较。
关键词: 复合材料; 碳纳米管; 数值解; 单元法; 圆柱坐标系; 有效性能
引言
本文介绍的材料有两个用途。它的目的是提出一个圆柱坐标为基础的单元法(MOC)的公 式，或本质上是一个重新公式，在圆柱坐标系下，公认的 MOC。此外，目的是演示如何 能够很容易地使用该公式来精确模拟嵌入在聚合物基体或纤维增强聚合物基体中的碳纳米管(cnt)。
MOC是Aboudi介绍的一种数值分析技术，与有限元分析(FEM)有些相似，具有模 拟界面脱粘的能力。在随后的几年中，Aboudi和许多其他人对该方法进行了升级，主要是从提高和增强分析能力的角度出发。Aboudi等提出的广义单元法 (GMC)、高保真广义单元法(HFGMC)、功能梯度材料高阶理论(HOTFGM)和柱形功能梯度材料高阶理论(HOTCFGM) ，将单元概念的广义方法推广到高度复杂系统的分析。然而，作为一种开发材料模型的工具，MOC 可以说是这个特殊应用中的选择方法，在作者看来，并且将在后面与经典解的比较中证明。在有限元建模中，一个优秀的材料模型可以通过在解决方案中的每个高斯点嵌入一个适当的 MOC 模型来获得。
广泛使用的多相材料系统表征均匀化方法包括 Mori-Tanaka (MT)理论[4]、自洽格式 (SCS)[5,6]、广义自洽格式(GSCS)和有限元法[7]。这里将证明，圆柱形方法的单元 (CMOC)也是一个强大的方法模拟多相材料，可能是更好的在许多情况下。 碳纤维增强聚合物基复合材料(CFPMCs)是首选的高性能和先进的复合材料系统，广泛 应用于航空航天、飞机和导弹结构、卫星、先进的船舶、油田结构、燃料电池组件、天然气储罐和运动设备等领域。Ijima [8]发现了碳纳米管(CNT) ，其硬度是钢的 5 倍，拉伸 强度是钢的 140 倍，这自然引发了对复合材料性能增强的纳米复合材料的研究，也引发了众多学科的广泛研究。由于碳纳米管系统在纳米科学和纳米技术中的重要性，它的力学行为在过去十年中引起了极大的关注。
近年来，以单层或多层结构形式对石墨烯进行的研究和表征已经成为角色塑造研究的 主要内容。石墨烯在弯曲方面很灵活，但在平面上却非常坚硬。碳纳米管固有的细长， 加上石墨烯壁的强度，允许这些结构以可逆的方式经历非常大的变形。实验证据和理论 模拟都表明，纳米管有能力显著改变其形状，在没有不可逆原子排列的情况下适应外力。 这种经历严重变形而没有显着损伤的韧性是 CNT 材料的试金石。
单壁碳纳米管(SWCNT)在技术上被定义为由单层石墨烯组成的圆柱体，石墨烯被卷成 管状[9]。然而，卷起石墨烯实际上并不是纳米管的形成方式。石墨烯是由sp2杂化的碳 原子构成的一个原子厚度的同素异形体，它们密集地排列在蜂窝状晶格中。虽然纳米管 的大部分物理性质来源于石墨烯，但与石墨烯相反，碳纳米管存在于不同的晶体结构中， 这取决于在实际合成过程中石墨烯平面上的滚动方向。单壁碳纳米管的直径通常从 0.7 纳米到 3纳米不等，长度到厘米不等，这使得它们的长径比达到惊人的107倍，这有利于它们在复合材料中的应用[9,10]。
单壁碳纳米管比多壁碳纳米管或碳纳米管束更适合在基体中分散，因为单壁碳纳米管 层之间和碳纳米管束之间的摩擦相互作用较弱。聚合物在单个纳米管周围形成大直径螺 旋的能力有利于与基体形成强键。然而，碳纳米管的一个明显的弱点是如何被单壁碳纳 米管的弯曲刚度所证明的呢。在弯曲过程中，碳纳米管表现得像大分子，几乎没有阻力。 它们在压缩和弯曲过程中产生扭结或波纹(在 MWCNTs 中)。如实验[11]和模拟[12]所示， 屈曲和起皱发生的应变很小。因此，与角色塑造电位有关的非线性和不稳定性是碳纳米 管表征中必须考虑的重要现象。
广泛的研究实验和分析，集中在分子力学(MM) 和分子动力学(MD)[14] ，已经指向确定碳纳米管的弹性，热和电性能。Popov 等[15]使用 晶格动力学模型来确定横观各向同性 SWCNT 的一些弹性常数。Batra 和 Sears [16] ，利 用 MM 模拟的结果，并假设机械上等效于单壁碳纳米管的连续体结构是由横观各向同性 材料制成的圆柱形管，确定了一些弹性常数。Arash 等[17]已经证明了利用 MD 模拟来测 量碳纳米管增强体和聚合物基体之间界面区域的弹性特性的可行性。 嵌入在CFPMC中的SWCNTs 的建模能力需要一个与标准的各向异性 CFPMC 在本质 上一致的数值模型。下面的公式表明，基于圆柱坐标的单元格方法产生的材料模型满足这一要求。
2. 模型公式
图1显示了用于CNT的复合圆柱体组件的示意图。虽然我们的兴趣主要是空心圆柱体和 周围矩阵的建模，我们可以看到，通过设置R1=0，我们可以改变我们的模型，以实体圆 柱体和矩阵。长径比远远大于图中所示，大约为107。
在直角坐标系下的标准二维 MOC 单元如图 2 所示。它由四个矩形子单元组成，其中alpha;，beta;=1,2。连通性是基于跨越子单元界面的应力连续性。MOC 的一个基本特性是体积平均。例如，单元的应力分量的值等于组成该单元的子单元的体积平均相应应力分量的总和。在 MOC 求解过程中，得到了 子单元的解变量，然后对它们进行体积平均，得到单元的解，即重复体积元。Aboudi [1]和 Hackett [18]描述了为确定子单元解变量的值而开发和解决的定义一组代数方程的要求。不言而喻，MOC 是一种有限的分析工具，但它作为材料模型是高度适用的,
图3. 圆柱坐标系中单元的二维圆柱方法。
例如，可以嵌入在有限元解决方案的每个高斯点，以模拟材料响应的不同模式。 我们在这里定义了一个广义的平面应变材料模型，采用圆柱坐标系中的单元法，如图 3 所示。关于单元变形与亚单元变形的基本相容性方程由这些关系定义
在这个公式中，我们假设理想的亚单元界面(光纤到基体)结合，以便能够直接比较 CMOC 产生的结果与经典的结果，因此我们设置 r2i/和 R3i。/等于零。模拟纤维与基体之间的弱键 合的能力是 CMOC 在这个应用中的一个重要特性，因为碳纳米管与周围基体的键合明显低于预期。能够模拟纤维和基体之间的弱粘结性是CMOC在此应用中的一个重要属性，因为碳纳米管与周围基体的粘合度绝对低于所需。如前所述，MOC 的一个基本特性是溶液变量的体积平均。还应该指出的是，相容性方程是基于解 变量的平均值，而不是逐点公式。为了确定所需的平均应变，我们从它们的正确定义开始:
如果等式（１）的i为１，则将和结果方程相加，得到以下等式
将等式５与等式６比较，可以发现
与其他部分相同可以得出
平均应力的定义与平均应变定义具有相同的形式
其中是单元格的平均应变张量，是子单元格的应力，子单元界面处子单元面处子单元应力的连续性由关系强制执行。
子单元的本构关系由矩阵方程定义：
其中是子单元的材料特性。
方程１－１２可以组合，扩展求解，以产生定义复合模型的正常有效特性的法向应力和应变关系。
在附录A中可以找到这些关系的推导步骤，用表格的方式表示可以很容易进行编程。
现在，我们需要求解有效剪切特性G２３的值，圆柱基质的G13和G12，先考虑G23的求值，在等式（2）中将i=3和=0可以得到
然后将i=2和=0代入到方程（3）中
将方程（14a）乘以，方程915a)乘以，得到
同样，可以从等式（14b）和（15b）中得到关系
将公式（16）和（19）相加并使用公式（8）得到
等式（21）和连续性条件，等式（10a）和i=3和等式（10b）,i=2,一共4个未知数，四个独立方程，可以得到
展开得到
然后代入下面式子得到单元的平均横向剪切应力
然后可以从下面关系中得到横向剪切模量G23
同样
因此，已经确定了复合材料的有效杨氏模量，泊松比和剪切模量，总共得到9个独立的弹性材料常数。所以，圆柱基体复合材料被有效的描述为正交异性材料系统。他的有效弹性模量用矩阵表示。由以下关系求出有效平面应变模量K*23
这当然等于。
模型应用
我们现在考虑发展的圆柱坐标MOC模型的应用。在这一点上，我们的重点将是确定嵌入矩阵中的实心圆柱体的有效材料特性。参考图 4，我们看到，对于这种情况.R1=0.设R2=5.00nm.对于MOC模型的变化范围（Rgt;5nm）.设
弧度。子单元11和12是圆柱体材料，子单元12和22是基质。
定义
其中Vｔ是材料模型的总体积（包括空心部分）所占的体积分数，Vｍ是基质所占的体积分数。圆柱体和基体的材料特性在表Ⅰ中给出。正如注意到的，在这个应用程序中碳纳米管材料特性被用于实心圆柱体。
下图５－９显示了嵌入Christensen［２０］基质的实心圆柱体的E＊１１，ｖ＊１２
Ｇ＊１２，ｋ＊２３和G＊２３的解与CMOC生成的相应解之间的比较。值得注意的是，对于嵌入的实心圆柱体，G*12等于G*23。从CMOC解决方案中还发现，对于横向各向同性模型，比如Batra和Sears所指出的E33=E11。
正如 Seidel 和 Lagoudas [21]所指出的，对于相同的碳纳米管，有几何填充限制，限制 最大体积分数的值约为 90% 。图中显示的体积分数范围略微超出了 95% 。
我们现在考虑圆柱坐标 MOC 模型的另一个应用。我们的主要目标是证明基于圆柱坐标 系的 MOC 非常适合于碳纳米管增强复合材料系统的精确建模，因为它可以在广义横观 各向同性材料系统中嵌入碳纳米管矩阵材料模型。研究得出的结论是，如果可能的话， 嵌入矩阵中的空心圆柱体不太可能用标准 MOC 或任何类似的程序直接建模，但有限元 法除外。 我们已经证明，使用圆柱基 MOC 可以对嵌入在矩阵中的实心圆柱体进行精确和方便的建 模。然而，为了用 MOC 模拟嵌入矩阵中的碳纳米管，我们需要能够模拟嵌入矩阵中的空心 圆柱体。广泛的调查已经得出结论，这只能通过使用“等效的”实心圆柱体模型来实现。这种 转换基本上是通过将等效的固体圆柱体建模为横观各向同性的材料来完成的。Seidel 和 Lagoudas 演示和讨论了该程序[21]。在小应变区内，等效固体圆柱体模型的可靠性被认为是 有效的，在当前的应用中也是如此，基于所得结果与经典解的比较。在此应用中所模拟的碳 纳米管的内部半径 R1 为 4.60 nm，外部半径 R2 为 5.00 nm，与早期应用中所模拟的实心圆柱 体的外部半径相同。因此，CNT 的值是 0.92。CNT 内空心空间的体积分数为 2，等于 0.8464。
所以（1-alpha;2）方程（32a）定义了固体碳纳米管的体积分数，在这里是0.1536.所以，在表I中系数对于转换CNT材料的E111（表Ⅱ）的CNT材料是（1-alpha;2）。与本研究相关的评估和数值实验表明E22=1/2 E11得出的结果似乎很准确。对于这个应用程序。E22的值如表Ⅱ所示。Seidel和Lagoudas采用了一个MT解法方程，得到的结果似乎证实了E１１和E２２之间的关系。Reich等人的研究也表明E２２＝１／２E１１的值是适当的。
图 10-13 显示了嵌入在 Hashin和Rosen [23]中的矩阵中的空心圆柱体的 E11; 12; G12 和 K23 的闭式解与相应的 CMOC 生成的解之间的比较。图 14 显示了 Hackett 和 Bennett [24]的G23封闭式解决方案与 CMOC 生成的解决方案之间的比较。图 14 还显示了由 Hashin 和 Rosen [23] 导出的 G23 的上下限。
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