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用圆柱形细胞法模拟碳纳米管增强复合材料
Robert M. Hackett
摘要：采用圆柱单元法(CMOC)的微观力学建模方法，获得了由嵌入各向同性高分子材料基体的中空碳纳米管(CNT)组成的弹性横观各向同性等温材料体系的有效力学性能。结果表明，碳纳米管与聚合物基体之间的弱界面结合是这类材料体系的特征，可以用CMOC来模拟。根据碳纳米管和环氧基体性质的适当值，得到了有效的独立材料常数的数值解。给出了数值结果的图解，并与相应的经典封闭解进行了比较。
1.介绍
本文提供的材料有两个目的。一个目的是提出一个基于柱坐标的单元格法(MOC)的公式，或者本质上是在柱坐标下对已建立的MOC的重新公式。另一个目的是演示该配方如何容易地用于精确模拟嵌入在聚合物基质或纤维增强聚合物基质中的碳纳米管(CNTs)。
MOC是Aboudi[1]引入的一种数值分析技术，有点类似于有限元法(FEM)，具有模拟界面脱粘的能力。在随后的几年里，Aboudi[2]、Aboudi等人[3]等人对该方法进行了升级，主要是从增强分析能力的角度出发。先进的配方GMC(广义的方法细胞),HFGMC(高保真广义细胞的方法),HOTFGM(高阶理论对功能梯度材料)和HOTCFGM(高阶理论圆柱功能梯度材料)中描述Aboudi等。[3]延长细胞概念分析的一般方法的高度复杂的系统。然而，在作者看来，作为开发材料模型的工具，MOC可以说是在这种特殊应用中选择的方法，稍后将在与经典解的比较中进行论证。在有限元建模中，在解的每个高斯点上嵌入适当的MOC模型，可以得到良好的材料模型。
广泛使用的表征多相材料体系的均匀化方法包括Mori-Tanaka (MT)理论[4]、自一致格式(SCS)[5, 6]、广义自一致格式(GSCS)和FEM[7]。本文将证明，圆柱形单元法(CMOC)也是一种强大的建模多相材料的方法，并可能在许多情况下更可取。
碳纤维增强聚合物基复合材料(CFPMCs)是首选的高性能先进复合材料系统，广泛应用于航空航天、飞机和导弹结构、卫星、先进船舶、油田结构、燃料电池组件、天然气罐和体育装备等领域。Iijima[8]发明的碳纳米管(CNT)，其硬度是钢的5倍，抗拉强度是钢的140倍，这自然而然地推动了纳米复合材料的研究，以提高复合材料的性能，以及跨多个学科的大量研究。由于碳纳米管在纳米科学和纳米技术中的重要作用，碳纳米管系统的力学行为在近十年来引起了广泛的关注。
最近，石墨烯的研究和表征(单层或多层结构)主导了大部分碳纳米管研究活动。石墨烯在弯曲时很灵活，但在平面内却非常坚硬。碳纳米管固有的长细，加上石墨烯壁的强度，使得这些结构能够以可逆的方式经历非常大的变形。实验证据和理论模拟都表明，纳米管能够显著改变其形状，在不可逆原子排列的情况下适应外力。这种承受严重变形而不造成重大损伤的弹性是碳纳米管材料的试金石。
从技术上讲，单壁碳纳米管(SWCNT)是由单片石墨烯卷成[9]管形的圆柱体。然而，卷起石墨烯实际上并不是形成纳米管的方式。石墨烯是sp的一种单原子厚度的同素异形体2杂化碳原子密集地堆积在蜂窝状晶格中。虽然碳纳米管的大部分物理性质来源于石墨烯，但与石墨烯相反，碳纳米管在实际合成过程中，根据石墨烯平面上的滚动方向，存在各种不同的晶体结构。SWCNTs的直径通常为0.7 - 3nm，长度可达厘米，使其长径比达到惊人的107，这有利于它们在复合材料中的应用[9,10]。
由于多壁碳纳米管(MWCNTs)层间和束内的SWCNTs之间的摩擦作用较弱，单独的SWCNTs可能比多壁碳纳米管(MWCNTs)或束状碳纳米管更适合在基质中分散。聚合物在单个纳米管周围形成大直径螺旋的能力有利于与基质形成强键。然而，CNTs的一个显著缺点是swcnts的抗弯刚度。在弯曲过程中，碳纳米管表现得像大分子，阻力很小。它们在压缩和弯曲时发生扭结或波纹(在MWCNTs中)。如实验[11]和模拟[12]所示，屈曲和起皱在很小的应变下发生。因此，与屈曲电位相关的非线性和不稳定性是CNTs表征中必须考虑的重要现象。
广泛的实验和分析研究集中在分子力学(MM)[13]和分子动力学(MD)[14]，旨在确定CNTs的弹性、热和电性能。Popov等人[15]使用晶格动力学模型来确定横观各向同性swcnts的一些弹性常数。Batra和Sears[16]利用MM模拟的结果，并假设等效于swcnts的连续介质结构是由横向各向同性材料制成的圆柱形管，确定了一些弹性常数。Arash等人[17]已经证明了使用MD模拟来测量CNT增强材料和聚合物基体之间界面区域弹性性能的可行性。
要对嵌入CFPMC中的SWCNTs进行建模，需要一个与标准各向异性CFPMC在本质上一致的数值模型。下面的公式证明了基于圆柱坐标的网格方法可以得到满足该要求的材料模型。
2.模型公式
图1显示了碳纳米管的复合圆柱组件的示意图。虽然我们的目的主要是空心圆柱和周围的矩阵的建模，我们可以通过设置R1 =0，我们可以改变我们的模型为一个实心的圆柱体和矩阵。长径比比图中所示的要大得多，大约是。
直角坐标系下的标准二维MOC单元如图2所示。它由四个矩形的亚细胞组成，其中=1 ，2。连通性是基于跨亚细胞界面的应力连续性。MOC的一个基本性质是体积平均。例如，一个细胞的应力分量的值等于组成该细胞的各亚细胞相应应力分量的平均体积之和。在MOC求解过程中，得到了子单元的解变量;然后对它们的体积进行平均，以获得单元的解，即重复体积单元。Aboudi[1]和Hackett[18]描述了为确定亚单元解变量的值而开发和求解的代数方程组的定义要求。毋庸置疑，MOC是一种有限的分析工具，但作为一种材料模型，它具有很高的适用性，
图1. 碳纳米管的复合圆柱组合示意图
图2.直角坐标系下的一种标准二维网格法
图3.一种柱面坐标下的二维柱面法
如图3所示，本研究首先在一个柱坐标系中采用单元法和建立了一个广义平面应变材料模型。然后使用以下关系对单元形变与子单元的形变相关联的基本协调公式进行定义：
其中，和是与每个亚单元相关的微变量；和为子单元的维度；和分别为轴向、径向和周向的柱面坐标；和是子小区接口粘脱参数；和为子单元界面应力分量；并且为单元位移分量。在公式（1）-（3）中，并没有对i进行求和。在该公式中，本研究假设理想的亚单元界面（纤维与基质之间）发生了粘合，以便能够将CMOC生成的结果与经典结果进行直接比较，因此，本研究设和均等于0。需要指出的是，在这一应用中，CMOC模型的一个主要优势就是其能够模拟纤维与基质之间的弱粘合作用，而这对于CNT及其周围基质而言非常有用，因为两者之间所存在的粘合程度肯定要比期望值小。如前所述，MOC的一个基本属性是能够对求解变量进行体积平均处理。除此之外，还应指出的是，协调公式是基于解变量的平均形式，而不是一个逐点公式。因此为确定所需的平均应变，就需要从它们的正确定义开始：
其中，是子单元的应变张量；是子单元的体积；是该单元的平均应变张量，并且是单元的体积。因此，当，根据公式（4），可以得到：
如果将具有的公式（1）连续地乘以，并且将得到的公式相加，则获得以下等式：
通过比对公式（6）和（5），可以得到：
同样，根据相同的方法，可以得到：
平均应力的定义与平均应变的定义具有相同的形式，即
或
其中，是单元的平均应变张量；为子单元应力；子单元界面上的子单元应力的连续性由以下关系强制：
子单元本构关系由以下矩阵公式（10a）定义：
其中，为子单元的材料性质；并且满足：
这些公式（1）-（12）可以组合、展开和求解，以产生能够定义复合材料模型的正常有效特性的法向应力和应变关系：
以及，
上述关系的逐步推导过程详见附录A。利用这种方法表示推导的一个优点是，人们可以以一种很容易的方式对所得到的公式进行编程。
这时就可以确定圆柱基复合材料有效剪切性能和值。首先，本研究考虑对进行评价。对于的情况，通过将公式（2）中的设为0，可得：
那么，在时，通过将公式（3）中的设为0，可得：
通过将公式（14a）乘以，并且将公式（15a）乘以，然后相加可得：
其中，
且
类似地，可以从公式（14b）和（15b）中获得以下关系：
其中，
通过将公式（16）和（19）相加，并使用公式（8）可得：
上述公式（21）和连续条件，i=3的公式（10a）和i=2的公式（10b），能够在四个未知中总共提供四个独立的代数公式。从中可以注意到，
这时就可以很容易地建立以下表达式：
且
其中，
通过展开公式（22），可得：
然后，可以根据以下公式得到单元的平均横向剪应力：
然后可以根据以下关系计算有效横向剪切模量：
类似的导数可以通过以下形式提供另外两个有效剪切模量：
和
因此可通过确定复合材料的有效杨氏模量、泊松比和剪切模量来得到9个独立的弹性材料常数。因此，圆柱体-基体复合材料可以被描述为一个正交各向异性材料体系，其中，该有效弹性模量矩阵可用来表示。有效平面应变体积模量则由以下关系获得：
其亦等于：
。
3.模型应用
本研究内容将给出一个柱坐标MOC模型的一个应用，主要工作是验证该模型在确定嵌入在基质中的实心圆柱体的有效材料特性方面的准确性。通过图4可以看到，对于这种情况，本研究设置，这可产生一个，可变（）的MOC模型。除此之外，本研究还设置（弧度）。其中，子单元11和21是圆柱体材料，子单元12和22为基质材料。
本研究定义：
图4.嵌入进基体中的实心圆柱体单元模型的二维圆柱法
表1.各向同性组成材料特性
图5.复合材料圆柱体单元有效纵向杨氏模量随实心圆柱体浓度（concentration）的变化
并且，
除此之外，本研究定义：
其中，为由总（包括空心部分）圆柱体体积占据的材料模型的分数体积；为由基质占据的分数体积。表1给出了上述圆柱体和基体的材料属性。需要注意的是，在本应用中，CNT材料的属性被用于实心圆柱体。
根据Christensen的工作，本研究在图5-9中嵌入在基质之中的实心圆柱体的和的闭合形式解与相应的CMOC生成的解之间的比较情况。从图中可以看出，对于嵌入的实心圆柱体，满足等于。除此之外，从CMOC解中还可以看出，对于横观各向同性模型而言，满足，这一结果与Batra和Sears的结论相一致。
正如Seidel和Lagoudas所指出的那样，对于相同的CNT，几何堆积约束将最大体积分数限制在90%附近。而上图中所示的体积分数范围略大，达到95%。
图6.复合材料圆柱体单元有效纵向泊松比随实心圆柱体浓度的变化
图7.复合材料圆柱体单元有效纵向剪切模量随实心圆柱体浓度的变化
图8.复合材料圆柱体单元的有效平面应变体积模量随实心圆柱体浓度的变化
图9.复合材料圆柱体单元有效横向剪切模量随实心圆柱体浓度的变化
现在本研究将考虑柱坐标MOC模型的另一个应用。在该应用中，本研究的主要目标是证明基于圆柱坐标系的MOC在精确模拟CNT增强复合材料系统中的适用性，之所以要进行这项工作，是因为该模型所提供的是在广义横观各向同性材料系统中嵌入CNT基体材料模型。结果显示，如果可能的话，嵌入在基体中的空心圆柱体不太可能直接使用标准MOC或通过除FEM之外的任何类似程序来进行建模。
前期相关研究已经证明，采用基于圆柱体的MOC可以准确且容易地对嵌入在基质中的实心圆柱进行建模。然而，为用MOC对嵌入在基质中的CNT进行建模，本研究就需要能够对嵌入在基质中的空心圆柱体进行建模。但是大量相关研究，这一目标只能通过使用“等效的”实心圆柱体模型来实现。实质上，这种变换就是将等效实心圆柱体建模为横观各向同性材料。Seidel和Lagoudas已对这一过程分别进行了演示和讨论。根据所得结果与经典解的比较可以看出，在小应变范围内，等效固体圆柱模型具有令人满意的可靠性，并且这一结论在当前应用中亦得到了证实。在本应用中，建模所用CNT的内径为4.60 nm，外径为5.00 nm，这与先前应用中建模的实心圆柱体的外径相同。因此，CNT的值为0.92。CNT内的中空空间的体积分数为，等于0.8464。因此，公式（32a）中的术语定义了固体CNT的分数体积，其在本应用中为0.1536。因此，将CNT材料转化为（如表II所示）的CNT材料的系数（如表I所示）为。与这项研究相关的评估和数值测试表明，的值等于的一半所产生的结果似乎相当准确。在此应用中，的值如表II所示。除此之外，Seidel和Lagoudas采用MT求解程序，获得的结果似乎验证了等效实心圆柱体模型中和之间的这种关系。Reich等人的相关研究还表明，非常合适。
因为等效实体模型中的材料具具有横观各向同性，因此公式（A
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