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用基于键的近场动力学和有限单元法对陶瓷热冲击裂纹模拟仿真研究
摘要：
已经大量研究了对脆性材料适度强度热冲击或冷冲击的作用，然而对当温度很大变化时的热冲击响应所知很少。在这次研究中，提出了有限单元法结合近场动力学的数值计算用于陶瓷材料遭受严重热冲击形成的裂纹仿真。最初进行了有限单元非线性热传递分析。也包括表面对流和辐射热交换。随后，插值温度场用于表达变化的温度，对基于键的近场动力学模型有诱导作用。当前的模型是弱耦合的，可以准确地再现之前的关于冷冲击的数值和实验结果。通过几个数值计算实验，建立了冷冲击和热冲击情况引起不同失效的模型和大温差变化导致的加剧损坏演变。
1、介绍
陶瓷和耐火材料是及其多种多样的，已经广泛应用于工业中。它们表现出了高抗压强度，高硬度和高熔点，较低的导热导电性能和在高温下保持特性的能力。由于在高温下出色的表现，传统应用包括：金属成型模具，液体钢工业，热障涂层等等【1、2】。和Zr是两个广泛应用的工程氧化物陶瓷【3】。然而，当遭受突然的温度变化，陶瓷材料固有的脆性使它们易于产生裂纹。由于其重要性，在过去的十年里，热冲击导致陶瓷材料的裂纹被很多研究人员研究。不管是数值计算还是实验，很多研究的目的是找到在裂纹产生之前脆性材料可以忍受的最大温度变化，因而估计它的热冲击抵抗能力【4-9】。此外，由于重复的温度波动引起的热疲劳是学术和工业热点问题【10、11】。
对热应力场调查研究表明经历冷冲击的试样会在边界附近产生拉应力，在内部产生压应力【7、8】。当对试样加热时，会观察到相反的作用，在内部产生拉应力。基于它们的热抵抗能力，Lu和Fleck提出对固体的系统分类【7】。假设先前在拉伸区域存在裂纹，研究材料的裂纹，将结果应力和最大允许值比较。Bahr et al研究了在水淬之前加热的石英玻璃平板后新裂纹的模式【12】和使用多裂纹模型仿真了裂纹的演变过程【8】。
早期研究是假设先前存在裂纹或者有介质裂纹，很多最近的对热冲击的研究采用复杂的网格【13】，非局部【14、15】和梯度【5，16】模型去模拟裂纹的产生和扩展和对微结构特征合并的方法【17、18】。此外，对热应力的研究表明说明在仿真中与温度有关的材料参数是至关重要的【6、19】。通常，随着温度的增加，由于杨氏模量的减小，材料倾向于表现出柔软的特性。【文献6】中指出，不考虑与温度有关的材料特性倾向于导致实际热冲击抵抗能力的低估。Papathanasiou et al对温度剧烈变化下的陶瓷耐火材料的热力学响应实施了详细的调查【19】。用有限元二维模型求解非线性热力学方程，考虑了热辐射交换和与温度相关的热量和弹性材料性质。计算的温度场随后用于计算热应力场，得到的结果和使用不同biot数线性模型得到的结果比较。
在这次研究中，基于键的近场动力学理论用于在突然极大的温度改变下，长方体氧化铝试件断裂仿真。【文献15】给出了氧化铝冷冲击下的实验结果和数值结果，和提出的方法进行比较起校验目的并且也可以获得模拟仿真试样冷冲击需要的与试样与温度相关的性质。模型也用于模拟仿真试件热冲击下的断裂。据作者所知，对热冲击相关分析的数值模拟是匮乏的，然而一些实验过程产生的结果是不容易重现的【20】。
当前的研究组织如下：第二部分定义了考虑什么问题和与温度相关的氧化铝热学和力学性质。在第三部分，采用有限单元法求解非线性热传递问题。在第四部分引入了非耦合近场动力学模型并采用无量纲参数。第五部分通过与【15】中的数值和实验结果比较，验证新的解决办法。包括也研究了热辐射转换和与温度相关的热学和力学性质的作用。在第六部分，研究了热冲击现象，将结果和相关文献的观察比较。在第七部分是结束语和对未来的工作的建议。
- 几何和材料
热学冲击分为明显两类：热冲击和冷冲击。在热冲击中，材料温度急剧升高，然而在冷冲击中温度下降。对于这两种情况，识别材料失效前可以忍受的最大温度变化。在这次研究中，对薄矩形氧化铝试样遭受突然、极大的温度变化进行数值仿真。对于冷冲击情况，预先加热的（对应某一确定的温度）长方体假设遭受突然与周围温度为=293.15Klt;lt;的液体进行热交换。对于热交换情况，试件假设先前处于室温=293.15K，然后处于gt;gt;的环境下加热。在仿真时，冷冲击中考虑了不同的值，热冲击中考虑了不同的值。
在所有情况下，假设热传递只发生在xy平面上。图一说明了研究的物理和数值模型。H表示高度的一半，试件长度的一半和厚度相对于H的关系是L=5H和W=0.2H。得益于系统几何上关于x和y坐标轴对称，只取最初区域的1/4进行模拟仿真。绝热条件加在几何对称线上。如图一所示，对流和辐射损失发生在其他两边。假设最初试件处于统一的温度并且没有应力。在最初外形原始条件下，材料是线性的，各向同性和均匀的。
由于耐火材料经历了剧烈的温度变化，考虑包括与温度有关的热学和弹性性质是必要的。通过大的科学效应反应需要精确的捕捉这些参数在大范围的温度下的变化【21-24】。基于多晶氧化铝的实验数据，与温度相关的具体热容和热导率k能通过逆功率法以充分精度近似【19】：
这里，T表示绝对温度，、、和分别是以下常数值：-4.5536，12227，1429.4和 -197620。虽然更加复杂、精确的作用已经描述在了【21】中，由于公式（1a）和（1b）的简单形式因而采用。很明显，随着温度的增加，具体热容是增加的，热导率是下降的。和预料到一样，材料处于越高的温度，越倾向于存储热量而不是传送它【19，23】。
温度场考虑了材料与环境的热对流和辐射。热交换通过Newton cool定律和Stefan-Boltzmann定律估计。为了充分描述热交换，定义了两个额外的参数：辐射系数[0,1]和热传递效率h。热交换写成：
这里，sigma;=5.67是Stefan-Boltzmann常数，Ts是固体表面温度。如【19】所示，辐射热损失ε=0.80。
估计热传递效率h对氧化铝和环境介质的交换的精确仿真是至关重要的。在文献中提出了不同的实验外形，如【1】所述，结果显示了高分散性。和【15】一样，对于液体和固体的热交换取h=50000W（冷冲击采用水淬，热冲击采用融化的钢铁）。
氧化铝与温度相关的力学性质也需要考虑。随着温度的增加，弹性模量E和断裂韧度减小，热膨胀系数alpha;和泊松比nu;增大。在随后的分析中，使用基于键的近场动力学模型限制平面问题的泊松比为0.33。然而为了完整起见，也考虑了泊松比随温度的变化。虽然耐火材料的泊松比的选择（这取决于温度的变化）不同于近场动力学限制的值，但是获得的结果显示由于热学冲击造成的失效预测是合理范围内精确的。尽管与温度相关的热膨胀系数通常是非线性的，一个简单的线性方程可以以充足的精度预测实验观察的热膨胀系数【19，23】。最初的时候确定一个裂纹的断裂韧度是困难的【28】。实验研究说明高纯度氧化铝的断裂韧度随着温度的增大而减小。在【29】的观察中，氧化铝的断裂韧度用应力强度表示，且假设其随着温度的增加而线性减小。氧化铝的弹性力学性质用如下公式计算：
这里，=370GPa，=0.25，=6*和=3.3MPa*分别表示多晶氧化铝在室温下的弹性模量、泊松比、热膨胀系数和断裂韧度。=1.2*，=6.9*，=9*，=1.567*都是常数。使用公式（1a）,(1b)和（3a-3d），与温度相关的热学和弹性材料性质表示在图二中。在下图中，断裂过程和临界能量释放率有关。对断裂韧度（相对于像氧化铝这样的脆性材料用线弹性断裂力学并且使用平面应力假设）的粗糙估计是=/E。
- 热传递模拟仿真
当热学参数假设为常数时，图一中的混合边界问题可以直接通过【30】分析方法解决。当热学量是温度的函数时，分析解决是不可能的，温度场需要通过数值计算估计。当分析方法无法解决时，通常采用有限单元法去解决复杂的热力学问题。用双线性插值Langrage单元温度场用于解决非线性热传递问题【19】。
如下引出自【19】，无量纲的空间和时间参数：
这里，lt;^gt;表示无量纲量，x=/(rho;)是热学扩散率，其中和分别表示室温下的热传导率和具体的热容。引入无量纲温度场：
控制方程和有限元方法和Papathanasiou【19】一样。
- 热力学的基于键的近场动力学
基于键的近场动力学理论第一次被silling提出【32】并且最近发展成非局部理论。因为近场动力学是基于部分积分微分方程阐述的，对位移的导数是自由的因而适用于位移场不连续的断裂问题。此外，不需要外部的唯象准则或对最终裂纹路径的先验知识来模拟裂纹的扩展和萌生【34】。该理论的非当地特性引入允许微结构特征合并的内部长度大小【35】。这些特征使近场动力学模型对于裂纹的仿真是引人注目的（看例子【36、37、34、38】）。在这里，会评估基于键的近场动力学对热学冲击的应用。Killic和Madenci【39、40】通过引入成对的力函数f对热学键位移首先提出了无耦合基于键的近场动力学模型，并且成功的在断裂问题上应用他们的模型。Oterkus et al.【41】提出了基于态和基于键的近场动力学对于全耦合热力学模型。固体的热学形态和变形态是相互依赖的。在某些情况下，这种依赖性可以忽略从而形成只有温度场对目前变形有影响的无耦合热力学模型。为了简化，假设这里热学裂纹不影响热传递并采用无耦合解决办法。由于期望裂纹出现在热传递的平行方向，这类假设已经大量被用于文献中（例如8）。在前一部分已经提出了用有限单元法去近似要用于近场动力学模型中的温度场。近场动力学运动方程写成：
这里，x是材料粒子的位置，是包括x在内x与其他粒子相互作用的集合，是中又一个粒子，f是成对出现的力函数，b是外部体力场。通常假设为半径为delta;（进场动力学范围）的球。
在【42】中，温度变化下的各向同性材料的成对出现的力函数是：
这里，s是键的位移，xi;=-x表示相对位置向量，eta;=-u表示相对位移向量，alpha;是热膨胀系数，theta;是温度改变，c=9E/(pi;)是对于平面应力的键常数。通过使近场动力学应变能密度和其经典弹性理论对应的相等求得键常数的值【28】。因为c假设为常数，近场动力学键描述为线性的力和位移（f-s）的关系，类似于弹簧。
当键位移s超过最大允许位移时近场动力学键发生断裂。最大允许位移的限制和临界能量释放率有关，对于平面应力问题表达为：
如果违反了s()-alpha;theta;且0lt;的标准，键就断裂，会从随后的计算中移除，改变结构的刚度矩阵【39】。断裂的键通过布尔标量值函数u找到【39】。
通过使用当地损伤指数oslash;，可以量化固体的损伤，当地损伤指数oslash;定义为：
0oslash;(x,t)1。实质上，当地损伤指数是描述对于最初的键，一个粒子保持没有断裂的键。
采用【35】中的排列方法，该问题最初的区域离散在子域上，结合公式（6）、（7）非耦合近场动力学运动公式数值近似为有限和：
这里，表示在最初区域的第i个排列点，M表示包括第i个排列点范围内点的子区域总数。是第j个子区域的体积，和分别表示第i个排列点和第j个排列点的相对位移和相对位置。在【42】中，Kilic和Madenci提出了更高级的离散方法，该离散方法能作为一个特例。
将边界条件加在边界虚构的材料层。在【43】中，Macek和silling建议这样的层的大小应该等于delta;。此外，分别采用体积校正与表面校正策略对只在范围delta;内的部分节点进行校正和减轻“表面效应”【35】。该方法描述在【44，35】中。
在下面的段落中，使用了方程10的瞬时方法和静态方法。在文献中有方程10时间集成的各种方法。这里使用了【37】中建议的显式正向和反向差分技术。对于每个节点i，用加速度对速度进行更新，在当前步的节点速度通过向前欧拉方法获得：
这里，n和n 1分别表示当前步和下一步，ύ表示速度，ϋ表示加速度并且∆t表示时间间隔。节点位移可以通过向后欧拉方法计算：
虽然显式方法可直接使用，但是它们只在条件稳定时可使用。用线性基于键的近场动力学定义【45】，在【38】中指出了稳定的算法，最大时间间隔必须限制在：
在很多问题中，解决办法要求使用平衡态和静态方法。忽略重力并设：
虽然每个键假设是表现出线性的，但是最后的方程14是非线性的。对于g(u)=0的情况，Zaccariotto et al.建议用完全牛顿-拉夫森方法近似。
用前一节提到的特征长度和时间大小，以及位置向量和位移向量，接下来定义无量纲量：
这里，表示空间离散后的网格间距。在方程（10）中使用方程（15a-15c），获得无量纲无耦合运动方程：
这里，已经去除了外部体力，它们与考虑的问题无关。
- 冷冲击和确认模型
冷冲击下的材料裂纹的突发性减小了科学家实验观察和查看现象的可能【25】。材料的迅速断裂创造了复杂的裂纹模式，使用连续断裂力学仿真模拟是困难的。材料表面的拉应力导致最初的表面裂纹【7】。已经提出了很多方法去近似应力场和应力强度因素。由于出现介质中的微裂纹，最近的很多研究也结合微结构特征和作用【18、46】。
最后出现的裂纹模式的一个显著特征是多变的裂纹长度形成分层的裂纹类别。
用基于键的近场动力学对热学冲击进行数值模拟的有效性通过当前方法得到和【15】中氧化铝试样的数值和实验结果对照来评估。为了确保结果的兼容性和对比性，与温度相关的热学和力学参数最初忽略，使用【15】中的材料参数。此外，辐射热传递也忽略。表一列出了使用的参数。
由于模型的几何结构，试样表面的拉应力
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