英语原文共 31 页
严高·塞尔达·奥特克斯
普通的基于状态的周动力学模型的全耦合热弹性问题
接收日期:2017年12月30日/录用日期:2018年6月14日
copy;2018年作者(年代)
摘要 针对瞬态的全耦合热弹性问题，建立了普通的基于状态的周动态模型。通过采用一个积分形式代替运动方程中的空间导数，得到了一种成熟的运动方程模型在不连续点仍然有效。此外，普通的基于状态的周动力学模型消除了基于键的周动力学中泊松比的限制。还考虑了热响应和结构响应之间的相互作用，通过包含在公式中的耦合项。这些公式也被转换成了无量纲的形式。通过求解一些进准问题并与其他数值解进行比较，对新模型进行了定义。对冲击载荷作用下的薄板和砌块进行了调查研究。通过与边界元法和有限元解法的热响应和力学响应的比较，得到了较好的一致性。在此基础上，在允许裂纹扩展下进行了三点弯曲试验模拟。然后研究了已有裂纹的平板在压力冲击载荷作用下的裂纹扩展问题。最后，在卡尔索夫实验的基础上采用完全耦合的方法推导了一种数值模拟。提供了裂纹扩展过程和温度的演化过程。综上所述，该模型适用于不连续的和不能忽略耦合影响的热弹性问题的建模。
关键词 基于状态的周动力，全耦合，热弹性，裂纹扩展
符号列表
A 一维问题的截面积（）
等容比热容[J/(kgK)]
E 杨氏模量(Pa)
临界能量释放率
h 二维问题的厚度(m)
体积弹性模量(GPa)
热导率[W/(mK)]
U(x,t) 点x在t时刻的位移(m)
点x在t时刻的速度(m/s)
点x在t时刻的加速度
点x在t时刻水平位移的标量值(m)
alpha; 线性热膨胀系数
经典力学中的热模量(Pa/K)
参考温度(K)
lambda;,mu; 拉梅常数(GPa)
nu; 泊松比
Rho; 密度
Vrsquo; 点xrsquo;的体积
Theta;(x,t) 点x在t时刻的绝对温度(K)
T(x,t) 点x在t时刻的温度变化(K)
点x在t时刻的温度变化率(K/s)
点x在t时刻垂直位移的标量值(m)
1 介绍
- 随着近年来航空航天和机械工业的发展，机械冲击载荷和热冲击载荷变成了典型的、重要的载荷类型。例如,飞机的燃气涡轮发动机外壳可以经历一个在极短的时间内温度上升高达1700◦C的情况[1]。在这种加载条件下的分析中，热力耦合效应往往起着至关重要的作用，因此在热分析和结构分析中都应考虑热力耦合效应[2]。不仅温度对变形的影响是不可忽略的，而且变形对温度场的影响也是不可忽略的。因此，在处理这类问题时，进行全耦合热弹性分析是必须的。在多年来线性耦合热弹性的基本理论得到了充分的理解和发展。比奥特[3]首先在热传导方程中引入耦合项来解决热弹性耦合问题。随后，赫曼尔[4]将比奥特原理推广到三维各向异性体。最近，贾巴里等人[5,6]给出了柱坐标和球坐标下的经典耦合热弹性的精确方程。虽然对一些简单的问题提供了一些解析解，但是许多复杂的问题并没有完全用解析方法[7]解决。因此，像有限元法(FEM)和边界元法(BEM)这样的数值方法被广泛应用于求解[8]的近似解。例如，坎纳罗奇和乌贝蒂尼[9]用混合变分法对线性耦合准静态热弹性问题进行了有限元分析。位移和温度是他们研究的主要变量。另一方面，应力和热流作为二元变量也直接涉及到他们的分析。德黑兰尼和伊丝拉米[10]利用边界元法研究了耦合系数和弛豫时间对热弹性波运动的影响。当利用全耦合分析裂纹时，裂纹周围的温度分部就变成了一个主要问题。运动裂纹周围的高能集中会产生大量的热能，导致不可忽视的温度升高。阿特金森和克拉斯特[11]推导了裂纹扩展过程中裂纹尖端附近区域的一些简单的渐近温度分布。魏歇特和Schonert[12]研究了塑性区很小、裂纹速度较高的脆性材料裂纹尖端附近的温度。将裂纹尖端模拟为热源，因此也预测了裂纹尖端的温度分布。Bhalla等人进行的实验研究，[13]估算了裂纹尖端附近的温度分布。在他们的实验中观察到了温度升高。Miehe等人提出了一个热弹性脆性断裂的连续相场模型。给出了考虑裂纹增长和耗散生热的弯曲数值模拟试验，并对其温度场进行了讨论。
- 当热弹性问题涉及不连续时，上述基于经典力学理论的数值模拟方法可以预测无边界应力和能量密度。即使对于线性弹性断裂力学(LEFM)和位错动力学，确定位错的运动也需要补充本构方程。相反，周动力学( PD)[15-20]是非局部理论，包含在材料响应损伤的一部分。在经典的连续介质力学中，周动力学的公式是积分微分形式，而不是空间推导方程。因此，当裂纹或终止合并[22]时，PD方程仍然有效。因此，PD理论特别适用于不连续的问题;因此，在本文采用了该方法。PD理论领域的许多研究者已经对裂纹的成核和扩展进行了研究[23-38]，但他们大多只局限于力学领域。在热场方面，Oterkus等人利用PD理论推导出热扩散公式，并利用其捕获燃料颗粒开裂[40]。Bobaru和Duangpanya[41,42]在基于键的PD理论中研究了有间断和无间断物体的热传导。关于热力学方面，Oterkus et al.[43]、Oterkus[44]、Madenci、Oterkus[45]等人提出了基于全耦合键的PD理论。进一步，他们成功地应用他们的模型预测了裂纹扩展[46,47]。然而，基于键的PD模型被限制为具有固定的泊松比，即三分之一的二维问题，四分之一的三维问题为[48]。考虑到这一约束，对于热力学问题一个消除上述限制的广义PD模型是必要的。
- 这篇摘要的目的是，针对完全耦合热弹性问题提出了一种能够克服关于材料性能的基于键的PD限制的PD模型。因此，本文采用了普通的基于状态的PD理论，并在完全耦合的热力学领域推导了其公式。然后给出了变形场和热场的量纲形式和非量纲形的耦合方程式，并进行了验证。研究了各向同性的薄板和砌块在不同加载条件下的温度变化和位移。通过与ANSYS和BEM的解决方案的结果对比的方式进行了验证。这种显著的一致性表明所提出的PD模型能够以完全耦合的方式准确预测力响应和热响应。在本文的最后，对三点弯曲试验的裂纹扩展规律进行了预测，即卡尔索夫问题。同时，对已有裂纹的板在压力载荷作用下的裂纹扩展进行了研究。给出了裂纹扩展路径和温度分布，并与纯力学分析的预测结果进行了比较。因此，对耦合项对裂纹扩展的影响进行了估计和讨论。给出了裂纹扩展路径和温度分布，并与纯力学分析的预测结果进行了比较。因此，对耦合项对裂纹扩展的影响进行了估计和讨论。
2 完全耦合的周动热力学
近场动力学陷入非本地的范畴理论,即粒子相互作用在一定的界限delta;内,如图1所示。每一个质点都是由它在未变形状态下的坐标x所表示的位置来标识的。体区域为R，材料点x的相互作用域用表示。中的其他质点，即，称为x的族。此外y和分别表示x和在变形构型中的位置。在变形构型中,表示从点到点x的力函数。同样,表示指点x到点的里函数。在基于键的PD理论中，成对的力函数在量级上是大小相等的，且在他们相对位置的变形状态是相同的，即t//和[48,49]。因此，对于二维(2D)问题泊松比为1/3，对于三维(3D)问题泊松比为1/4[15]。另一方面，基于状态的力函数仍然与相对位置的变形状态下的力函数相同，即。但在一般的基于状态的PD模型中，它们的大小不需要相等，即或者。因此，普通的基于态的方程克服了泊松比的限制。因此，本研究采用基于态的PD理论来求解全耦合热弹性问题。关于完全耦合的热力学分析，一般的基于态的PD模型并没有明确给出，在已发表的文献中只有基于键的理论表达能够找到[43,44,50]。因此，在本研究中，我们给出了普通的基于态的全耦合PD热弹性方程，并给出了PD参数的显式表达式。然后将这些方程转换成相应的无量纲形式。
2.1热弹性周动力学方程
完全耦合热弹性的一般形式由Oterkus等人提供。运动方程可以表示为
（1）
方程(1)右边的积分表示作用于点x的PD力密度的总和。因此，b (x, t)表示材料点x处的体积体力。方程（1）中的和是质点x和的PD力函数。
PD力函数的一般状态表达式就如[49]第4章里提供的所呈现出来的形式。
（2）
和
（3）
其中B1、B2为PD的辅助参数;可以定义为
（4）
（5）
其中
其中T为点x相对于参考温度的温度变化量，。
同样，是点的温度变化。Theta;是点x的膨胀率，是点的膨胀率，他们被定义为
质点x和之间的PD键的拉伸值s被定义为
PD的辅助参数Lambda;被定义为
PD材料参数之间的关系即a、b、d与经典材料参数的关系如[49]第4章所述;
含温度变化影响的普通的基于态的运动方程为
另一方面，全耦合热力PD模型的导热方程为[43,44]
其中hs (x, t)为单位体积的产热速率。在上面的方程中,kappa;被定义为PD微电导率，定义列为(37,39,43)
式(12)中的第二项为变形耦合对温度的影响。拉伸伸长的时间变化率，，被定义为
Oterkus et al.[43]全面论述了PD热模量的物理意义和理论基础。本文采用同样的推导方法。点x的普通状态PD力函数的初始形式如方程(2)、(4)所示。另一种形式与Oterkus等人推导类似[43]，PD力函数可分为两部分，即[43]
右侧第一部分仅包含结构变形，第二部分与温度效应有关。式(15)中k为模态[51];术语BT表示热状态对变形的影响。
将式(4)中的表达式代入式(2)PD力函数可得
将式(7a)中的膨胀项代入，PD力函数变为
将PD力函数分解为纯机械部分和热部分重写后，式(17)变为
通过比较方程式(15)和(18)，得到x与之间的键的局部热模量为
其中[43]，将式(10)中PD参数代入为
然后当地热模量的显式形式beta;可以获得不同的维度下的形式
此外,如果基于键限制,a= 0,应用第四章解释的[49],公式(21),将减少其基于键形式,beta;b = 2delta;balpha;或beta;b = 1/2(calpha;)和c是债券型PD材料常数[43]。基于键的PD形式的热力学公式在附录A中提供。
2.2非量纲形式的周动力学热弹性公式
控制方程可以用无量纲变量[52]表示成无量纲形式。因此，采用Sackman[53]和Oterkus等人提出的方法，将完全耦合PD方程转化为无量纲形式。
热传导方程将扩散系数定义为特征长度/时间量
对于运动方程，特征长度/时间为弹性波速
lambda;和mu;是拉梅常数。结合特征长度/时间尺度可得到如下特征长度和时间
正如[43]中所解释的，可以使用以下无量纲形式
高度比变量：
位移
伸长量
时间
速率比变量
温度
利用上述无量纲参数，代入公式(10)中列出的周动参数。(10)(13)和(21)代入方程(11)和(12)利用公式中给出的非量纲参数，可以得到完全耦合方程的非量纲形式。(22-30) 是一维分析
二维分析
其中
三维分析
其中
在上述方程中，非量纲变量用一个超分数表示。参数和分别是质点和的温度变化的速度。无量纲耦合系数表示变形对温度分布耦合作用的强度。它可以定义为[43]
2.3周动力学的失效准则
由于PD方程是在没有任何空间导数的情况下建立的，因此PD理论适用于故障预测。一旦质点之间的拉伸超过临界拉伸值，sc键就会断裂并永久移除。同时，这两点之间的力变为零。键失效的临界拉伸值与]第6章规定的临界能量释放速率Gc有关;[49]
对于材料点之间的每一个相互作用，都实现了一个历史相关的损伤函数。当键断开时，函数的值为零。
一个点的局部损伤表示破坏的相互作用的数量与总的相互作用的数量的加权比。因此，裂纹扩展路径可以由局部损伤值表示为[48];
2.4数值实现
对所建立的局部放电热力学模型进行了离散化，实现了数值模拟。因此，式(11)中运动方程的离散形式为
其中i代表目标点，j代表i点的相关点
式(7a)中离散的膨胀形式为
在
资料编号：[5671]
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