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受载船模振动特性的实验与数值研究
文摘:本文采用耦合有限元分析方法分析了结构在有限流场中的振动特性。利用8节点声流体单元，采用有限元分析有限元法计算了附加质量矩阵。结合结构有限元质量矩阵，计算了结构在有限流场中的振动特性。通过编写相关程序，对有限流场和载荷作用下悬臂水下矩形板的振动特性进行了数值分析分析。进行了空气中和水中载荷船模的模态识别实验，实验结果验证了模态识别数值分析的可靠性。该数值方法可用于有限流场中结构的振动特性和声辐射问题的进一步研究。
关键词:载荷船模;振动特性;有限元分析;附加质量矩阵;固有频率;模态识别;有限流体域
1引言
当结构与流体接触时，流体与结构之间存在相互作用。这就是所谓的流固耦合作用。对于具有不同交互层次的模型，应该使用不同的方法。与低密度流体接触的结构是一个弱耦合问题，而与高密度流体(如水)接触的结构是一个强耦合问题。对于强耦合系统，应用耦合方法进行求解。板的流固耦合水平可以用经验公式(Atalla和Bernhard，1994)来确定。
当结构与流体接触发生低频振动时，在小的线性载荷作用下，流体被视为无旋理想流体。如果流体是可压缩的，那么声压或速度位的控制方程就是亥姆霍兹微分方程。在低频情况下，流体对结构的影响被认为是附加的质量效应(Wang等人，2014)。有限元/有限元法和有限元/边界元法是常用的两种方法。
。
通常，当结构是封闭的，流体域是无界的，fem/direct-bem是一种合适的方法(Everstine和Henderson，1990;Everstine，1991;Yao等人，2004)。利用直接边界元法计算出的附加质量矩阵可以方便地建立系统方程，但只能求解封闭结构，内外部问题需要分别求解。直接边界元法的另一个困难是奇异积分。当结构是开放的，流体域是无 界的，fem/indirect-bem是一种广泛使用的方法(CoyetteandFyfe，1989;JeansandMathews，1990;Vlahopoulosetal.，1999;Weietal.，2011;Liuetal.，2014)。用间接边界元法计算附加质量矩阵有两个优点。首先，它可以同时解决内部和外部的问题。二是得到的矩阵是对称的，使得流体方程和结构方程能够更好地耦合。然而，构建系统矩阵需要更多的时间。在间接边界元法中，超奇异积分的处理比较困难。有限元/有限元法通常用于分析有界流体中结构的振动特性(Gladwell，1966;petittetal.，1976;Volcyetal.，1979;LuandClough，1982;Wangetal.，1988;Everstine，1997;TongandLiu，1997;Zhengetal.，1998;Ahlem，2004;Thompson，2005;Yaoetal.，2006;WuandZhao，2007;Zhaoetal.，2007)。用有限元法计算附加质量矩阵的优点是所得到的流体质量矩阵和刚度矩阵是对称矩阵、稀疏矩阵和实矩阵。与直接边界元法和间接边界元法相比，用有限元法计算矩阵更容易。对于大规模的外部问题，fem/fem需要较低的计算代价。有限元法没有奇异积分。得到的流体质量矩阵和刚度矩阵与振动频率无关，无需重复计算。边界元法没有这些优点。实验通常用于验证由fem/fem或fem/bem(Volcyetal.，1979;Chenetal.，1999;Chenetal.，2003;Liuetal.，2014)得到的数值结果。
本文提出了一种计算低频有界流体中结构附加质量的数值方法。将附加质量矩阵加入到结构质量矩阵中，得到流固耦合质量矩阵。将矩阵与结构刚度矩阵相结合
，得到了系统的广义特征方程。通过求解该方程计算了系统的振动特性。本文编制了计算有界流体区域内结构振动特性的FORTRAN程序。悬臂板的算例表明，流体改变了结构的动力特性。基于一个受载船模进行了验证实验，结果与数值解具有良好的相关性。流体-结构数值方法的推导对流体-结构动力学和声辐射的研究具有很好的参考价值。
2基本理论
2.1流体域中Helmholtz积分方程的推导
如图1所示，v是有界的流体域和
就是它的边界。当结构与流体接触时，流体受到振动的影响，在流体中产生辐射声压场。流场中的声压对结构也有一定的影响。对于无旋、可压缩的流体，在小的线性载荷作用下，流体域的压力p满足Helmholtz微分方程:
其中k/c是波数，角度omega;是流体中的声速。
其中p0是流体密度，v是粒子速度矢量，n是流体边界的单位法线。把（4）带入（3）得到：
式 (5)是流体域和边界上的亥姆霍兹积分方程。这是解决亥姆霍兹微分方程的理论基础。
2.2用有限元法求解流体域的Helmholtz积分方程
本文采用八节点等参六面体单元离散有界流体区域，如图2所示。八节点等参六面体单元的形函数为:
|
N ie |
1 |
1 i 1 i 1 i |
i 1,...,8 |
(6) |
|
|
8 |
相应的坐标(xi，hi，zi)如图2所示。
图2八节点等参单元
式（5）的离散形式是
|
图 1 流体域和边界表示 对于(1)式，流体域中的加权积分形式是: 其中omega;是加权函数 使用分部积分，方程(2)成为：
（3）
其中 根据高斯高斯散度定理方程的第一项。(3)变成: |
其中nf是流体元素的个数，n是流体边界元素的个数。对于8节点等参六面体单元，采用相同形函数的坐标变换可以满足协调性要求:
|
元素中任何一点的加权函数都可以用形状函数来插值:
元素中任意点的声压可以用形状函数来插值:
对于式（7），左边的第一项是：
由式（9）和（10）得：
其中
把（11）和（12）带入 得到：
其中Ke是一个8*8的矩阵
将式(14)转换为本地坐标系下的积分形式:
其中|J|为如下的雅可比决定式：
考虑到Be的形式，在整合前需要从全局坐标系向局部坐标系转化：
对于 式 (7)， 左边的第二项是
把式 (9)和式(10)带入式 (19) ：
其中N 是形状函数向量，Me是8x8的矩阵:
方程(20)在本地坐标系中的积分形式是：
2.3采用结构有限元和节点有限元相结合的方法解决液体结构的振动特性问题。
式（7）右边是
积分边界Omega;可以分为速度边界Omega;v、声波阻抗边界Omega;z和压力边界Omega;p.如图3所示
图3边界条件
考虑到2.2节中的推导，有限元形式的声场控制方程是:
其中Ka是整个流体的刚度矩阵，Ma是整个流体的质量矩阵，Fa是声场边界条件的影响，包括速度边界Omega;v、声波阻抗边界Omega;z和压力边界Omega;p。对于流固耦合振动特性问题，在流固耦合界面上，结构的法向速度等于流体速度。如图4所示。
图4流固耦合问题的声场边界条件
在没有阻尼效应的情况下，有限元形式的结构运动方程是:
其中Ks是整个结构的刚度矩阵，Ms是整个结构的质量矩阵，u是结构的位移，Fs是结构上的载荷矢量。垂直于流体-结构界面的声压p满足以下条件:
其中nse是流体-结构界面上元素的个数，ne是元素的法向量，Ns是结构元素的形状函数，Na是流体元素的形状函数，Omega;se是流体-结构界面。考虑流固耦合作用，作用在结构上的声压可视为附加法向荷载。结合 (23)及 (24)，考虑流固耦合作用的结构运动方程为:
Kc是流体-结构耦合刚度矩阵:
在流体-结构界面上，结构的速度可以看作是声场的边界条件。使用式(22)考虑流固耦合作用的声场方程是：
其中Mc是流体-结构耦合质量矩阵:
结合式(25)及 (27)，基于有限元理论的流固耦合运动方程为:
如果流固耦合边界ws是唯一的边界(Fa=0)，则p可以在方程（29）中去掉：
广义特征值问题的对应方程是:
其中 是结构附加质量矩阵，Madd是一个实对称带宽矩阵。
流固耦合矩阵Kc与元素法向量Ne有关。如果只有一个流体域，如图5(a)所示，边界元的法向量可以指向流体，也可以指向远离流体的方向，所有元素应该是一致的。从Madd的形式可以看出，它包括Kc和Ktc。因此，对于如图5(b)所示的多流体域问题，每个流体域(v1，v2，v3或v4)的元素法向量ne应该是一致的。
图（5）单流体域和多流体域的单元法向
基于流体与结构有限元分析理论，开发了计算流体和空气荷载作用下结构振动特性的fortran程序。程序流程图如图6所示。虚线流程图用于计算空载船模。
图6流固耦合动力分析程序流程图
3． 数值例子
对于浸没在有界流体域中的弹性悬臂板，流体域的边界如图7所示。A板长0.50m，b板宽0.30m，厚度t为0.004m，材料泊松比为0.3，杨氏模量2.1*1011N/m2，板材密度为7800kg/m3。
图7流体域的边界
假设流体是可压缩的，流体密度是1000kg/m3声速是1500m/s。流体域的上表面为自由表面，因此具有边界条件p=0。流体域的其他五个表面都是刚性表面，因此它们具有边界条件v=0。计算了在图8所示的三种不同深度下悬臂板的振动特性。悬臂板的计算基本频率见表1。
图8淹没悬臂板的三种深度
表1在空气中和不同淹没深度下悬臂板的一阶固有频率
图9悬臂板在空气中和不同淹没深度下的第一阶固有频率
可以看出，表1和图9所示的结果与volcy等人(1979)和wang等人(1988)的结果是一致的。
4.实验研究
为了验证所推导的数值方法和fortran程序的有效性，本文进行了全自由船模在不同载荷作用下的模态识别试验。
4.1实验模型和仪器介绍
船模的长度、宽度、模压深度和钢板厚度分别为1.50、0.30、0.15和0.005m。图10是在大连理工大学的船体结构振动实验室和拖曳池中进行的实验。实验仪器包括DH5922动态信号分析仪、ICP加速度传感器等。
图10载重船模在空气和水中的识别试验示意图
4.2数值分析的实验模型
本文利用流固耦合问题的动力分析fortran程序，计算了受载船模的自由模态。材料的泊松比为0.3，杨氏模量为2.1*1011 剩余内容已隐藏，支付完成后下载完整资料
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